貴州省貴陽市高中數(shù)學(xué) 2.3變量間的相關(guān)關(guān)系學(xué)案 新人教版必修3

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1、2.3變量間的相關(guān)關(guān)系 學(xué)習(xí)內(nèi)容 學(xué)習(xí)要求 高考考點 考查題型 真題鏈接 變量間的相關(guān)系關(guān)系 1.明確事物間是相互聯(lián)系的，認識現(xiàn)實生活中的變量存在的非確定的相關(guān)關(guān)系， 2.理解變量之間的相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別 判斷兩個變量之間的關(guān)系 選擇題和填空題或解答題 2020海南寧夏文 兩個變量線性相關(guān) 1.會作兩個變量的數(shù)據(jù)的散點圖，能根據(jù)散點圖認識變量的相關(guān)關(guān)系 2.了解最小二乘法的思想，根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立回歸方程 ①會畫兩個變量的散點圖。 ②建立回歸直線方程解決實際問題。 解答題 2020山東文T8 2020江西文T8 2020安

2、徽文T20 基本知能必學(xué)必會 課內(nèi)知識點津 知識點1：變量之間的相關(guān)關(guān)系 兩個變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系（如：函數(shù)關(guān)系），或非確定性關(guān)系。當自變量取值一定時，因變量也確定，則為確定關(guān)系；當自變量取值一定時，因變量帶有隨機性，這種變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，如長方體的高與體積之間的關(guān)系就是確定的函數(shù)關(guān)系，而人的身高與體重的關(guān)系，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績好壞與物理成績的關(guān)系等都是相關(guān)關(guān)系。 注意：兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系又可分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)，如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線的附近，則變量之間具有相關(guān)關(guān)系（不確定性的關(guān)系），如果所有樣本點都落在某一直線附近，那

3、么變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系只說明兩個變量在數(shù)量上的關(guān)系，不表明他們之間的因果關(guān)系，也可能是一種伴隨關(guān)系。 點睛：兩個變量相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別和聯(lián)系 相同點：兩者均是兩個變量之間的關(guān)系，不同點：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，如勻速直線運動中時間t與路程s的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，如一塊農(nóng)田的小麥產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是兩個隨機變量之間的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系；函數(shù)關(guān)系式一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。 知識點2.散點圖. 1.在考慮兩個量的關(guān)系時，為了對變量之間的關(guān)系有

4、一個大致的了解，人們常將變量所對應(yīng)的點描出來，這些點就組成了變量之間的一個圖，通常稱這種圖為變量之間的散點圖。 2.從散點圖可以看出如果變量之間存在著某種關(guān)系，這些點會有一個集中的大致趨勢，這種趨勢通?？梢杂靡粭l光滑的曲線來近似，這種近似的過程稱為曲線擬合。 3.對于相關(guān)關(guān)系的兩個變量，如果一個變量的值由小變大時，另一個變量的的值也由小變大，這種相關(guān)稱為正相關(guān)，正相關(guān)時散點圖的點散布在從左下角到由上角的區(qū)域內(nèi)。 如果一個變量的值由小變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負相關(guān)，負相關(guān)時散點圖的點散步在從左上角到右下角的區(qū)域。 注意：畫散點圖的關(guān)鍵是以成對的一組數(shù)據(jù)，分別為此點的橫

5、、縱坐標，在平面直角坐標系中把其找出來，其橫縱坐標的單位長度的選取可以不同，應(yīng)考慮數(shù)據(jù)分布的特征，散點圖只是形象的描述點的分布，如果點的分布大致呈一種集中趨勢，則兩個變量可以初步判斷具有相關(guān)關(guān)系，如圖中數(shù)據(jù)大致分布在一條直線附近，則表示的關(guān)系是線性相關(guān)，如果兩個變量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的散點圖呈現(xiàn)如下圖所示的情況，則兩個變量之間不具備相關(guān)關(guān)系，例如學(xué)生的身高和學(xué)生的英語成績就沒有相關(guān)關(guān)系。 點睛：散點圖又稱散點分布圖，是以一個變量為橫坐標，另一變量為縱坐標，利用散點（坐標點）的分布形態(tài)反映變量統(tǒng)計關(guān)系的一種圖形。特點是能直觀表現(xiàn)出影響因素和預(yù)測對象之間的總體關(guān)系趨勢。優(yōu)點是能通過直觀醒目的圖形方式反

