安徽省2020年高考數(shù)學第二輪復習 專題三 三角函數(shù)及解三角形第2講 三角恒等變換及解三角形 文

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1、專題三　三角函數(shù)及解三角形第2講　三角恒等變換及解三角形 真題試做 1．(2020·廣東高考，文6)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，則AC＝(　　)． A．4 B．2 C. D. 2．(2020·江西高考，文4)若＝，則tan 2α＝(　　)． A．－ B. C．－ D. 3．(2020·重慶高考，文5)＝(　　)． A．－ B．－ C. D. 考向分析 本部分主要考查三角函數(shù)的基本公式，三角恒等變形及解三角形等基本知識．近幾年高考題目中每年有1～2個小題，一個大題，解答題以中低

2、檔題為主，很多情況下與平面向量綜合考查，有時也與不等式、函數(shù)最值結合在一起，但難度不大，而三角函數(shù)與解三角形相結合，更是考向的主要趨勢．三角恒等變換是高考的熱點內(nèi)容，主要考查利用各種三角函數(shù)進行求值與化簡，其中降冪公式、輔助角公式是考查的重點，切化弦、角的變換是?？嫉娜亲儞Q思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：①邊和角的計算；②三角形形狀的判斷；③面積的計算；④有關的范圍問題．由于此內(nèi)容應用性較強，與實際問題結合起來命題將是今后高考的一個關注點，不可小視． 熱點例析 熱點一　三角恒等變換及求值 【例1】(2020·山東淄博一模，17)已知函數(shù)f(x)＝

3、2cos2－sin x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域； (2)若α為第二象限角，且f＝，求的值． 規(guī)律方法 明確“待求和已知三角函數(shù)間的差異”是解決三角函數(shù)化簡、求值、證明問題的關鍵．三角恒等變換的常用策略有： (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)項的分拆與角的配湊： ①二倍角只是個相對概念，如是的二倍角，α＋β是的二倍角等； ②＝－，α＝(α－β)＋β等； ③熟悉公式的特點，正用或逆用都要靈活，特別對以下幾種變形更要牢記并會靈活運用： 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(si

4、n α±cos α)2，cos α＝等． (3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪． (4)角的合成及三角函數(shù)名的統(tǒng)一：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 變式訓練1 (2020·山東濟寧模擬，17)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期為6π. (1)求f的值； (2)設α，β∈，f＝－，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值． 熱點二　三角函數(shù)、三角形與向量等知識的交會 【例2】(2020·山東煙臺適用性測試一，理17)在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，m＝(2b－c，cos C)，

5、n＝(a，cos A)，且m∥n. (1)求角A的大??； (2)求函數(shù)y＝2sin2B＋cos的值域． 規(guī)律方法 以解三角形為命題形式考查三角函數(shù)是“眾望所歸”：正余弦定理的應用，難度適中，運算量適度，方向明確(化角或化邊)．(1)利用正弦定理，將角化為邊時，實際上是把角的正弦替換為所對邊與外接圓直徑的比值．(2)求角的大小一定要有兩個條件：①是角的范圍；②是角的某一三角函數(shù)值．用三角函數(shù)值判斷角的大小時，一定要注意角的范圍及三角函數(shù)的單調(diào)性的應用．(3)三角形的內(nèi)角和為π，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性．在三角形中，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余．銳

6、角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值均為正值任意兩角的和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方． 變式訓練2 (2020·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考，文16)在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知a＝2csin A. (1)求角C； (2)若c＝2，△ABC的面積為，求a，b的值． 熱點三　正、余弦定理的實際應用 【例3】某城市有一條公路，自西向東經(jīng)過A點到市中心O點后轉向東北方向OB.現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在OA上設一站A，在OB上設一站B，鐵路在AB部分為直線段．現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km，問把A，B分別設在公路上離市中心O多遠處才能使A，B之間的距離

