高中數(shù)學(xué) 3-1-5第5課時 空間向量運算的坐標(biāo)表示同步檢測 新人教A版選修2-1

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1、3.1第5課時 空間向量運算的坐標(biāo)表示 一、選擇題 1.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα) ,且a b則向量a+b與a-b的夾角是(  ) A.90°    B.60°    C.30°    D.0° [答案] A [解析] ∵|a|2=2,|b|2=2, (a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0, ∴(a+b)⊥(a-b). 2.已知空間四點A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),D(x,-1,3)共面,則x的值為(  ) A.4     B.1     C.10    D.11 [答案] D [

2、解析]?。?-2,2,-2),=(-1,6,-8),=(x-4,-2,0), ∵A、B、C、D共面,∴、、共面, ∴存在λ、μ,使=λ+μ, 即(x-4,-2,0)=(-2λ-μ,2λ+6μ,-2λ-8μ), ∴,∴. 3.下列各組向量中共面的組數(shù)為(  ) ①a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5) ②a=(1,2,-1),b(0,2,-4),c=(0,-1,2) ③a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1) ④a=(1,1,1),b(1,1,0),c=(1,0,1) A.0     B.1     C.2      D.3 [答

3、案] D [解析]?、僭O(shè)a=xb+yc,則 ,解得. 故存在實數(shù)x=-1,y=1使得a=-b+c, ∴a,b,c共面. ②中b=-2c,③中c=a-b. 故②③中三個向量共面. 4.下列各組向量不平行的是(  ) A.a(chǎn)=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0) C.e=(2,3,0),f=(0,0,0) D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40) [答案] D [解析] b=-2a,d=-3c,f=0e,只有D不存在實數(shù)λ,使g=λh. 5.若兩點的坐標(biāo)是A(3cosα,3sinα,1),B(2cosθ,2s

4、inθ,1),則||的取值范圍是(  ) A.[0,5]  B.[1,5] C.(1,5) D.[1,25] [答案] B [解析] ||2=(2cosθ-3cosα)2+(2sinθ-3sinα)2=13-12cosθcosα-12sinθsinα =13-12cos(θ-α)∈[1,25], ∴1≤||≤5. 6.已知a=(x,2,0),b=(3,2-x,x),且a與b的夾角為鈍角,則x的取值范圍是(  ) A.x<-4 B.-44 [答案] A [解析] ∵a、b的夾角為鈍角,∴a·b<0, 即3x+2(2-x)

5、+0·x=4+x<0. ∴x<-4. 又當(dāng)夾角為π時,存在λ<0,使b=λa, ∴,此方程組無解,因此選A. 7.如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1,B1E1=A1B1,則等于(  ) A.(0,,-1) B.(-,0,1) C.(0,-,1) D.(,0,-1) [答案] C [解析] B(1,1,0)、E1(1,,1),=(0,-,1). 8.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),則(  ) A.x=,y=1 B.x=,y=-4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 [答案]

6、 B [解析] a+2b=(2x+1,4,4-y), 2a-b=(2-x,3,-2y-2), ∵(a+2b)∥(2a-b), ∴,∴ 9.如圖AC1是正方體的一條體對角線,點P、Q分別為其所在棱的中點,則PQ與AC1所成的角為(  ) A.a(chǎn)rctan B.a(chǎn)rctan C. D. [答案] D [分析] 建立空間直角坐標(biāo)系,求出與的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為求與的夾角. [解析] 設(shè)正方體棱長為1,以點A1為坐標(biāo)原點,A1B1、A1D1、A1A所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則P,Q,A(0,0,1),C1(1,1,0),所以=,=(1,1,-1),故

7、·=-×1+1×1+×(-1)=0, ∴⊥,即PQ與AC1所成的角為. 10.已知向量=(2,-2,3),向量=(x,1-y,4z),且平行四邊形OACB對角線的中點坐標(biāo)為(0,,-),則(x,y,z)=(  ) A.(-2,-4,-1) B.(-2,-4,1) C.(-2,4,-1) D.(2,-4,-1) [答案] A [解析] 由條件(2,-2,3)+(x,1-y,4z) =2, ∴(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1), ∴. 二、填空題 11.已知a=(1,0,-1),b=(1,-1,0),單位向量n滿足n⊥a,n⊥b,則n=________.