6、映變量間關(guān)系的變化形態(tài)，以便決定用何種數(shù)學(xué)表達方式來模擬變量之間的關(guān)系。散點圖不僅可傳遞變量間關(guān)系類型的信息，也能反映變量間關(guān)系的明確程度 知識點3：回歸直線 （1）回歸直線的定義 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線。 （2）回歸直線的特征 如果能夠求出這條回歸直線的方程（簡稱回歸方程），那么我們就可以比較清楚的了解對應(yīng)兩個變量之間的相關(guān)性，就像平均數(shù)可以作為一個變量的數(shù)據(jù)的代表一樣，這條直線也可以作為兩個變量之間具有相關(guān)關(guān)系的代表。 （3）回歸直線方程 一般地，設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且相

7、應(yīng)n組觀測值的n個點（xi,yi）（i=1,2，…，n）大致分布在一條直線的附近，求在整體上與這n個點最接近的一條直線，設(shè)此直線方程為，這里的y在上方加上“”是為了區(qū)分實際值y，表示當x取值xi,y相應(yīng)的觀察值yi 而直線上對應(yīng)于xi,的縱坐標是 點睛：（1）散點圖中的點整體上分布在一條直線附近時，可以應(yīng)用線性回歸分析的方法分析數(shù)據(jù)； 2）回歸直線是反映：“從整體上看，各點與此直線的距離的和最小”的一條直線，它反映了具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量之間的規(guī)律； 3）我們可以通過回歸直線方程，由一個變量的值來推測另一個變量的值，解決生活中的實際問題；這種方法稱為回歸方法 知識點4：回歸系

8、數(shù)公式及相關(guān)問題 1.最小二乘法：求回歸直線的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫從整體上看，各點與此直線的距離最小，假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：……。當自變量取（=1，2，……，n）時，可以得到（=1，2，……，n），它與實際收集到的之間的偏差是 （=1，2，……，n） 這樣用n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的。總的偏差為，偏差有正有負，易抵消，所以采用絕對值，由于帶絕對值計算不方便所以換成平方，①現(xiàn)在的問題就歸結(jié)為：當，b取什么值時Q最小，即點到直線y=bx+a的整體距離最小 ②（其中，） 這種通過求①式的最小值而得到回歸直線的方法，即使得

9、樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法。 2.回歸直線方程的求法 ①先判斷變量是否線性相關(guān) ②若線性相關(guān)，利用公式計算出a,b ③利用回歸方程對生活實際問題進行分析與預(yù)測 注意：①線性回歸直線方程中x的系數(shù)是b，常數(shù)項是a，與直線的斜截式不大一樣， ②如果散點圖中的點分布從整體上看不在任何一條直線附近，這時求出的線性回歸方程實用價值不大。 點睛：線性回歸方程：一般地,設(shè)有個觀察數(shù)據(jù)如下： … … 當a,b使 取得最小值時,就稱為擬合這對數(shù)據(jù)的線性回歸方程,該方程所表示的直線稱為回歸直線 ?？碱}型例解 易---

10、----------- -------知識點1 例1：下列兩個變量之間是相關(guān)關(guān)系的是（　?。? A、圓的面積與半徑 B、球的體積與半徑 C、角度與它的正弦值 D、一個考生的數(shù)學(xué)成績與物理成績 思路分析：由題意知A表示圓的面積與半徑之間的關(guān)系S=πr2，B表示球的體積與半徑之間的關(guān)系C表示角度與它的正弦值y=sinα， 前面所說的都是確定的函數(shù)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系不是確定的函數(shù)關(guān)系，故選D． 解：D 點撥：本題考查變量間的相關(guān)關(guān)系，判斷兩個變量間的關(guān)系還是函數(shù)關(guān)系還是相關(guān)關(guān)系的關(guān)鍵是判斷兩個變量之間的關(guān)系是否是確定的，若確定的則是函數(shù)關(guān)系；若不確定，則是相關(guān)關(guān)系．

11、 例2：名師出高徒可以解釋為老師的水平越高，學(xué)生的水平也越高，那么教師與學(xué)生的水平之間有何種關(guān)系呢？你能舉出更多的描述生活中兩變量相關(guān)關(guān)系的成語與俗語嗎？至少寫兩個 思路分析：名師出高徒的意思是有名的教師一定能教出高明的徒弟，高水平教師有很大趨勢教出高水平的學(xué)生，實際學(xué)生成績的好壞還與很多因素有關(guān)，如學(xué)生的天賦，學(xué)生的努力，學(xué)習(xí)的環(huán)境等，所以它們之間的關(guān)系帶有不確定性即為相關(guān)關(guān)系。 解：教師的水平與學(xué)生的水平之間具有相關(guān)關(guān)系 生活中描述兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的成語或俗語還有：老子英雄兒好漢，強將手下無弱兵，虎父無犬子 2020?寧夏高考中 知識點2 例2.對變量x、y有觀測數(shù)據(jù)

