高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3.3 綜合法與分析法 3.3.2 分析法知識導(dǎo)航素材 北師大版選修1-2（通用）

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1、3.2 分析法 自主整理 從求證的結(jié)論出發(fā),一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的______________,直到歸結(jié)為這個命題的______________或歸結(jié)為______________、______________、______________等,我們把這種思維方法稱為______________. 高手筆記 1.分析法的思考過程為“執(zhí)果索因”的順序，是從求證的結(jié)論出發(fā)，步步探索結(jié)論成立的條件. 2.對于命題“若P則Q”的分析法證明可用框圖表示為 名師解惑 分析法的解釋 剖析:分析法是從要證的結(jié)論入手,分析結(jié)論成立的一個充分條件,步驟書寫較為繁雜,但入手點較低,易

2、找出問題的突破口. 用分析法思考數(shù)學(xué)問題的順序可理解為(對于命題“若A則D”） 分析法的思考順序是執(zhí)果索因的順序,是從D上溯尋其論據(jù),如C,C1,C2等,再尋求C,C1,C2的論據(jù),如B,B1,B2,B3,B4等等,繼而尋求B,B1,B2,B3,B4的論據(jù),如果其中之一B的論據(jù)恰好為已知條件,于是命題得證. 在分析法中,就應(yīng)當用假設(shè)的語氣,習(xí)慣上常用這樣一類語句:假如要A成立,就必須先有B成立;如果要有B成立,又只需有C成立……從結(jié)論一直推到已知條件.當我們應(yīng)用分析法時,所有各個中間的輔助命題,僅僅考慮到它們都是同所要證明的命題是等效的,而并不是確信它們都是真實的,直至達到最后已知條

3、件或明顯成立的事實后,我們才確信它是真實的,從而可以推知前面所有與之等效的命題也都是真實的,于是命題就被證明了. 講練互動 【例1】求證:+2<2+. 分析：可以采用分析法,逐步化簡轉(zhuǎn)化求使得結(jié)論成立的充分條件. 證法一：為了證明+2<2+, ∵+2>0,2+>0, ∴只需證明(+2)2<(2+)2, 展開,得11+4<11+4, 只需證4<4,只需證6<7.顯然6<7成立. ∴+2<成立. 證法二：為了證明+2<2+,只要證明2-<2-, 只要證明< ∵2>2,>,∴2+>2+>0. ∴<成立.∴+2<2+成立. 綠色通道 在不等式證明中直接證不易證的情況下,可

4、通過分析法,逐步探索不等式成立的條件. 變式訓(xùn)練 1.求證:<. 證明:要證-<-,只需證+<+. ∵+>0,+>0,只需證(+)2<(+)2,即9+<9+, 只需證<,只需證14<18.顯然14<18成立. ∴-<-成立. 【例2】已知a、b∈R+.求證:+≥+. 分析：本題左邊結(jié)構(gòu)為分式結(jié)構(gòu),并且左、右都含有根號,從形式上看不易找到關(guān)系,可用分析法將要證的不等式變形一下就可證明. 證明：要證+≥+, 只需證a+b≥(+), 即證a(-)+b(-)≥0. 只需證(a-b)(-)≥0, 即(-)2(+)≥0. ∵+>0,(-)2≥0, ∴(-)2(+)≥0成立.

5、 ∴+≥+成立. 綠色通道 在不等式較復(fù)雜無從入手的情況下,可用分析法分析不等式成立所具備的條件. 變式訓(xùn)練 2.設(shè)a、b∈R+,且a≠b. 求證:a3+b3>a2b+ab2. 證明:要證a3+b3>a2b+ab2成立,只需證a3-a2b+b3-ab2>0,即a2(a-b)+b2(b-a)>0成立. 即證(a-b)2(a+b)>0成立. ∵a、b∈R+,∴a+b>0.又∵a≠b,∴(a-b)2>0. ∴(a-b)2(a+b)>0成立. ∴a3+b3>a2b+ab2成立. 【例3】已知a>b>0,求證:<<. 分析：本題條件較為簡單,結(jié)論比較復(fù)雜,看上去無從入手解答問題,

6、所以我們可以從要證的結(jié)論入手,一步步探求結(jié)論成立的充分條件,即用分析法. 證明：要證<-<成立, 即<(-)2<成立. ∵a>b>0,只需證<-<成立, 只需證<1<成立. 只需證+<2且2<+, 即>成立. ∵a>b>0,∴>成立. ∴<-<成立. 綠色通道 在已知條件較為簡單,所要證的問題較為復(fù)雜時,我們可從結(jié)論入手逆推,執(zhí)果索因,找到結(jié)論成立的條件.注明必要的文字說明,注意不等式的結(jié)構(gòu)特點. 變式訓(xùn)練 3.設(shè)a>0,b>0,2c>a+b. 求證:c-

7、ab,即a2-2ac<-ab,即a(a+b-2c)<0. ∵a>0,a+b<2c, ∴a>0,a+b-2c<0. ∴a(a+b-2c)<0成立. ∴c0,y>0,且x≠y.求證:<. 分析：注意到x、y的對稱性,可能會想到重要不等式,但后續(xù)思路不好展開.可采用分析法,從消去分數(shù)指數(shù)冪入手. 解：要證<, 只需證(x3+y3)2<(x2+y2)3, 即x6+y6+2x3y30,y>0, 只需證2xy<3(x2+y2). 只需證2xy2xy成立. ∴<成立. 綠色通道 在不便運用綜合法的情況下,可考慮分析法,注意表述方法. 變式訓(xùn)練 4.已知a>0,求證:a2+-≥a+-2. 證明:要證≥a+-2, 只需證+2≥a++成立. ∵a>0, 只需證(+2)2≥(a++)2, 即a2++4+4≥a2++2+2(a+)+2, 即證2≥(a+), 只需證4(a2+)≥2(a2++2), 即a2+≥2. 而顯然a2+≥2成立. ∴≥a+-2成立.