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1、專題突破(八) 代數(shù)綜合
方程與函數(shù)是初中代數(shù)學習中極為重要的內(nèi)容，在北京中考試卷中，2015年代數(shù)綜合題出現(xiàn)在第27題，分值為7分．代數(shù)綜合題主要以方程、函數(shù)這兩部分為考查重點，用到的數(shù)學思想、方法有化歸思想、分類思想、數(shù)形結合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法等．
2011－2015年北京代數(shù)綜合題考點對比
年份
2011
2012
2013
2014
2015
考點
根的判別式、求根、確定二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式
根的判別式、求根、確定二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的平移、利用函數(shù)圖象求取值范圍
二次函數(shù)的性質、一次函數(shù)圖象如何變換、
2、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征
確定二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的性質、利用圖象求取值范圍
求交點坐標、對稱點坐標、確定二次函數(shù)解析式及頂點坐標，利用圖象求取值范圍
1．[2015·北京] 在平面直角坐標系xOy中，過點(0，2)且平行于x軸的直線與直線y＝x－1交于點A，點A關于直線x＝1的對稱點為B，拋物線C1：y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點A，B.
(1)求點A，B的坐標；
(2)求拋物線C1的函數(shù)解析式及頂點坐標；
(3)若拋物線C2：y＝ax2(a≠0)與線段AB恰有一個公共點，結合函數(shù)的圖象求a的取值范圍．
2．[2014·北京] 在平面直角坐標系xOy中，
3、拋物線y＝2x2＋mx＋n經(jīng)過點A(0，－2)，B(3，4)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式及對稱軸；
(2)設點B關于原點的對稱點為C，點D是拋物線對稱軸上的一動點，記拋物線在A，B之間的部分為圖象G(包含A，B兩點)．若直線CD與圖象G有公共點，結合函數(shù)圖象，求點D縱坐標t的取值范圍．
3．[2013·北京] 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝mx2－2mx－2(m≠0)與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B.
(1)求點A，B的坐標；
(2)設直線l與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線l的函數(shù)解析式；
(3)若該拋物線在－2
4、線l的上方，并且在2
5、，求n的取值范圍．
圖Z8－1
5．[2011·北京] 在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝mx2＋x－3的圖象與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C.
(1)求點A的坐標；
(2)當∠ABC＝45°時，求m的值；
(3)已知一次函數(shù)y＝kx＋b，點P是x軸上的一個動點，在(2)的條件下，過點P垂直于x軸的直線交這個一次函數(shù)的圖象于點M，交二次函數(shù)y＝mx2＋x－3的圖象于點N.若只有當－2
6、于點A，頂點為B，點C與點A關于拋物線的對稱軸對稱．
(1)求直線BC的函數(shù)解析式；
(2)點D在拋物線上，且點D的橫坐標為4.將拋物線在點A，D之間的部分(包含點A，D)記為圖象G，若圖象G向下平移t(t>0)個單位后與直線BC只有一個公共點，求t的取值范圍．
圖Z8－3
2．[2015·朝陽一模] 如圖Z8－4，將拋物線M1：y＝ax2＋4x向右平移3個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線M2，直線y＝x與M1的一個交點記為A，與M2的一個交點記為B，點A的橫坐標是－3.
(1)求a的值及M2的函數(shù)解析式．
(2)點C是線段AB上的一個動點，過點C作x軸
7、的垂線，垂足為D，在CD的右側作正方形CDEF.
①當點C的橫坐標為2時，直線y＝x＋n恰好經(jīng)過正方形CDEF的頂點F，求此時n的值；
②在點C的運動過程中，若直線y＝x＋n與正方形CDEF始終沒有公共點，求n的取值范圍(直接寫出結果)．
圖Z8－4
3．[2015·西城一模] 已知二次函數(shù)y1＝x2＋bx＋c的圖象C1經(jīng)過(－1，0)，(0，－3)兩點．
(1)求C1對應的函數(shù)解析式；
(2)將C1先向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到拋物線C2，將C2對應的函數(shù)解析式記為y2＝x2＋mx＋n，求C2對應的函數(shù)解析式；
(3)設y3＝2x＋3，
8、在(2)的條件下，如果在－2≤x≤a內(nèi)存在某一個x的值，使得y2≤y3成立，利用函數(shù)圖象直接寫出a的取值范圍．
圖Z8－5
4．[2015·東城一模] 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋1過點A，B，與y軸交于點C.