12、（xi，yi）（i=1，2，…，10），得散點圖1；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)（ui，vi）（i=1，2，…，10），得散點圖2．由這兩個散點圖可以判斷（　?。?A、變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B、變量x與y正相關(guān)，u與v負相關(guān) C、變量x與y負相關(guān)，u與v正相關(guān) D、變量x與y負相關(guān)，u與v負相關(guān) 思路分析：由題圖1可知，y隨x的增大而減小，各點整體呈遞減趨勢，x與y負相關(guān)， 由題圖2可知，u隨v的增大而增大，各點整體呈遞增趨勢，u與v正相關(guān)． 解：C 點撥：本題考查散點圖，是通過讀圖來解決問題，考查讀圖能力，是一個基礎(chǔ)題，本題可以粗略的反應(yīng)兩個變量之間的關(guān)系，是不

13、是線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負相關(guān) . 易知識點3 例3：5個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚? 由散點圖判斷它們是否相關(guān)，是正相關(guān)還是負相關(guān)？ 思路分析：分別以數(shù)學(xué)和物理成績作為橫縱坐標建立直角坐標系，描點畫出散點圖，然后根據(jù)散點圖判斷。 解：以x軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績可得到相應(yīng)的散點圖，如圖所示 由散點圖可知，兩者之間具有相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān)． 例4：下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料， 請判斷機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程；如果不具有

14、線性相關(guān)關(guān)系，說明理由． 思路分析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點圖，觀察數(shù)據(jù)是否集中，判斷變量之間關(guān)系，再利用最小二乘法計算系數(shù)a,b寫出線性回歸方程 解： 在直角坐標系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖，直觀判斷散點在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系．計算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和： ， 將它們代入（）式計算得，所以，所求線性回歸方程為． 例5：有一位同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計得到了一個熱飲杯數(shù)與當天氣溫之間的線性關(guān)系，其回歸方程為 y^=-2.35x+147.77．如果某天氣溫為-2℃時，則該小賣部大約能賣出熱飲的杯數(shù)是（　?。? A、140 B、143 C、1

15、52 D、156 思路分析：∵一個熱飲杯數(shù)與當天氣溫之間的線性關(guān)系，其回歸方程為 y^=-2.35x+147.77． 如果某天氣溫為-2℃時，即x=-2， 則該小賣部大約能賣出熱飲的杯數(shù)y=-2.35×（-2）+147.77=152.47≈152 解：C． 例6：某縣教研室要分析學(xué)生初中升學(xué)的數(shù)學(xué)成績對高一年級數(shù)學(xué)成績有什么影響，在高一年級學(xué)生中隨機抽選10名學(xué)生，分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績和高一年級期末數(shù)學(xué)考試成績（如下表）： （1）對變量x與y進行相關(guān)性檢驗，如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程； （2）若某學(xué)生入學(xué)數(shù)學(xué)成績是80分，試估測他高一期末數(shù)學(xué)考試成

16、績 思路分析：（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)利用最小二乘法．寫出線性回歸方程的系數(shù)和a的值，寫出線性回歸方程，注意運算過程中不要出錯． （2）將x=80代入所求出的線性回歸方程中，得y=8分，即這個學(xué)生的高一期末數(shù)學(xué)考試成績預(yù)測值為84分 解：（1）設(shè)所求的線性回歸方程為y=ax+b 最小二乘法可以寫出 因此所求的線性回歸方程y=0.742x+23.108 （2）將x=80代入所求出的線性回歸方程中， 得y=84分，即這個學(xué)生的高一期末數(shù)學(xué)考試成績預(yù)測值為84分 點撥：利用回歸方程可以對總體進行預(yù)測估計，回歸方程將部分觀測值所反映的規(guī)律進行延伸，使我們對有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變

17、量進行分析和控制，依據(jù)自變量的取值估計和預(yù)報因變量的值，在現(xiàn)實生活中有廣泛的應(yīng)用 拓展知識要點領(lǐng)悟 知識點5：線性回歸分析思想在實際中的應(yīng)用 教材中利用回歸直線對年齡與脂肪的關(guān)系做了上述分析，這種分析方法叫做線性回歸分析。利用這種分析方法可以對生活中的很多問題進行分析與預(yù)測， 求線性回歸方程的步驟：計算平均數(shù)；計算的積，求；計算；將結(jié)果代入公式求；用 求；寫出回歸方程 注意：對一組數(shù)據(jù)進行線性回歸分析時，應(yīng)先畫出其散點圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù)a,b的計算公式，算出．由于計算量較大，所以在計算時應(yīng)借助技術(shù)手段，認真細致，謹防計算中產(chǎn)生錯誤 知識點6：利用相關(guān)系數(shù)判斷線

