高中數(shù)學(xué) 2-2-3第2章 第3課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和同步檢測(cè) 新人教B版必修5

第2章 2.2 第3課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 一、選擇題 1．(2020·大綱全國(guó))設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 [答案]　D [解析]　∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5. 2．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.若a1＝，S4＝20，則S6＝(　　) A．16　 B．24 C．36 D．48 [答案]　D [解析]　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵a1＝，S4＝4×＋d＝2＋6d＝20， ∴d＝3，故S6＝6×＋×3＝48，故選D. 3．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，則m＝(　　) A．38 B．20 C．10 D．9 [答案]　C [解析]　由等差數(shù)列的性質(zhì)，得am－1＋am＋1＝2am， ∴2am＝a，由題意，得am≠0，∴am＝2. 又S2m－1＝＝ ＝2(2m－1)＝38，∴m＝10. 4．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列的前20項(xiàng)和等于(　　) A．160 B．180 C．200 D．220 [答案]　B [解析]　∵{an}是等差數(shù)列， ∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18， 又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78， ∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54. ∴3(a1＋a20)＝54， ∴a1＋a20＝18. ∴S20＝＝180. 5．等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí)，a2＋a8＋a11是一個(gè)定值，則下列各數(shù)中也為定值的是(　　) A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 [答案]　C [解析]　由已知a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7為定值，則S13＝＝13a7也為定值，故選C. 6．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，則它的前10項(xiàng)的和S10＝(　　) A．138 B．135 C．95 D．23 [答案]　C [解析]　本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和． 設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d. 則， ②－①得2d＝6，∴d＝3. a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2a1＋4d ＝2a1＋4×3＝4， ∴a1＝－4， S10＝10×(－4)＋×3＝－40＋135＝95. 故選C. 二、填空題 7．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＝，an＝3，Sn＝，則a1＝________，n＝________. [答案]　2；3 [解析]　由題意，得， 解得. 8．(2020·湖南理)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和，且a1＝1，a4＝7，則S5＝________. [答案]　25 [解析]　∵a4－a1＝3d，∴3d＝6，∴d＝2，∴S5＝5a1＋×5×4×d＝5＋×5×4×2＝25. 三、解答題 9．在等差數(shù)列{an}中： (1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. [解析]　(1)解法一：由已知條件得 ， 解得. ∴S10＝10a1＋×d ＝10×3＋×4＝210. 解法二：由已知條件得， ∴a1＋a10＝42， ∴S10＝＝5×42＝210. 解法三：由(a5＋a10)－(a4＋a9)＝2d＝58－50， 得d＝4 由a4＋a9＝50，得2a1＋11d＝50，∴a1＝3. 故S10＝10×3＋＝210. (2)S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6. ∴Sn＝＝＝＝510. ∴n＝20. 10．在等差數(shù)列{an}中，(1)已知 a6＝10，S5＝5，求a8和S8； (2)已知a3＋a15＝40，求S17. [解析]　(1)∵a6＝10，S5＝5， ∴，解得. ∴a8＝a6＋2d＝16，S8＝＝44. (2)∵a1＋a17＝a3＋a15， ∴S17＝＝＝＝340. 能力提升 一、選擇題 1．已知一個(gè)等差數(shù)列的前四項(xiàng)之和為21，末四項(xiàng)之和為67，前n項(xiàng)和為286，則項(xiàng)數(shù)n為(　　) A．24 B．26 C．27 D．28 [答案]　B [解析]　設(shè)該等差數(shù)列為{an}， 由題意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21， an＋an－1＋an－2＋an－3＝67， 又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， ∴4(a1＋an)＝21＋67＝88， ∴a1＋an＝22. ∴Sn＝＝11n＝286， ∴n＝26. 2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝a1＋a200，且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)點(diǎn)O)，則S200＝(　　) A．100 B．101 C．200 D．201 [答案]　A [解析]　∵＝a1＋a200，且A、B、C三點(diǎn)共線， ∴a1＋a200＝1，S200＝＝100. 二、填空題 3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，則n＝________. [答案]　27 [解析]　Sn＝＝18， 由S3＝1和， 得3(a1＋an)＝4，故a1＋an＝， 故n＝＝＝27. 4．已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為________． [答案]　3 [解析]　S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15， S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30， ∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3. 三、解答題 5．已知等差數(shù)列{an}， (1)若a2＋a7＋a12＝21，求S13； (2)若S15＝75，求a8. [解析]　(1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7，a2＋a7＋a12＝21， ∴3a7＝21，即a7＝7. ∴S13＝＝＝91. (2)∵S15＝＝＝75，∴a8＝5. 6．已知在正整數(shù)數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝(an＋2)2， (1)求證：{an}是等差數(shù)列； (2)若bn＝an－30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值． [解析]　(1)由Sn＝(an＋2)2， 則Sn－1＝(an－1＋2)2　(n≥2)． 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1 ＝(an＋2)2－(an－1＋2)2， 整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0. ∴an－an－1＝4，即{an}為等差數(shù)列． (2)∵S1＝(a1＋2)2.∴a1＝(a1＋2)2. 解得a1＝2.∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2 ∴bn＝an－30＝(4n－2)－30 ＝2n－31. 令bn<0得n<， ∴S15為前n項(xiàng)和最小值． S15＝b1＋b2＋…＋b15＝2(1＋2＋…＋15)－15×31＝－225. 7．甲、乙兩物分別從相距70m的兩處同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前一分鐘多走1m，乙每分鐘走5m. (1)甲、乙開始運(yùn)動(dòng)后幾分鐘相遇？ (2)如果甲、乙到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)每分鐘走5m，那么開始運(yùn)動(dòng)幾分鐘后第二次相遇？ [分析]　可將問(wèn)題化為等差數(shù)列問(wèn)題． [解析]　(1)設(shè)n分鐘后第1次相遇，依題意有2n＋＋5n＝70， 整理得n2＋13n－140＝0 解得n＝7，n＝－20(舍去) 第一次相遇是在開始運(yùn)動(dòng)后7分鐘． (2)設(shè)n分鐘后第二次相遇，依題意有 2n＋＋5n＝3×70 整理得n2＋13n－6×70＝0 解得n＝15或n＝－28(舍去) 第二次相遇是開始運(yùn)動(dòng)15分鐘． 8．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－7n－8. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求{|an|}的前n項(xiàng)和Tn. [解析]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－14； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－8， 故an＝. (2)由an＝2n－8可知：當(dāng)n≤4時(shí)，an≤0，當(dāng)n≥5時(shí)，an>0. ∴當(dāng)n≤4時(shí)，Tn＝－Sn＝－n2＋7n＋8， 當(dāng)n≥5時(shí)，Tn＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－7n－8－2×(－20)＝n2－7n＋32， ∴Tn＝.