2020高二數(shù)學(xué) 1.1.1正弦定理(一)學(xué)案 新人教A版必修5

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1、第一章　解三角形§1.1　正弦定理和余弦定理 1.1.1　正弦定理(一) 自主學(xué)習(xí) 1．一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形． 2．在Rt△ABC中，C＝90°，則有： (1)A＋B＝90°，0°

2、 已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C及對應(yīng)的三邊a、b、c，試用向量法證明正弦定理． 證明　(1)若△ABC為直角三角形，不妨設(shè)C為直角． 如圖所示，根據(jù)正弦函數(shù)的定義， ＝sin A，＝sin B， 所以＝＝c＝2R (2R為外接圓直徑)． ∵C＝90°， ∴sin C＝1，＝c＝2R. ∴＝＝＝2R. （2）若△ABC為銳角三角形，過A點作單位向量i⊥，則有： i·＝i·(－)＝i·－i·， ∵i⊥ ∴i·＝0， ∴i·＝i·， 即ccos(90°－A)＝acos(90°－C)， ∴csin A＝asin C， ∴＝. 同理可證： ＝；＝.

3、 ∴＝＝. (3)若△ABC為鈍角三角形，可仿(2)證明． 綜上，＝＝. 對點講練 已知兩角和一邊解三角形 例1　在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形． 分析　要注意在△ABC中隱含條件A＋B＋C＝180°的運用． 解　由三角形內(nèi)角和定理知A＋B＋C＝180°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理＝＝， 得b＝a·＝5·＝5； c＝a·＝5·＝5· ＝5·＝(＋)． 總結(jié)　已知一個三角形的三邊和三內(nèi)角這六個量中的三個量，其中至少有一個是邊，可以求解其余的三個量． 變式訓(xùn)練1　在△ABC中，已

4、知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形． 解　∵＝＝， ∴b＝＝＝＝4. ∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c＝＝＝＝2＋2. 已知兩邊及其中一邊的對角解三角形 例2　在△ABC中，a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形． 分析　已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，先判斷三角形是否有解，若有解，解該三角形． 解　a＝2，b＝6，absin A， 所以本題有兩解，由正弦定理得： sin B＝＝＝，故B＝60°或120°. 當(dāng)B＝60°時，C＝90°，c＝＝4

5、； 當(dāng)B＝120°時，C＝30°，c＝a＝2. 所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°， C＝30°，c＝2. 總結(jié)　已知三角形兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，首先求出另一邊的對角的正弦值，根據(jù)該正弦值求角時，需對角的情況加以討論． 變式訓(xùn)練2　在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知A＝60°，a＝，b＝1，則c等于(　　) A．1 B．2 C.－1 D. 答案　B 解析　由正弦定理＝， 可得＝， ∴sin B＝，故∠B＝30°或150°.由a>b， 得∠A>∠B，∴∠B＝30°，故∠C＝90°， 由勾股定理得

6、c＝2. 已知兩邊及其中一邊的對角，判斷三角形解的個數(shù) 例3　不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù)． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝9，b＝10，A＝60°； (3)c＝50，b＝72，C＝135°. 解　(1)sin B＝sin 120°＝×<， 所以三角形有一解． (2)sin B＝sin 60°＝×＝， 而<<1， 所以當(dāng)B為銳角時， 滿足sin B＝的角有60°sin C＝， 所以B>45°，所以B＋C>

7、180°，故三角形無解． 總結(jié)　已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，此類問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，具體判斷方法是：可用三角形中大邊對大角定理，也可作圖判斷． 變式訓(xùn)練3　不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù)． (1)a＝7，b＝14，A＝30°； (2)a＝30，b＝25，A＝150°； (3)a＝7，b＝9，A＝45°. 解　(1)A＝30°，a＝bsin A，故三角形有一解． (2)A＝150°>90°，a＝30>b＝25，故三角形有一解． (3)A＝45°，bsin 45°

8、已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角． (2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角． 2．已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其它兩個角，這時三角形解的情況比較復(fù)雜，可能無解，可能一解或兩解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B時的各種情況. A為銳角 ab 無解 一解(銳角) 課時作業(yè) 一、選擇題 1．在△ABC中，下列等式中總能成立的是(　　) A．a(chǎn)sin A＝bsin B

9、 B．bsin C＝csin A C．a(chǎn)bsin C＝bcsin B D．a(chǎn)sin C＝csin A 答案　D 解析　由余弦定理知D正確． 2．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，則這個三角形解的情況是(　　) A．有兩個解 B．有一個解 C．無解 D．不能確定 答案　B 解析　因為a>b，A為鈍角，所有只有一個解． 3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于(　　) A．4 B．4 C．4 D. 答案　C 解析　方法一　根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，A＝180°－(B＋

10、C)＝45°.根據(jù)正弦定理， b＝＝＝4. 方法二　如圖，過點C作CD⊥AB，由條件可知A＝45°，而由CD＝asin 60°＝bsin 45°，得b＝4. 4．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　) A．120° B．105° C．90° D．75° 答案　A 解析　∵c＝a，∴sin C＝sin A＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝， 即sin C＝－cos C. ∴tan C＝－.又C∈(0，π)，∴C＝120°. 5．在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解

11、的是(　　) A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．a(chǎn)＝30，b＝25，A＝150° C．a(chǎn)＝7，b＝8，A＝98° D．a(chǎn)＝14，b＝16，A＝45° 答案　D 解析　對于A，由三角形的正弦定理知其只有一解；對于B，∵a>b，即A>B，且A＝150°，∴只有一解；對于C，a

12、7．在△ABC中，已知a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，若b＝2a，B＝A＋60°，則A＝______. 答案　30° 解析　b＝2a?sin B＝2sin A，又∵B＝A＋60°， ∴sin(A＋60°)＝2sin A， 即sin Acos 60°＋cos Asin 60°＝2sin A， 化簡得sin A＝cos A，∴tan A＝，∴A＝30°. 8．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是______________． 答案　22a，b>4時，無解； 當(dāng)a≥b或a＝bsin A， 即b≤2或b＝4時，有一解； 當(dāng)bsin A