18、性相關(guān)程度 最小二乘法求出回歸直線的方程后，可以對上面兩個變量的關(guān)系進行分析與預(yù)測，如圖 前兩個是線性相關(guān)，可以求回歸方程，后兩個是非線性相關(guān)，直線不能很好地反映圖中兩個變量之間的關(guān)系。顯然求回歸直線的方程是沒有意義的。有些變量線性相關(guān)，有些非線性相關(guān)，衡量變量的線性相關(guān)程度引入一個量：相關(guān)系數(shù) 注意它的符號：當時，x，y正相關(guān)，當時，x，y負相關(guān)，統(tǒng)計學(xué)認為：對于r，若 那么負相關(guān)很強，若，那么正相關(guān)很強若，那么相關(guān)性一般， 若，那么相關(guān)性較弱， 點睛：相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)關(guān)系就越強。 中 知識點5

19、 例7：某種產(chǎn)品的廣告費用支出x萬元與銷售額y萬元之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù)： （1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程； （2）據(jù)此估計廣告費用為10萬元時，所得的銷售收入 例8：一臺機器使用的時間較長，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產(chǎn)有缺點零件的多少，隨機器的運轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗的結(jié)果：（1）利用散點圖或相關(guān)系數(shù)r的大小判斷變量y對x是否線性相關(guān)？為什么？ （2）如果y對x有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程； （3）若實際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺點的零件最多為10個，那么機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么

20、范圍內(nèi)？（最后結(jié)果精確到0.001．參考數(shù)據(jù)： ， 16×11+14×9+12×8+8×5=438，162+142+122+82=660，112+92+82+52=291） 思路分析：（1）利用所給的數(shù)據(jù)做出兩個變量的相關(guān)系數(shù)，得到相關(guān)系數(shù)趨近于1，得到兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系． （2）先做出橫標和縱標的平均數(shù)，做出利用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)的量，做出系數(shù)，求出a，寫出線性回歸方程． （3）根據(jù)上一問做出的線性回歸方程，使得函數(shù)值小于或等于10，解出不等式． 考點方法技能整合 典例方法詳析 考點1：相關(guān)關(guān)系 方法：兩個變量間的關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系

21、，也不一定是因果關(guān)系。如產(chǎn)品銷售額與廣告費的投入關(guān)系。 例9：下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系（　　） A、出租車費與行駛的里程 B、房屋面積與房屋價格 C、人的身高與體重 D、鐵塊的大小與質(zhì)量 思路分析：由出租車費與行駛的里程、房屋面積與房屋價格和鐵塊的大小與質(zhì)量知它們都是確定的函數(shù)關(guān)系，故A、B、C不對，根據(jù)經(jīng)驗知人的身高會影響體重但不是唯一因素，故是相關(guān)關(guān)系．從而得出正確答案． 解：A、由出租車費與行駛的里程的公式知，是確定的函數(shù)關(guān)系，故A不對； B、房屋面積與房屋價格，是確定的函數(shù)關(guān)系，故B不對； C、人的身高會影響體重，但不是唯一因素，故C對； D、

22、鐵塊的大小與質(zhì)量，是確定的函數(shù)關(guān)系故D不對． 故選C． 考點2：散點圖 方法：根據(jù)所給數(shù)據(jù)分別作為點的橫縱坐標在直角坐標系內(nèi)描點，畫圖。 例10：某研究小組在一項實驗中獲得一組數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的散點圖，下列函數(shù)中，最能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是（　?。? A、y=2t B、y=2t2 C、y=t3 D、y=log2t 思路分析：根據(jù)所給的散點圖，觀察出圖象在第一象限， 單調(diào)遞增，并且增長比較緩慢，一般用對數(shù)函數(shù)來模擬， 在選項中只有一個底數(shù)是2的對數(shù)函數(shù)， 解：D． 綜合技能提升 考點3：回歸方程 方法：利用最小二乘法的

23、思想，根據(jù)線性回歸方程系數(shù)公式建立回歸方程，估計和預(yù)測取值，從而獲得對兩個變量之間整體關(guān)系的了解。 例11.在某種產(chǎn)品表面進行腐蝕刻線試驗，得到腐蝕深度y與腐蝕時間x的一組數(shù)據(jù)如表所示： （1）畫出數(shù)據(jù)的散點圖； （2）根據(jù)散點圖，你能得出什么結(jié)論？ （3）求回歸方程． 思路分析：（1）由圖表可以知道有（5，6）（10，10）（15，11）（20，13）（30，16）（40，17）（50，19）（60，23）點的坐標，在坐標系中描出點的坐標，得到散點圖． （2）散點圖呈帶狀分布，x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且對應(yīng)n組觀測值的n個點大致分布在一條直線附近． （3）計算

