河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點(diǎn)透析專題5 平面向量 理

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1、2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 平面向量 【重點(diǎn)知識(shí)回顧】 向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既具有代數(shù)特征，又具有幾何特征，因此我們要借助于向量可以將某些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，又可將某些幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，在復(fù)習(xí)中要體會(huì)向量的數(shù)形結(jié)合橋梁作用。能否理解和掌握平面向量的有關(guān)概念，如：共線向量、相等向量等，它關(guān)系到我們今后在解決一些相關(guān)問題時(shí)能否靈活應(yīng)用的問題。這就要求我們?cè)趶?fù)習(xí)中應(yīng)首先立足課本，打好基礎(chǔ)，形成清晰地知識(shí)結(jié)構(gòu)，重點(diǎn)掌握相關(guān)概念、性質(zhì)、運(yùn)算公式 法則等，正確掌握這些是學(xué)好本專題的關(guān)鍵 在解決關(guān)于向量問題時(shí)，一是要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等

2、變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，進(jìn)一步加深對(duì)“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并體會(huì)用向量處理問題的優(yōu)越性。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過向量法和坐標(biāo)法的運(yùn)用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題上的作用。 在解決解斜三角形問題時(shí)，一方面要體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會(huì)解斜三角形是重要的測量手段，通過學(xué)習(xí)提高解決實(shí)際問題的能力 因此，在復(fù)習(xí)中，要注意分層復(fù)習(xí)，既要復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，又要把向量知識(shí)與其它知識(shí)，如：曲線，數(shù)列，函數(shù)，三角等進(jìn)行橫向聯(lián)系，以體現(xiàn)向量的工具性 平面向量基本定理（向量的分解定理） 的一組基底。 向量的

3、坐標(biāo)表示 表示。 . 平面向量的數(shù)量積 數(shù)量積的幾何意義： （2）數(shù)量積的運(yùn)算法則 【典型例題】 1.向量的概念、向量的運(yùn)算、向量的基本定理 例1. (2020湖北文、理)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c=（　 ） A.(

4、－15,12)　　　B.0 C.－3 D.－11 解：(a+2b)，(a+2b)·c ，選C 點(diǎn)評(píng)：本題考查向量與實(shí)數(shù)的積，注意積的結(jié)果還是一個(gè)向量，向量的加法運(yùn)算，結(jié)果也是一個(gè)向量，還考查了向量的數(shù)量積，結(jié)果是一個(gè)數(shù)字 例2、(2020廣東文)已知平面向量，且∥，則=（　 ） A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 解：由∥，得m＝－4，所以， ＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故選（C）。 點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)向量平行，其實(shí)是一個(gè)向量是另一個(gè)向量的倍，也是共線向量，注意運(yùn)算的公式，

5、容易與向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算混淆 例3．（1）如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量，，， 表示出來。 （1）解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量，來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可 因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO， 所以，=＋，= =+， 由于A，B，O，F(xiàn)四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以=＋=+=++=2+， 同樣在平行四邊形 BCDO中，＝＝＝＋(＋)＝＋2，＝＝－ 點(diǎn)評(píng)：其實(shí)在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，

6、均可用 ，表示，且可用規(guī)定其中任兩個(gè)向量為，，另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用，表示。 例4．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC邊上的高為AD，求。 解析：設(shè)D(x,y)，則 ∵ 得 所以。 2. 向量與三角函數(shù)的綜合問題 例5、（2020深圳福田等）已知向量 ,函數(shù) (1)求的最小正周期; (2)當(dāng)時(shí), 若求的值． 解：(1) . 所以，T＝. (2) 由得， ∵，∴　∴ ∴ 點(diǎn)評(píng)：向量與三角函數(shù)的綜合問題是當(dāng)前的一個(gè)熱點(diǎn)，但通常難度不大，一般就是以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，并結(jié)合簡單的向量運(yùn)算，而考查的

7、主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識(shí)點(diǎn). 例6、（2020山東文）在中，角的對(duì)邊分別為． （1）求； （2）若，且，求． 解：（1） 又 解得． ，是銳角． ． （2）由， ， ． 又 ． ． ． ． 　　點(diǎn)評(píng)：本題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積，余弦定理等內(nèi)容。 3. 平面向量與函數(shù)問題的交匯 例7．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ). (1) 若存在實(shí)數(shù)k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函數(shù)的關(guān)系式k＝f(t)； (2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定k＝f(t)的單調(diào)區(qū)間 解：（

8、1）法一：由題意知x＝(,), y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y 故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0 整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t. 法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b ∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t (2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t3－, 令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1. 故k＝f(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，－1）和（1，＋∞）. [歸納] 第1問

9、中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求得兩個(gè)向量的坐標(biāo)，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式，達(dá)到同樣的求解目的（但運(yùn)算過程大大簡化，值得注意）。第2問中求函數(shù)的極值運(yùn)用的是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識(shí)交匯點(diǎn)處的綜合運(yùn)用 [變式] 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不為零的實(shí)數(shù)k和角α，使向量＝＋(sinα－3), ＝－k＋(sinα),且⊥，試求實(shí)數(shù)k 的取值范圍。 [點(diǎn)撥] 將例題中的t略加改動(dòng)，舊題新掘，出現(xiàn)了意想不到的效果，很好地考查了向量與三角函數(shù)綜合運(yùn)用能力。 O x A

10、 C B a 例7圖 y A C B a Q P 解：仿例3（1）解法（二）可得 k＝( sinα－)2－,而－1≤sinα≤1, ∴當(dāng)sinα＝－1時(shí)，k取最大值1； sinα＝1時(shí)，k取最小值－. 又∵k≠0 ∴k的取值范圍為 . 4. 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用 例8、如圖在RtABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以A為中點(diǎn)，問與的夾角取何值時(shí)， 的值最大？并求出這個(gè)最大值 解：以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0

