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1、2.3第2課時(shí) 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
一、選擇題
1.已知雙曲線與橢圓+=1共焦點(diǎn),它們的離心率之和為,雙曲線的方程應(yīng)是( )
A.-=1 B.-=1
C.-+=1 D.-+=1
[答案] C
[解析] ∵橢圓+=1的焦點(diǎn)為(0,±4),
離心率e=,
∴雙曲線的焦點(diǎn)為(0,±4),離心率為-==2,
∴雙曲線方程為:-=1.
2.焦點(diǎn)為(0,±6)且與雙曲線-y2=1有相同漸近線的雙曲線方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[答案] B
[解析] 與雙曲線-y2=1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為-y
2、2=λ(λ≠0),
又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上,
∴方程可寫為-=1.
又∵雙曲線方程的焦點(diǎn)為(0,±6),
∴-λ-2λ=36.∴λ=-12.
∴雙曲線方程為-=1.
3.若00.
∴c2=(a2-k2)+(b2+k2)=a2+b2.
4.中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,則它的漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
3、
[答案] D
[解析] ∵=,∴==,∴=,
∴=,∴=.
又∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x,
∴所求雙曲線的漸近線方程為y=±x.
5.(2020·四川文,8)已知雙曲線-=1(b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2,其一條漸近線方程為y=x,點(diǎn)P(,y0)在該雙曲線上,則·=( )
A.-12 B.-2 C.0 D.4
[答案] C
[解析] 本小題主要考查雙曲線的方程及雙曲線的性質(zhì).
由題意得b2=2,∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),
又點(diǎn)P(,y0)在雙曲線上,∴y=1,
∴·=(-2-,-y0)·(2-,-y0)=
4、-1+y=0,故選C.
6.雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,∠F1MF2=120°,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0).
∵△MF1F2為等腰三角形,∠F1MF2=120°,
∴∠MF1F2=30°,∴tan30°==,=,
=1-()2=,()2=,∴e=.
7.已知a、b、c分別為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、半焦距,且方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根,則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A.1
5、D.11,故1
6、P為C的右支上一點(diǎn),且|PF2|=|F1F2|,則△PF1F2的面積等于( )
A.24 B.36 C.48 D.96
[答案] C
[解析] 依題意得|PF2|=|F1F2|=10,由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=16,因此△PF1F2的面積等于×16×=48,選C.
10.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則m等于( )
A.- B.-4 C.4 D.
[答案] A
[解析] 雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式:y2-=1,
則有:a2=1,b2=-,
由題設(shè)條件知,∴2=,
∴m=-.
[點(diǎn)評(píng)]
7、 雙曲線作為圓錐曲線的一種,其幾何性質(zhì)常作為高考命題的熱點(diǎn)問(wèn)題.但難度一般不大,掌握其實(shí)軸、虛軸、焦距之間的關(guān)系和漸近線方程是解決雙曲線問(wèn)題的突破口.
二、填空題
11.若雙曲線+=1的漸近線方程為y=±x,則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是____________.
[答案] (,0)(-,0)
[解析] 由雙曲線方程得出其漸近線方程為y=±x,∴m=-3,求得雙曲線方程為-=1,從而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)(,0)(-,0)
12.(2020·福建文,13)若雙曲線-=1(b>0)的漸近線方程為y=±x,則b等于________.
[答案] 1
[解析] 本題主要考查雙曲線的漸近線方程.
雙曲線-=
8、1(b>0)的漸近線方程為y=±x,
∴=,即b=1.
13.已知雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn),它的一條漸近線方程為x-y=0,則雙曲線的方程為________.
[答案]?。?
[解析] 解法一:由于雙曲線的一條漸近線方程為x-y=0,則另一條為x+y=0,可設(shè)雙曲線方程為
x2-3y2=λ(λ>0),即-=1
由橢圓方程+=1可知
c2=a2-b2=64-16=48
雙曲線與橢圓共焦點(diǎn),則λ+=48
∴λ=36.
故所求雙曲線方程為-=1.
解法二:雙曲線與橢圓共焦點(diǎn),可設(shè)雙曲線方程為
-=1
由漸近線方程y=x可得=
∴λ=28
故所求雙曲線方程為
9、-=1.
解法三:橢圓+=1,c2=64-16=48.
設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng),虛半軸長(zhǎng)分別為a、b,則由條件知
,∴,
∴雙曲線方程為-=1.
14.已知雙曲線的漸近線方程是y=±4x,則其離心率為________.
[答案] 或
[解析] 若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,依題意得,=4,
∴=16,即=16,∴e2=17,e=.
若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上,依題意得,=4.
∴=,=,即=.
∴e2=,故e=,
即雙曲線的離心率是或.
三、解答題
15.雙曲線與圓x2+y2=17有公共點(diǎn)A(4,-1),圓在A點(diǎn)的切線與雙曲線的一條漸近線平行,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
[解析] ∵點(diǎn)A
10、與圓心O連線的斜率為-,
∴過(guò)A的切線的斜率為4.
∴雙曲線的漸近線方程為y=±4x.
設(shè)雙曲線方程為x2-=λ.
∵點(diǎn)A(4,-1)在雙曲線上,∴16-=λ,λ=.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
16.焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線,它的兩條漸近線方程為2x±y=0,焦點(diǎn)到漸近線的距離為8,求此雙曲線方程.
[解析] 因雙曲線的漸近線方程為2x±y=0,
故設(shè)雙曲線方程為4x2-y2=λ(λ≠0).
當(dāng)λ>0時(shí),a2=,b2=λ,∴c2=a2+b2=λ.
即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±λ,0).
據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式有=8,得λ=8.
此時(shí)雙曲線方程為-=1.
當(dāng)λ<0時(shí),雙曲線方程可化
11、為-=1.
則a2=-λ,b2=-,
∴c2=a2+b2=-λ.
故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±λ),
據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式有=3,得λ=-16.
此時(shí)雙曲線方程為-=1.
故所求雙曲線的方程為-=1或-=1.
17.雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,焦距為2c,左頂點(diǎn)為A,虛軸的上端點(diǎn)為B(0,b),若·=3ac,求該雙曲線的離心率.
[解析] 由條件知F(c,0),A(-a,0),
∴=(-a,-b),=(c,-b),
∵·=3ac,∴-ac+b2=3ac,
又b2=c2-a2,∴c2-a2-4ac=0,
∵e>1,∴e==2+.
18.若F1,F(xiàn)2是雙曲線-=1
12、的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大?。?
[分析] 條件給出了|PF1|·|PF2|=32,自然聯(lián)想到定義式||PF1|-|PF2||=2a=6,欲求∠F1PF2可考慮應(yīng)用余弦定理.
[解析] 由雙曲線的方程,知a=3,b=4,所以c=5.
由雙曲線的定義得,
||PF1|-|PF2||=2a=6.
上式兩邊平方得,
|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=100,
由余弦定理得,
cos∠F1PF2=
==0,
所以∠F1PF2=90°.
[點(diǎn)評(píng)] 在雙曲線的焦點(diǎn)三角形中,經(jīng)常運(yùn)用正弦定理、余弦定理、雙曲線定義來(lái)解題,解題過(guò)程中,常對(duì)定義式兩邊平方探求關(guān)系.