7、最短？并求最短距離．(結果保留根號) 規(guī)律方法 (1)三角形應用題主要是解決三類問題：測高度、測距離和測角度． (2)在解三角形時，要根據(jù)具體的已知條件合理選擇解法，同時，不可將正弦定理與余弦定理割裂開來，有時需綜合運用． (3)在解決與三角形有關的實際問題時，首先要明確題意，正確畫出平面圖形或空間圖形，然后根據(jù)條件和圖形特點將問題歸納到三角形中解決．要明確先用哪個公式或定理，先求哪些量，確定解三角形的方法．在演算過程中，要算法簡練、算式工整、計算正確，還要注意近似計算的要求． (4)在畫圖和識圖過程中要準確理解題目中所涉及的幾種角，如仰角、俯角、方位角，以防出錯． (5)有些

8、時候也必須注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、銳角三角形等． 變式訓練3 (2020·安徽名校聯(lián)考，文8)如圖，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為(　　)． A．25 m B. m C．50 m D．50 m 思想滲透 化歸轉化思想——解答三角恒等變換問題 求解恒等變換問題的思路： 一角二名三結構，即用化歸轉化的思想“去異求同”的過程，具體分析如下： (1)變角：首先觀察角與角之間的關系，注意角的一些常

9、用變換形式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心； (2)變名：其次看函數(shù)名稱之間的關系，通?！扒谢摇?，誘導公式的運用； (3)結構：再次觀察代數(shù)式的結構特點，降冪與升冪，巧用“1”的代換等． 【典型例題】(2020·福建高考，文20)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－

10、25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論． 解法一：(1)選擇②式，計算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30

11、°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 解法二：(1)同解法一． (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋si

12、n 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 1．(2020·安徽名校聯(lián)考，文2)已知sin θ＝－，且θ∈，則的值等于(　　)． A. B. C．－ D．－ 2．在△ABC中，如果0＜tan Atan B＜1，那么△ABC是(　　)． A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 3．(2020·山東煙臺適用性測試一，5)已知傾斜角為α的直線l與直線x－2y＋2＝0平行，則tan 2α的值為(　　)． A. B. C. D. 4．(2

13、020·江西南昌二模，5)已知cos＝－，則cos x＋cos的值是(　　)． A．－ B．± C．－1 D．±1 5．(2020·山東淄博一模，10)在△ABC中，已知bcos C＋ccos B＝3acos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，則cos B的值為(　　)． A. B．－ C. D．－ 6．已知sin x＝，則sin 2＝______. 7．(2020·湖南長沙模擬，18)已知函數(shù)f(x)＝3sin2x＋2sin xcos x＋5cos2x. (1)若f(α)＝5，求tan α的值； (2)設△ABC三內(nèi)角A

14、，B，C所對的邊分別為a，b，c，且＝，求f(x)在(0，B]上的值域． 8．(2020·安徽江南十校聯(lián)考，文16)已知函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x. (1)若f(x)＝2f(－x)，求的值； (2)求函數(shù)F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值和單調(diào)遞增區(qū)間． 參考答案 命題調(diào)研·明晰考向 真題試做 1．B　解析：由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2. 2．B　解析：因為＝， 所以＝，解方程得tan α＝－3. 于是根據(jù)倍角公式可得tan 2α＝＝，故選B. 3．C　解析：因為sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin

15、 17°cos 30°，所以原式＝＝sin 30°＝，故選C. 精要例析·聚焦熱點 熱點例析 【例1】 解：(1)∵f(x)＝1＋cos x－sin x ＝1＋2cos， ∴函數(shù)f(x)的最小正周期為2π. 又∵－1≤cos≤1， ∴函數(shù)f(x)的值域為[－1,3]． (2)∵f＝， ∴1＋2cos α＝，即cos α＝－. ∵＝ ＝＝， 又∵α為第二象限角，且cos α＝－， ∴sin α＝. ∴原式＝＝＝. 【變式訓練1】 解：(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx ＝2 ＝2sin. ∵函數(shù)f(x)的最小正周期為6π， ∴T＝＝6π，即ω＝.