24、得r=0.979307992＞0.75．x與y有很強的線性相關(guān)關(guān)系，做出橫標和縱標的平均數(shù)，利用最小二乘法做出回歸直線方程的系數(shù)，得到回歸直線方程． 解：（1）由圖表可以知道有（5，6）（10，10）（15，11）（20，13） （30，16）（40，17）（50，19）（60，23）， 在坐標系中得到散點圖如圖所示 （2）結(jié)論：x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，且對應(yīng)n組觀測值的n個點大致分布在一條直線附近， 其中整體上與這n個點最接近的一條直線最能代表變量x與y之間的關(guān)系． （3）計算得r=0.979307992＞0.75． x與y有很強的線性相關(guān)關(guān)系， xˉ=5+10

25、+15+20+30+40+50+60 8=28.75 yˉ=6+10+11+13+16+17+19+23 8=14.25 由計算器計算得 a^=6.616438≈6.62， b^=0.269863≈0.27， ∴ y^=6.62+0.27x． 學(xué)法對應(yīng)題練 1、下列選項中，兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的是（　?。? A、正方形的面積與周長 B、勻速行駛車輛的行駛路程與時間 C、人的身高與體重 D、人的身高與視力 2、下列變量關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是（　?。? ①家庭的經(jīng)濟條件與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系 ②教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ③學(xué)

26、生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ④學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系． A、 ①② B、①③ C、②③ D、②④ 學(xué)法指導(dǎo) 例 考查了兩個變量之間具有相關(guān)關(guān)系的定義，根據(jù)學(xué)過公式和經(jīng)驗進行逐項驗證，一定要和函數(shù)關(guān)系區(qū)別出來． 3.在畫兩個變量的散點圖時，下面哪個敘述是正確的（　?。? A、預(yù)報變量x軸上，解釋變量y軸上B、解釋變量x軸上，預(yù)報變量y軸上 C、可以選擇兩個變量中任意一個變量x軸上 D、可以選擇兩個變量中任意一個變量y軸上 4. 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)． （

27、1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； （2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程 y=b^x+a^； （3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？（參考數(shù)值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5） 學(xué)法指導(dǎo) 本題考查散點圖，是通過讀圖來解決問題，考查讀圖能力，是一個基礎(chǔ)題，本題可以粗略的反應(yīng)兩個變量之間的關(guān)系，是不是線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負相關(guān)． 5（2020?臨潁縣）已知回歸直線斜率的估計值是1.23，樣本平均數(shù) xˉ=4，yˉ=5，則該

28、回歸直線方程為（　?。? A、 y^=1.23x+4 B、 y^=1.23x+0.08 C、 y^=0.08x+1.23 D、 y^=1.23x+5 6、某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)： （Ⅰ）畫出散點圖； （Ⅱ）求回歸直線方程； （Ⅲ）試預(yù)測廣告費支出為10萬元時，銷售額多大？ 學(xué)法指導(dǎo) 本題考查散點圖，考查從散點圖觀察兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，考查線性回歸直線方程的寫法，是一個綜合題，運算量比較大，注意像這種考運算的問題不要出錯． 五真題三年模擬 真題考法例解 考法1：變量間的相關(guān)關(guān)系 考法提煉：本部分內(nèi)容是高考

29、新增內(nèi)容，主要以選擇或填空的形式出現(xiàn)，分值5分左右，考查兩個變量之間關(guān)系的判斷與分析 1、（2020?陜西高考，理9）設(shè)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)論中正確的是（　?。? A、x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率B、x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 C、當n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同 D、直線l過點(xˉ，yˉ) 思路分析：對于所給的線性回歸方程對應(yīng)的直線，針對于直線的特點，回歸直線一定通過這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，得到結(jié)果．解答：解：直線l是由這些樣本點通

30、過最小二乘法得到的線性回歸直線， 回歸直線方程一定過一遍中心點， 故選D． 點評：本題考查線性回歸方程的性質(zhì)，考查樣本中心點一定在回歸直線上，本題是一個基礎(chǔ)題，不需要運算就可以看出結(jié)果． 考法2：利用回歸方程對總體進行估計 例2:(2020山東高考)某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x萬元 4 2 3 5 銷售額y萬元 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程 y?=b?x+a?中的 b?為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為（　　） A、63.6萬元 B、65.5萬元 C、67.7萬元 D、72.0萬元 思路分析：

31、 ∵數(shù)據(jù)的樣本中心點在線性回歸直線上， 回歸方程 y?=b?x+a?中的 b?為9.4， ∴42=9.4×3.5+a，∴ a^=9.1， ∴線性回歸方程是y=9.4x+9.1， ∴廣告費用為6萬元時銷售額為9.4×6+9.1=65.5， 故選B 解：B 模擬演練 1、(2020·廣東模擬)某市居民2020～2020年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示： 年份 2020 2020 2020 2020 2020 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10