11、，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q（-x，-y）， ∴cx-by=a2cos.∴=- a2+ a2cos.故當(dāng)cos=1，即=0（方向相同）時(shí)，的值最大，其最大值為0. 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的概念，運(yùn)算法則及函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，平面向量與幾何問題的融合?？疾閷W(xué)生運(yùn)用向量知識(shí)解決綜合問題的能力。 例9、已知A、B為拋物線(p>0)上兩點(diǎn)，直線AB過焦點(diǎn)F，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D， （1） 若，求拋物線的方程。 （2） CD是否恒存在一點(diǎn)K，使得 Y

12、 A F P B X O D K C 解：（1）提示：記A（）、B （）設(shè)直線AB方程為代入拋物線方程得 （2）設(shè)線段AB中點(diǎn)P在在準(zhǔn)線上的射影為T， 則 ＝－＝－＝0 故存在點(diǎn)K即點(diǎn)T，使得 [實(shí)質(zhì)：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切] [變式]（2020全國湖南文21）如圖，過

13、拋物線x2=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明:； 解：依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得 ① 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、、x2是方程①的兩根. 所以 由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為， 得 又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)， 故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而. 所以 【模擬演練】 一、選擇題 1．已知點(diǎn)M1（6，2）和M2（1，7），直線y=mx－7與線段M1M2的交點(diǎn)分有向線段M1M2的比為3：

14、2，則的值為 （ ） A． B． C． D．4 2．已知a,b是非零向量且滿足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，則a與b的夾角是 （ ） A． B． C． D． 3．已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），則向量與向量的夾角的范圍為

15、 （ ） A．［0，］ B．［，］ C．［，］ D．［，］ 4．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2=2x與過焦點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，則·= （ ） A． B． C．3 D．－3 5． O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足=+λ()，，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（ ） A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 6．已知平面上直線l的方向向量e=（,），點(diǎn)O（0，0）和A(1, －2)在上的射影分別是O/和A/，則

16、，其中λ=（ ） A． B． C．2 D．－2 7、（ ） A． B. C. D. 1 8、已知，，則向量與（ ） A.互相平行 B. 夾角為 C.夾角為 D.互相垂直 9、已知向量的夾角是（ ） A． B． C． D． 10、若向量，，則等于（ ） A. B. C. D. 11、已知非零向量若且又知?jiǎng)t實(shí)數(shù)的值為 （ ） A. B.

17、 C. 3 D. 6 12. 把函數(shù)y＝的圖象按a＝（－1，2）平移到F′，則F′的函數(shù)解析式為 A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 二、填空題 13．已知向量a、b的夾角為，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋b||a－b|的值是 . 14.已知M、N是△ABC的邊BC、CA上的點(diǎn)，且＝,＝,設(shè)＝，＝，則＝ . 15. △ABC中，,其中A、B、C是△ABC的三內(nèi)角，則△ABC是 三角形。 16. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中且，則的軌跡方程為 .

18、三、解答題 17. 已知向量，.（1）若，試判斷與能否平行 （2）若，求函數(shù)的最小值. 18. 設(shè)函數(shù)，其中向量，. （1）求函數(shù)的最大值和最小正周期； （2）將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長度最小的. 19. 如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，A為圓心，直徑PQ＝2ｒ，問：當(dāng)P、Q取什么位置時(shí)，·有最大值? 20. 已知定點(diǎn)F（1，0），動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M，并延長MP至點(diǎn)N，且 （1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程； （2）直線l與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，若且4≤≤，求直線l的斜率的取

19、值范圍 21. 已知點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè). （1）求點(diǎn)的軌跡方程； （2）求向量和夾角的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo) 22. 在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A.某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C. （1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）; （2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷 它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明

20、理由. 專題訓(xùn)練答案 一、選擇題 1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. D 7．A 8．A 9．D 10．B 11．D 12． A 二、填空題 13． 14. ；15.直角16. 三、解答題 17. 解：（1）若與平行，則有，因?yàn)椋?，所以得，這與相矛盾，故與不能平行. （2）由于，又因?yàn)?，所以?于是，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故函數(shù)的最小值等于. 18．解：（1）由題意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx) ＝sin2x－2sinxcos

21、x+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+). 所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝. （2）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z， 于是d＝（，－2），k∈Z. 因?yàn)閗為整數(shù)，要使最小，則只有k＝1，此時(shí)d＝（―，―2）即為所求. 19. 解：·＝（）·（） ＝（）·（－） ＝－r2＋·· 設(shè)∠BAC＝α，PA的延長線與BC的延長線相交于D，∠PDB＝θ，則 ·＝－r2＋cbcosθ＋racosθ ∵a、b、c、α、r均為定值， ∴當(dāng)cosθ＝1，即AP∥BC時(shí)，·有最大值. 20. 略解 （1）y2＝4x (x＞0

22、) （2）先證明l與x軸不垂直，再設(shè)l的方程為 y＝kx＋b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立直線與拋物線方程，得 ky2－ 4y＋4b＝0,由，得. 又 故 而 解得直線l的斜率的取值范圍是 21. 解析：（1）設(shè)，，則，， . （2）設(shè)向量與的夾角為，則， 令，則， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，等號(hào)成立. 22. 解: （I）如圖，AB=40，AC=10， 由于,所以cos= 由余弦定理得BC= 所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）. （2）解法一 如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）, C（x1，y2）, BC與x軸的交點(diǎn)為D. 由題設(shè)有，x1=y1= AB=40, x2=ACcos, y2=ACsin 所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40. 又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d= 所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.