(1)求拋物線y＝ax2＋bx＋1的函數(shù)解析式．
(2)若點D在拋物線y＝ax2＋bx＋1的對稱軸上，當△ACD的周長最小時，求點D的坐標．
(3)在拋物線y＝ax2＋bx＋1的對稱軸上是否存在點P，使△ACP成為以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
圖Z8－6
9、
5．[2015·石景山一模] 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝mx2－2mx－3(m≠0)與x軸交于A(3，0)，B兩點．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式及點B的坐標；
(2)將－2
10、，1)，B兩點，C(1，0)為二次函數(shù)圖象的頂點．
(1)求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式；
(2)在平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象和一次函數(shù)y1＝x＋k的圖象；
(3)把(1)中的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象平移后得到新的二次函數(shù)y2＝ax2＋bx＋c＋m(a≠0，m為常數(shù))的圖象，定義新函數(shù)f：“當自變量x任取一值時，x對應的函數(shù)值分別為y1或y2，如果y1≠y2，函數(shù)f的函數(shù)值等于y1，y2中的較小值；如果y1＝y(tǒng)2，函數(shù)f的函數(shù)值等于y1(或y2)．”當新函數(shù)f的圖象與x軸有三個交點時，直接寫出m的取值范圍．
11、
7．[2015·海淀二模] 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝mx2－2mx＋m＋4與y軸交于點A(0，3)，與x軸交于點B，C(點B在點C左側)．
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式及點B，C的坐標；
(2)拋物線的對稱軸與x軸交于點D，若直線y＝kx＋b經(jīng)過點D和點E(－1，－2)，求直線DE的函數(shù)解析式；
(3)在(2)的條件下，已知點P(t，0)，過點P作垂直于x軸的直線交拋物線于點M，交直線DE于點N，若點M和點N中至少有一個點在x軸下方，直接寫出t的取值范圍．
圖Z8－7
8．[2014·海淀期中] 在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2－(m－1)x
12、－m(m>0)與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C.
(1)求點A的坐標；
(2)當S△ABC＝15時，求該拋物線的函數(shù)解析式；
(3)在(2)的條件下，經(jīng)過點C的直線l：y＝kx＋b(k<0)與拋物線的另一個交點為D.該拋物線在直線l上方的部分與線段CD組成一個新函數(shù)的圖象．請結合圖象回答：若新函數(shù)的最小值大于－8，求k的取值范圍．
圖Z8－8
9．[2015·平谷一模] 已知拋物線y＝ax2＋x＋c(a≠0)經(jīng)過A(－1，0)，B(2，0)兩點，與y軸相交于點C，點D為該拋物線的頂點．
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式及點D的坐標；
(
13、2)點E是該拋物線上一動點，且位于第一象限，當點E到直線BC的距離為時，求點E的坐標；
(3)在(2)的條件下，在x軸上有一點P，且∠EAO＋∠EPO＝∠α，當tanα＝2時，求點P的坐標．
圖Z8－9
10．[2015·懷柔一模] 在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y＝(a－1)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點，a為正整數(shù)．
(1)求a的值；
(2)將二次函數(shù)y＝(a－1)x2＋2x＋1的圖象向右平移m個單位長度，再向下平移(m2＋1)個單位長度，當－2≤x≤1時，二次函數(shù)有最小值－3，求實數(shù)m的值．
圖Z8－10
2016中考數(shù)學(北京專版)專題突破八 代數(shù)綜合