32、12 根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是________，家庭年平均收入與年平均支出有________線性相關(guān)關(guān)系 2、假設(shè)關(guān)于某設(shè)備使用年限x（年）和所支出的維修費用y（萬元）有如下統(tǒng)計資料： 2 3 4 5 6y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知，y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求： （Ⅰ）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； （Ⅱ）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程 y=b^x+a^； （Ⅲ）估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？ （參考數(shù)據(jù)：2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3）

33、 3.(2020·威海模擬)已知回歸直線斜率的估值為1.23，樣本點的中心為點(4,5)，則回歸直線的方程為(　　) A．y＝1.23x＋4 B．y＝1.23x＋5 C．y＝1.23x＋0.08 D．y＝0.08x＋1.23 4．(2020·湖南高考)某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關(guān)，則其回歸方程可能是(　) A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200 C.＝－10x－200 D.＝10x－200 5.（2020?廣東高考）工人月工資y（元）與勞動生產(chǎn)率x（千元）變化的回歸方程為 y?=50+8

34、0x，下列判斷正確的是 ①勞動生產(chǎn)率為1千元時，工資為130元；②勞動生產(chǎn)率提高1千元，則工資提高80元；③勞動生產(chǎn)率提高1千元，則工資提高130元；④當月工資為210元時，勞動生產(chǎn)率為2千元． 高考水平優(yōu)化測試 基礎(chǔ)達標 一． 選擇題 1．以下兩變量之間具有相關(guān)關(guān)系的是( ) A．正方形的體積與邊長 B，人的身高與體重 C．勻速行駛車輛的行駛路程與時間 D，球半徑與表面積。 2．西瓜藤的的長短與西瓜的產(chǎn)量( ) A．確定性關(guān)系 B，相關(guān)關(guān)系 C，函數(shù)關(guān)系

35、D，無任何聯(lián)系。 3．下列說法正確的是( ) A．任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系 B，光照時間和果樹的單產(chǎn)量不具有相關(guān)關(guān)系。 C．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間是一種確定性關(guān)系 D．某產(chǎn)品的產(chǎn)量與其銷售之間是一種非確性關(guān)系。 4.有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是 ( ) A.相關(guān)關(guān)系的兩個變量不是因果關(guān)系 B.散點圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度 C.回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個變量之間的關(guān)系 D.任一組數(shù)據(jù)都有回歸方程 二．填空題 5．有一組獨立觀測據(jù)，則回歸直線方程=bx+a的系數(shù)b=____。 6.線性回歸方程=bx+a過定

36、點________.對于回歸方程：，則a=________。 7．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生 產(chǎn)能耗 (噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù) (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖； (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)(2)求出的線性 回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤? (參考

37、數(shù)值：) 高考優(yōu)化 一． 選擇題 1.下列語句所表示的事件不具有相關(guān)關(guān)系的是（　?。? A、瑞雪兆豐年 B、名師出高徒C、吸煙有害健康 D、喜鵲叫喜 2.下面哪些變量是相關(guān)關(guān)系( ) A.出租車費與行駛的里程 B.房屋面積與房屋價格 C.身高與體重 D.鐵的大小與質(zhì)量 3．單位產(chǎn)品成本與其產(chǎn)量的相關(guān)關(guān)系；單位產(chǎn)品成本與單位產(chǎn)品原材料消耗量的相關(guān)關(guān)系( ) A．前者是正相關(guān)后者是負相關(guān) B．前者是負相關(guān)后者是正相關(guān) C．兩者都是正相關(guān) D．兩者都是負相關(guān) 4．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是(

38、 ) （1） （2） （3） （4） A．（1）（2） B．（1）（3） 　 C．（2）（4） D．（2）（3） 5． 某校經(jīng)濟管理類的學(xué)生學(xué)習(xí)《統(tǒng)計學(xué)》的時間(x)與考試成績(y)之間建立線性回歸方程=a+bx．經(jīng)計算，方程為＝20-0.8x，則該方程參數(shù)的計算 （ ）　 　 A

39、．a(chǎn)值是明顯不對的　　　　 B．b值是明顯不對的 C．a(chǎn)值和b值都是不對的　　 D．a(chǎn)值和b值都是正確的 6（2020?江西高考）為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機抽取5對父子身高數(shù)據(jù)如下 則y對x的線性回歸方程為（　?。? A、y=x-1 B、y=x+1 C、 y=88+1/2x D、y=176 二．填空題 7．實驗測得四組的值為，則與的回歸直線方程 ． 8.已知回歸方程=4.4x+838.19，則可估計x與y的增長速度之比約為________. 9.下表是某廠1～4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)， 月份x 1 2