16、∴f(x)＝2sin. ∴f＝2sin＝2sin＝. (2)f＝2sin＝2sin α＝－， ∴sin α＝－. f(3β＋2π)＝2sin＝2sin＝2cos β＝， ∴cos β＝. ∵α，β∈， ∴cos α＝＝， sin β＝－＝－. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝. 【例2】 解：(1)由m∥n，得(2b－c)cos A－acos C＝0， ∴(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0， 2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C ＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝s

17、in B. 在銳角三角形ABC中，sin B＞0， ∴cos A＝，故A＝. (2)在銳角三角形ABC中，A＝， 故＜B＜. ∴y＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B ＝1＋sin 2B－cos 2B＝1＋sin. ∵＜B＜，∴＜2B－＜. ∴＜sin≤1，＜y≤2. ∴函數(shù)y＝2sin2B＋cos的值域為. 【變式訓練2】 解：(1)∵a＝2csin A，∴sin A＝2sin Asin C， ∵sin A≠0，∴sin C＝， ∵0＜C＜，∴C＝. (2)由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4. 又∵△ABC的面積等于，

18、∴absin C＝，得ab＝4. 聯(lián)立方程組解得a＝2，b＝2. 【例3】 解：在△AOB中，設OA＝a，OB＝b. 因為OA為正西方向，OB為東北方向， 所以∠AOB＝135°. 又O到AB的距離為10， 所以S△ABO＝absin 135°＝|AB|·10，得|AB|＝ab. 設∠OAB＝α，則∠OBA＝45°－α. 因為a＝，b＝， 所以ab＝·＝ ＝＝ ＝≥. 當且僅當α＝22°30′時，“＝”成立． 所以|AB|≥×＝20(＋1)． 當且僅當α＝22°30′時，“＝”成立． 所以，當a＝b＝＝10時， A，B之間的距離最短，且最短距離為20(＋1) k

19、m. 即當A，B分別在OA，OB上離市中心O 10 km處時，能使A，B之間的距離最短，最短距離為20(＋1) km. 【變式訓練3】 C　解析：易得∠B＝30°，根據(jù)正弦定理可知AB＝50 m. 創(chuàng)新模擬·預測演練 1．A　解析：sin 2θ＝2sin θcos θ，＝2tan θ＝2×＝. 2．C　解析：由題意0＜A＜π，0＜B＜π，tan Atan B＞0，則A，B兩角為銳角， 又tan(A＋B)＝＞0，則A＋B為銳角，則角C為鈍角，故選C. 3．B　解析：已知傾斜角為α的直線l與直線x－2y＋2＝0平行， 則tan α＝，tan 2α＝＝＝. 4．C　解析：cos x

20、＋cos＝cos x＋cos xcos＋sin xsin ＝cos x＋sin x＝cos＝×＝－1. 5．A　解析：因為bcos C＋ccos B＝3acos B， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝3sin Acos B， 即sin(B＋C)＝3sin Acos B，即cos B＝. 6．2－　解析：sin 2＝sin＝－cos 2x ＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1 ＝2×2－1＝3－－1＝2－. 7．解：(1)由f(α)＝5，得3sin2α＋2sin αcos α＋5cos2α＝5， ∴3·＋sin 2α＋5·＝5. ∴sin 2α＋cos

21、2α＝1，即sin 2α＝1－cos 2α2sin αcos α＝2sin2α，∴sin α＝0或tan α＝. ∴tan α＝0或tan α＝. (2)由＝，得＝， 則cos B＝，即B＝. 又f(x)＝3sin2x＋2sin xcos x＋5cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋4＝2sin＋4， 由0＜x≤，可得≤sin≤1， 故5≤f(x)≤6，即所求值域是[5,6]． 8．解：(1)∵f(x)＝sin x＋cos x， ∴f(－x)＝cos x－sin x. 又∵f(x)＝2f(－x)， ∴sin x＋cos x＝2(cos x－sin x)且cos x≠0tan x＝. ∴＝＝＝. (2)由題知F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x ＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin＋1. ∴當sin＝1時，F(xiàn)(x)max＝＋1. 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，解得單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．