高中數(shù)學(xué) 2-3-1第2章 第1課時(shí) 等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式同步檢測 新人教B版必修5

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1、第2章 2.3 第1課時(shí)等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式 一、選擇題 1.公差不為零的等差數(shù)列{an},a2,a3,a7成等比數(shù)列,則它的公比為(  ) A.-4 B.- C. D.4 [答案] D [解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意知d≠0, 且a=a2a7,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d), 化簡,得a1=-d. ∴a2=a1+d=-d+d=d, a3=a2+d=d+d=d, ∴=4,故選D. 2.若2a,b,2c成等比數(shù)列,則函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(  ) A.0 B.1 C.2 D.0或2

2、 [答案] B [解析] 由題意,得b2=4ac,令ax2+bx+c=0, ∴Δ=b2-4ac=0,故函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相切,故選B. 3.在等比數(shù)列{an}中,a5·a6·a7=3,a6·a7·a8=24,則a7·a8·a9的值等于(  ) A.48 B.72 C.144 D.192 [答案] D [解析] 設(shè)公比為q,則a6·a7·a8=a5·a6·a7·q3, ∴q3==8. 又a7·a8·a9=a6·a7·a8·q3=24×8=192. 4.(2020·全國卷Ⅰ)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則

3、a4a5a6=(  ) A.5 B.7 C.6 D.4 [答案] A [解析] 由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a2a3=(a1a3)·a2=a=5, a7a8a9=(a7a9)·a8=a=10,所以a2a8=50, 所以a4a5a6=(a4a6)·a5=a=()3=(50)3=5. 5.(2020·福州高二檢測)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正數(shù),公比為q,若q2=4,則的值為(  ) A. B.± C.2 D.±2 [答案] A [解析] 由q2=4得q=±2, 因?yàn)閿?shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù),所以q=2, 又因?yàn)閍4=a3q,a5=a4q, ∴a4+a5=a3q+

4、a1q=(a3+a4)q, ∴==. 6.(2020·沈陽高二檢測)已知等比數(shù)列{an},若a1+a2=20,a3+a4=80,則a5+a6等于(  ) A.480 B.320 C.240 D.120 [答案] B [解析] ∵a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比數(shù)列,∴(a3+a4)2=(a1+a2)·(a5+a6),即802=20·(a5+a6).∴a5+a6=320,故選B. 二、填空題 7.設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的兩根,則a6+a7=________. [答案] 18 [解析] 由題意得a4+a5=2

5、,a4a5=,∵q>1,∴a5>a4,解得a4=,a5=,∴q=3,∴a6+a7=a5(q+q2)=18. 8.若a1,a2,a3,a4,a5為等比數(shù)列,其公比為2,則=________. [答案]  [解析] 由已知:a3=2a2,a4=4a2,a5=8a2, ∴===. 三、解答題 9.已知{an}為等比數(shù)列,a3=2,a2+a4=,求{an}的通項(xiàng)公式. [解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q≠0. a2==,a4=a3q=2q, 又∵+2q=, 解得q=或q=3. 當(dāng)q=時(shí),a1=18, ∴an=18×()n-1=2×33-n; 當(dāng)q=3時(shí),a1=,

6、∴an=×3n-1=2×3n-3. 10.(2020·宿州高二檢測)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項(xiàng)a1=2,a4=16. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且b3=a3,b5=a5,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)的和. [解析] (1)因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列且a1=2,a4=16, 所以q3===8,故q=2. 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:an=a1·qn-1=2·2n-1=2n. (2)由(1)知:b3=a3=23=8,b5=a5=25=32, 而數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,故數(shù)列{bn}的公差d===12. 所以{bn}的遞項(xiàng)公式bn=b

7、3+(n-3)d =8+(n-3)·12 即bn=12n-28(n∈N+),又b1=-16,所以其前n項(xiàng)的和 Sn==6n2-22n. 能力提升 一、選擇題 1.(2020·江西文)等比數(shù)列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,則an=(  ) A.(-2)n-1 B.-(-2)n-1 C.(-2)n D.-(-2)n [答案] A [解析] 由a5=-8a2,a5>a2知a1>0,根據(jù)a5=-8a2有a1q4=-8a1q得q=-2.所以an=(-2)n-1. 2.公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4是a3與a7的等比中項(xiàng),S8=3

8、2,則S10等于(  ) A.18 B.24 C.60 D.90 [答案] C [解析] 由a=a3·a7,得(a1+3d)2=(a1+3d)(a1+6d),得2a1+3d=0, 又∵S8=8a1+28d=32, ∴a1=-3,d=2, ∴Sn=10a1+45d=60. 故選C. 二、填空題 3.已知a、b、c成等差數(shù)列,且a、c、b成等比數(shù)列,則a:b:c=________.(其中a、b、c不相等). [答案] 4:1:(-2) [解析] 由已知,得 由①,得a=2b-c,代入②得2b2-bc-c2=0,解得b=-c,或(b=c舍去). ∴c=-2b.∴a

9、=2b-c=4b. ∴a:b:c=4b:b:(-2b)=4:1:(-2). 4.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列的任何一項(xiàng)都等于它后面相鄰兩項(xiàng)的和,則該數(shù)列的公比q=________. [答案]  [解析] 設(shè)該正項(xiàng)等比數(shù)列為{an},公比為q,由題意,得 an=an+1+an+2=anq+anq2, ∴q2+q-1=0,∵q>0,∴q=. 三、解答題 5.(2020·全國Ⅰ文)記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,求Sn. [解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,依題設(shè)有 , 即, 解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4, 因此

10、Sn=n(3n-1),或Sn=2n(5-n). 6.有四個(gè)數(shù),其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12,求這四個(gè)數(shù). [解析] 設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a-d,a,a+d,,依題意,得 , 解得a=4或9. 當(dāng)a=4時(shí),d=4,這四個(gè)數(shù)依次為0,4,8,16. 當(dāng)a=9時(shí),d=-6,這四個(gè)數(shù)為15,9,3,1. ∴這四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1. 7.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3…). 求證:數(shù)列{}是等比數(shù)列. [解析] ∵an+1=Sn+1-Sn,an

11、+1=Sn. ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 整理得nSn+1=2(n+1)Sn. ∴=2. 故{}是以2為公比的等比數(shù)列. 8.(2020·江西)已知兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若a=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若數(shù)列{an}唯一,求a的值. [解析] (1)設(shè){an}的公比為q,則 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2, 由b1,b2,b3成等比數(shù)列得(2+q)2=2(3+q2) 即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2- 所以{an}的通項(xiàng)公式為an=(2+)n-1 或an=(2-)n-1. (2)設(shè){an}的公比為q,則由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*) 由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根. 由{an}唯一,知方程(*)必有一根為0,代入(*)得a=.

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