8、[答案]   [解析] 設(shè)n=(x,y,z),由條件, ∴x=y(tǒng)=z=或-. 12.已知空間三點A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),則與的夾角θ的大小是____________. [答案] 120° [解析]?。?-2,-1,3),=(-1,3,-2), ·=-7,||=,||=, ∴cosθ==-, ∴θ=120°. 13.已知向量a=(-3,2,5),b=(1,-3,0),c=(7,-2,1),則: (1)a+b+c=________; (2)(a+b)·c=________; (3)|a-b+c|2=________. [答案] (5,-3

9、,6)?。? 54 [解析] (1)a+b+c=(-3,2,5)+(1,-3,0)+(7,-2,1)=(5,-3,6). (2)a+b=(-2,-1,5), (a+b)·c=(-2,-1,5)·(7,-2,1)=-7. (3)a-b+c=(3,3,6),|a-b+c|2=54. 14.已知a,b,c不共面,且m=3a+2b+c,n=x(a-b)+y(b-c)-2(c-a),若m∥n,則x+y=__________________. [答案]?。? [解析] ∵a、b、c不共面,m∥n, ∴==,∴. 三、解答題 15.已知點A(2,3,-1),B(8,-2,4),C(3,0

10、,5),是否存在實數(shù)x,使與+x垂直? [解析]?。?6,-5,5),=(1,-3,6), +x=(6+x,-5-3x,5+6x), ∵⊥(+x) ∴6(6+x)-5(-5-3x)+5(5+6x)=0, ∴x=-=-,∴存在實數(shù)x=-, 使與+x垂直. 16.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、DC的中點. 求證:(1)AE⊥D1F; (2)AE⊥平面A1D1F. [證明] 設(shè)正方體的棱長為1,以、、為坐標(biāo)向量,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖所示. (1)易知A(1,0,0)、E(1,1,)、F(0,,0)、D1(0,0,1). ∵=(0,1

11、,),=(0,,-1). 又·=(0,1,)·(0,,-1)=0, ∴AE⊥D1F. (2)=(1,0,0)=, ∴·=(1,0,0)·(0,1,)=0, ∴AE⊥D1A1, 由(1)知AE⊥D1F,且D1A∩D1F=D1, ∴AE⊥平面A1D1F. 17.已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=,b=. (1)設(shè)|c|=3,c∥,求c. (2)求a與b的夾角. (3)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k. [解析] (1)∵c∥,=(-2,-1,2). ∴設(shè)c=(-2λ,-λ,2λ), ∴|c|==3|λ|=3 ∴λ=±1

12、 ∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2). (2)a==(-1+2,1-0,2-2)=(1,1,0) b==(-3+2,0-0,4-2)=(-1,0,2). ∴cos= ==-. ∴a和b的夾角為=π-arccos. (3)ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 又(ka+b)⊥(ka-2b),則(ka+b)·(ka-2b)=(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0, ∴k=2或k=-. 18.已知空間三點A(0,2,3)、B(-2,1,6)、C(1,-1,5). (1)求以、為鄰邊的平行四邊形面積; (2)若|a|=,且a分別與、垂直,求向量a的坐標(biāo). [解析] (1)由題中條件可知 =(-2,-1,3),=(1,-3,2), ∴cos〈,〉===, ∴sin〈,〉=, ∴以,為鄰邊的平行四邊形面積 S=||·||·sin〈,〉=7. (2)設(shè)a=(x,y,z), 由題意得 解得或 ∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1)

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