40、 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由其散點圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是y∧=-0.7x∧+a，則a= ． （ 參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式 ） 三．解答題(數(shù)據(jù)處理可借助計算器) 10．已知10只狗的血球體積及紅血球的測量值如下 ｘ 45 42 46 48 42 35 58 40 39 50 y 6.53 6.30 9.25 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.55 7.72 ｘ（血球體積，ｍｍ），ｙ（血紅球數(shù)，百萬） (

41、1) 畫出上表的散點圖;(2)求出回歸直線并且畫出圖形 （3）回歸直線必經(jīng)過的一點是哪一點？ 11.某市近10年的煤氣消耗量與使用煤氣戶數(shù)的歷史資料如下： 年 份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 x萬戶 1 1.2 1.6 1.8 2 2.5 3.2 4 4.2 4.5 y 百萬立米 6 7 9.8 12 12.1 14.5 20 24 25.4 27.5 （1）檢驗是否線性相關(guān)；（2）求回歸方程； （3）若市政府下一步再擴大5千煤氣用戶，試預(yù)測該市煤

42、氣消耗量將達到多少. 12.下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)與當天氣溫的對比表： 氣溫/℃ 26 18 13 10 4 －1 杯數(shù) 20 24 34 38 50 64 （1）將上表中的數(shù)據(jù)制成散點圖. （2）你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)溫度與飲料杯數(shù)近似成什么關(guān)系嗎? （3）如果近似成線性關(guān)系的話，請求出回歸直線方程來近似地表示這種線性關(guān)系. （4）如果某天的氣溫是－5℃時，預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù). 考例鏈接 學(xué)法對應(yīng)題練 1、C分析：由正方形的面積與周長的公式和勻速直線運動的路程公式知它們都是確定的函數(shù)關(guān)系，故A、B不對，根據(jù)經(jīng)驗知

43、人的身高會影響體重但不是唯一因素，故是相關(guān)關(guān)系；人的身高與視力無任何關(guān)系，故選C． 2、D分析：對于①，家庭的經(jīng)濟條件與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系沒有關(guān)系，所以①不是；對于②，教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的有關(guān)系，但不確定；是相關(guān)關(guān)系，所以②是；對于③，學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間沒有關(guān)系；所以③不是；對于④，學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度與學(xué)習(xí)成績之間有關(guān)系，但關(guān)系不確定；所以是相關(guān)關(guān)系，所以④是．故選D． 3、B分析：∵通常把自變量稱為解析變量，因變量稱為預(yù)報變量， ∴故解釋變量為自變量，預(yù)報變量為因變量． 4. 5、思路分析：根據(jù)回歸直線斜率的估計值是1.23，得到線性回歸方程是y=1.

44、23x+b，根據(jù)橫標和縱標的值得到樣本中心點，把中心點代入方程求出b的值． 解答：解：∵回歸直線斜率的估計值是1.23， ∴線性回歸方程是y=1.23x+b ∵樣本平均數(shù) xˉ=4，yˉ=5， ∴樣本中心點是（4，5） ∴5=1.23×4+a ∴a=0.08， ∴線性回歸方程是y=1.23x+0.08， 故選B． 點評：本題考查線性回歸方程的寫法，解題的關(guān)鍵是知道線性回歸直線一定過樣本中心點， 把樣本中心點代入求出b的值，注意數(shù)字的運算． 6、思路分析：本題考察的知識點是散點圖及回歸直線方程的求法， （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)描點即可得到散點圖． （2）由表中數(shù)據(jù)，我們不難求

45、出x，y的平均數(shù)，及xi2的累加值，及xiyi的累加值，代入回歸直線系數(shù)計算公式，即可求出回歸直線方程． （3）將預(yù)報值10萬元代入回歸直線方程，解方程即可求出相應(yīng)的銷售額． 解：（Ⅰ）根據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可得散點圖如下： （Ⅱ） xˉ=2+4+5+6+8 5=5， yˉ=30+40+50+60+70 5=50 又已知 ∑i=15xi2=145， ∑i=15xiyi=1380． 于是可得： b^=i=1∑5xiyi-xˉyˉi=1∑5xi2-5x-2= 1380-5×5×50 145-5×5×5=6.5 a^=yˉ-b^xˉ=50-6.

