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1、第2章 2.3 第3課時等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
一、選擇題
1．已知等比數(shù)列{an}中，公比q是整數(shù)，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為( )
A．514 B．513
C．512 D．510
[答案] D
[解析] 由已知得，
解得q＝2或.
∵q為整數(shù)，∴q＝2.∴a1＝2.∴S8＝＝29－2＝510.
2．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝4n＋a，則a＝( )
A．－4 B．－1
C．0 D．1
[答案] B
[解析] 設(shè)等比數(shù)列為{an}，由已知得a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝12，
a3＝S3－S2＝48，∴
2、a＝a1·a3，
即144＝(4＋a)×48，∴a＝－1.
3．等比數(shù)列{an}中，a2＝9，a5＝243，則{an}的前4項(xiàng)和為( )
A．81 B．120
C．168 D．192
[答案] B
[解析] 公式q3＝＝＝27，q＝3，a1＝＝3，
S4＝＝120.
4．(2020·浙江文)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝( )
A．－11 B．－8
C．5 D．11
[答案] A
[解析] 設(shè)公比為q，依題意得8a2＋a2q3＝0，又∵a2≠0，∴q＝－2，∴＝＝＝－11.
5．(2020·天津，理)已知{an}是首項(xiàng)為
3、1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為( )
A.或5 B.或5
C. D.
[答案] C
[解析] 顯然q≠1，∴＝，∴1＋q3＝9，∴q＝2，∴{}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，前5項(xiàng)和T5＝＝.
6．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n＝( )
A．11 B．99
C．120 D．121
[答案] C
[解析] an＝＝－
∴Sn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.
解得n＝120.
二、填空題
7.＋＋＋＋＝________.
[答案]
[解析] a1＝＝，a2＝＝
4、，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝.
∴原式＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋(－)]
＝(1－)＝.
8．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比q＝________.
[答案]
[解析] 依題意S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，有4S2＝S1＋3S3，當(dāng)q≠1時，有4(a1＋a1q)＝a1＋.由于a1≠0，得3q2－q＝0，又q≠0，故q＝，當(dāng)q＝1時，不成立．
三、解答題
9．在等比數(shù)列{an}中，S3＝，S6＝，求an.
[解析] 由已知S6≠2S3，則q≠1.
又S3＝，S6＝，
即
①
5、÷②，得1＋q3＝28，∴q＝3.
可求得a1＝.因此an＝a1qn－1＝3n－3.
10．(2020·北京文)已知{an}為等差數(shù)列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n項(xiàng)和公式．
[解析] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵a3＝－6，a6＝0.
∴，解得，
∴an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.
∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8.
∴－8q＝－24，∴q＝3.
∴{bn}的前n項(xiàng)和為
Sn＝＝＝4(1－
6、3n)．
能力提升
一、選擇題
1．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
[答案] C
[解析] 本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算．
由＝q3＝＝知q＝，而新的數(shù)列{anan＋1}仍為等比數(shù)列，且公比為q2＝，
又a1·a2＝4×2＝8，
故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．
2．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a2a4＝1，S3＝13，bn＝log3an，則數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和是( )
A．65
7、 B．－65
C．25 D．－25
[答案] D
[解析] ∵{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，a2a4＝1，
∴a3＝1，又∵S3＝13，∴公比 q≠1.
又∵S3＝＝13，a3＝a1q2＝1，
解得q＝.
∴an＝a3qn－3＝()n－3＝33－n，
∴bn＝log3an＝3－n.
∴b1＝2，b10＝－7.
∴S10＝＝＝－25.
二、填空題
3．等比數(shù)列{an}中，若前n項(xiàng)的和為Sn＝2n－1，則a＋a＋…＋a＝________.
[答案] (4n－1)
[解析] ∵a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝3－1＝2，
∴公比q＝2.
又∵數(shù)列{a}也是等比數(shù)列，
8、首項(xiàng)為a＝1，公比為q2＝4，
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，則S22－S11＝________.
[答案]?。?5
[解析] Sn＝－4－4－4＋…＋(－1)n－1(4n－3)，
∴S22＝－4×11＝－44，
S11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21，
∴S22－S11＝－65.
三、解答題
5．(2020·福建文)數(shù)列{an}中，a1＝.前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋1－Sn＝()n＋1(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an以及前n項(xiàng)和Sn；
(2
9、)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值．
[解析] (1)由Sn＋1－Sn＝()n＋1得an＋1＝()n＋1(n∈N*)
又a1＝，故an＝()n(n∈N*)
從而Sn＝＝[1－()n](n∈N*)
(2)由(1)可得S1＝，S2＝，S3＝
從而由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差數(shù)列可得
＋3×(＋)＝2×(＋)t，解得t＝2.
6．(2020·課標(biāo)全國)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{}的前
10、n項(xiàng)和．
[解析] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.
由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.
由條件可知q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝；
(2) bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an
＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故＝－＝－2，
＋＋…＋
＝－2＝－.
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為－.
7．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列．
(1)求{an}的公比q；
(2)求a1－a3＝3，求Sn.
[解析] (1)依題意，得a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a
11、1q＋a1q2)，
∵a1≠0，∴2q2＋q＝0.
又q≠0，∴q＝－.
(2)由已知，得a1－a12＝3，
∴a1＝4.
∴Sn＝＝.
8．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{b”}的前n項(xiàng)和Sn.
[解析] (1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①
∴當(dāng)n≥2時，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝.②
①－②得3n－1an＝，∴an＝，n≥2.
又a1＝滿足上式，∴an＝(n∈N*)．
(2)∵bn＝，∴bn＝n3n.
∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③
∴3Sn＝32＋2×33＋…＋(n－1)3n＋n·3n＋1.④
③－④得，－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1
＝－n·3n＋1＝(3n－1)－n·3n＋1
＝－－n·3n＋1
∴Sn＝－＋＋，
∴Sn＝＋，n∈N*.
高中數(shù)學(xué) 2-3-3第2章 第3課時 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和同步檢測 新人教B版必修5
