高考數(shù)學第二輪復習 函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性 人教版

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1、高考數(shù)學第二輪復習 函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性 知能目標 1. 了解函數(shù)的單調(diào)性的概念, 掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性的方法. 2. 了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的意義. 綜合脈絡 1. 與函數(shù)單調(diào)性、奇偶性相關的知識網(wǎng)絡 2. 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個整體性質(zhì), 定義域具有對稱性 ( 即若奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域 為D, 則時) 是一個函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱, 在原點的兩側(cè)具有相同的單調(diào)性; 偶函數(shù)的圖象關于y軸對 稱, 在原點的兩側(cè)具有相異的單調(diào)性. 單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì), 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集, 即函數(shù)的增

2、減性是相對于函 數(shù)的定義域中的某個區(qū)間而言的, 函數(shù)單調(diào)性定義中的、相對于單調(diào)區(qū)間具有任意性. 討論函數(shù)的增減性應先確定單調(diào)區(qū)間, 用定義證明函數(shù)的增減性, 有“一設, 二差, 三判斷” 三個步驟. 復合函數(shù)的單調(diào)性: (1) 若是上的增函數(shù), 則的增減性與的增減性相同; (2) 若是上的減函數(shù), 則的增減性與的增減性相反. (一) 典型例題講解: 例1. 函數(shù)f (x)＝| x | 和g (x)＝x (2－x )的遞增區(qū)間依次是 ( ) A. B. C. D. 例2. 已知a、b是常數(shù)且a≠0, f (x

3、), 且, 并使方程有等根. (1) 求f (x )的解析式; (2) 是否存在實數(shù)m、n, 使f (x )的定義域和值域分別為和? 例3. 已知為偶函數(shù)且定義域為, 的圖象與的圖象關于直線對稱, 當時, , 為實常數(shù)，且. (1) 求的解析式; (2) 求的單調(diào)區(qū)間; (3) 若的最大值為12, 求. (二) 專題測試與練習: 一. 選擇題 1. 以下4個函數(shù): ①; ②; ③; ④. 其中既不是奇函數(shù), 又不是偶函數(shù)的是 (

4、 ) A.①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③ 2. 已知函數(shù)若f (a)＝M, 則f (－a)等于 ( ) A. B. C. D. 3. 設y＝f (x)是定義在R上的奇函數(shù), 當x≥0時, f (x)＝x 2－2 x, 則在R上f (x)的表達式為 ( ) A. B. C. D. 4. 二次函數(shù)f (x )滿足, 又f (x)在上是增函數(shù), 且f (a)≥

5、f (0), 那么實 數(shù)a的取值范圍是 ( ) A. a≥0 B. a≤0 C. 0≤a≤4 D. a≤0或a≥4 5. 函數(shù)y＝在上的最大與最小值的和為3, 則a等于 ( ) A. B. 2 C. 4 D. 6. 函數(shù)f (x )＝的圖象關于原點成中心對稱, 則f (x

6、)在 上的單調(diào)性是 ( ) A. 增函數(shù) B. 上是增函數(shù), 上是減函數(shù) C. 減函數(shù) D. 上是減函數(shù), 上是增函數(shù) 二. 填空題 7. 定義在上的偶函數(shù)g (x), 當x≥0時g (x) 單調(diào)遞減, 若, 則m的 取值范圍是 .

7、 8. 要使函數(shù)y＝在上為減函數(shù), 則b的取值范圍是 . 9 . 已知f (x )＝在上是增函數(shù), 則m的取值范圍是 . 10. 函數(shù)y＝圖象與其反函數(shù)圖象的交點坐標為 . 三. 解答題 11. 用定義判斷函數(shù)f (x )＝的奇偶性 12. 設奇函數(shù)f (x )的定義域為R , 且, 當x時f (x)＝, 求f (x ) 在區(qū)間上的表達式. 13. 函數(shù)f (x )對任意的m、n∈R, 都有f (m＋n )＝f (m)＋f (n)－1, 并且x＞0時, 恒有f (x )＞1.

8、 (1) 求證: f (x )在R上是增函數(shù); (2 ) 若f (3 )＝4, 解不等式f ()＜2. 14. 已知函數(shù)在區(qū)間 上是減函數(shù), 且在區(qū)間上是增函數(shù), 求實數(shù)b的值. [參考答案] (一) 典型例題 例1 C. 例2 解: (1) , 由 有等根, 得: (2) , 則有 又二次函數(shù)的對稱軸為直線, ∴ 解得: ∴. 例3解: (1) 先求在上的解析式 設是上的一點, 則點關于的對稱點為且 所以得. 再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì), 求當上的解析式為 所以 (2

9、) 當時, 因時, 所以 因, 所以, 所以而. 所以在上為減函數(shù). 當時, 因, 所以 因所以, 所以, 即 所以在上為增函數(shù) (3) 由(2)知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù), 又因為偶函數(shù), 所以 所以在上的最大值 由得. (二) 專題測試與練習 一. 選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 答案 A A B C B C 二. 填空題 7. 8. 9. 10. 三. 解答題 11. 解：當時， 在上為奇函數(shù). 12. 解：, 為奇函數(shù), 當時, 得: 13. 解：(1)設, , 當時, , 在R上為增函數(shù) (2) , 不妨設 , 在R上為增函數(shù) 即 14. 解：, , , , 當時