46、5×6=17.5 因此，所求回歸直線方程為： y?=6.5x+17.5 （Ⅲ）根據(jù)上面求得的回歸直線方程，當廣告費支出為10萬元時， y?=6.5×10+17.5=82.5（萬元） 即這種產(chǎn)品的銷售收入大約為82.5萬元 用二分法求回歸直線方程的步驟和公式要求大家熟練掌握，線性回歸方程必過樣本中心點 (xˉ，yˉ)．是兩個系數(shù)之間的紐帶，希望大學(xué)注意． 模擬演練 1、分析：居民家庭的年平均收入按從小到大排依次為：11.5、12.1、13、13.3、15，由中位數(shù)定義知年平均收入的中位數(shù)是13.畫出散點圖，由圖可知家庭年平均收入與年平均支出有正的線性相關(guān)關(guān)系． 解：　13　正

47、 2、（I）由已知中某設(shè)備使用年限x（年）和所支出的維修費用y（萬元）的統(tǒng)計表中數(shù)據(jù)，易畫出數(shù)據(jù)的散點圖； （Ⅱ）根據(jù)所給的樣本中心點和兩個最小二乘法要用的和式，寫出b的表示式，求出結(jié)果，再代入樣本中心點求出a，寫出線性回歸方程； （III）根據(jù)（II）中所得的線性回歸方程，代入x=10求出預(yù)報值，即使用年限為10年時，維修費用的估算值； 解：（I）表中數(shù)據(jù)的散點圖如下圖所示： （II）∵b= 112.3-5×4×5除90-5×16= 12.3除10=1.23 ∵ xˉ=4，yˉ=5， ∴樣本中心點的坐標是（4，5） ∴5=4×1.23+a ∴a=0.08， ∴線性回歸方

48、程是y=1.23x+0.08， （III）當x=10時，y=1.23×10+0.08=12.38 ∴使用年限為10年時，維修費用約是12.38萬元 3．C分析：回歸直線必過點(4,5)，∴y－5＝1.23(x－4)， ∴y＝1.23x＋0.08. 4.A分析：由題意回歸方程斜率應(yīng)為負，故排除B，D，又銷售量應(yīng)為正值，故C不正確 5. ② 分析：勞動生產(chǎn)率提高1千元，則工資提高80元，②正確，③不正確． ①④不滿足回歸方程的意義． 參考答案 基礎(chǔ)達標 1B分析：其它的函數(shù)關(guān)系。 2B分析：這因相關(guān)關(guān)系。 3A分析：任何兩個變量都具有相關(guān)系，只是相關(guān)關(guān)系有強有弱。

49、4D分析：只有線性相關(guān)的數(shù)據(jù)才有回歸直線. 5分析：。 6分析：（，）。=bx+a，=bx+－b，（－）=b（x－）. 0.625。因根據(jù)題意得a=1.25-0.5·0.75。 7解： (1)如下圖 (2)=32.5+43+54+64.5=66.5 ==4.5 ==3.5 =+++=86 故線性回歸方程為y=0.7x+0.35 (3)根據(jù)回歸方程的預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標準煤的數(shù)量為0.7100+0.35=70.35 故耗能減少了90-70.35=19.65(噸) 高考優(yōu)化 1D分析：根據(jù)兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，可以得到瑞雪兆豐年，瑞雪對

50、小麥有好處，可能使得小麥豐收，名師出高徒也具有相關(guān)關(guān)系，吸煙有害健康也具有相關(guān)關(guān)系，故選D． 2C分析：A、B、D都是函數(shù)關(guān)系，其中A一般是分段函數(shù)，只有C是相關(guān)關(guān)系. 3B分析：根據(jù)相關(guān)關(guān)系定義知。 4D分析：因(1)是函數(shù)關(guān)系，(4)兩變量間不具有相關(guān)系。 5B分析：直接根據(jù)實際情況分析，可知時間的增加成績應(yīng)是增加的。 6 7分析：。 8分析：。所求應(yīng)是回歸方程斜率的倒數(shù). 9.5.25．首先求出x，y的平均數(shù)，根據(jù)所給的線性回歸方程知道b的值，根據(jù)樣本中心點滿足線性回歸方程，把樣本中心點代入，得到關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可． 10解：（１）見下圖 （２

51、） 設(shè)回歸直線為， 則， 所以所求回歸直線的方程為，圖形如下: 故可得到 從而得回歸直線方程是。 11解：用計算器作出散點圖（如下圖）， 觀察呈線性正相關(guān)，并求出回歸方程.用計算機Excel軟件求回歸方程時，點選“顯示r2的值”可進一步得到相關(guān)系數(shù). （1）r=0.998>0.632=r0.05，線性相關(guān)； （2）=0.08+6.06x； （3）x0=4.5+0.5=5，代入得=30.38， 所以煤氣量約達3038萬立方米. 12. 解：（1）將表中的數(shù)據(jù)制成散點圖如下圖. （2）從散點圖中發(fā)現(xiàn)溫度與飲料杯數(shù)近似成線性相關(guān)關(guān)系. （3）利用計算機Excel軟件求出回歸直線方程（用來近似地表示這種線性關(guān)系），如下圖. 用=－1.6477x+57.557來近似地表示這種線性關(guān)系. （4）如果某天的氣溫是－5℃，用=－1.6477x+57.557預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù) 約為=－1.6477×（－5）+57.557≈66.