《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第5章§5.2可分空間

§5.2可分空間 本節(jié)重點(diǎn):掌握可分空間的定義及可分空間與第二可數(shù)性公理空間的關(guān)系,與度量空間的關(guān)系；掌握稠密子集的定義及性質(zhì). 定義5.2.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，DUx.如果D的閉包等于整個(gè)拓?fù)淇臻gX,即戸X 則稱D是X的一個(gè)稠密子集. 以下定理從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了討論拓?fù)淇臻g中的稠密子集的意義． 定理5.2.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，D是X中的一個(gè)稠密子集.又設(shè)fgX-Y都是連續(xù)映射.如果/L=g|z），則fg本定理說(shuō)明兩個(gè)映射只須在稠密子集上相等就一定在整個(gè)空間相等） 證明設(shè)=.如果fMg,貝9存在xGX使得 f(x)Mg(x).令：£ |f(x) -g(，x) 則£>.令 =(f(x)£2 f(x£)+/ 2) 耳=(g(x)£2 g(x£)+/ 2) 則'門眄=0根據(jù)映射f和g的連續(xù)性可知八%）尼譏）都是x的鄰域，從而U=廣'?。╅T尹®）也是x的一個(gè)鄰域?由于子集D是稠密的，所以UQDM0?對(duì)于任意一個(gè)yGUHD，我們有， f（y）g（y）丘i2i2，矛盾. 我們也希望討論有著較少“點(diǎn)數(shù)”稠密子集的拓?fù)淇臻g，例如具有有限稠密點(diǎn)集的拓?fù)淇臻g.但這類拓?fù)淇臻g比較簡(jiǎn)單，大部分我們感興趣的拓?fù)淇臻g都不是這種情形，討論起來(lái)意思不大.例如一個(gè)度量空間如果有一個(gè)有限的稠密子集的話，那么這個(gè)空間一定就是一個(gè)離散空間.相反，后繼的討論表明，許多重要的拓?fù)淇臻g都有可數(shù)稠密子集. 定義設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果X中有一個(gè)可數(shù)稠密子集，則稱X是一個(gè)可分 空間. 定理5.2.每2一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間都是可分空間． 證明設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間，B是它的一個(gè)可數(shù)基.在B中的每一個(gè)非空元素B中任意取定一個(gè)點(diǎn)心WB.令 ={|BGB,B^} 這是一個(gè)可數(shù)集.由于X中的每一個(gè)非空開集都能夠表示為B中若干個(gè)元素（其中當(dāng)然至少會(huì)有一個(gè)不是空集）之并，因此這個(gè)非空開集一定與有非空的交，所以可數(shù)集是X的一個(gè)稠密子集． 包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間一定不是可分的．這是因?yàn)樵谶@樣一個(gè)拓?fù)淇臻g中，任何一個(gè)可數(shù)子集的閉包都等于它的自身而不可能等于整個(gè)空間． 可分性不是一個(gè)可遺傳的性質(zhì)，也就是說(shuō)一個(gè)可分空間可能有子空間不是可分的．例子見后面的例5.2．.然1而由于滿足第二可數(shù)性公理是一個(gè)可遺傳的性質(zhì)，因此根據(jù)定理5.2我們立即得到： 推論5.2.滿3足第二可數(shù)性公理的空間的每一個(gè)子空間都是可分空間． 特別，維歐氏空間用中的每一個(gè)子空間（包括它自己）都是可分空間. 例設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，g是任何一個(gè)不屬于X的元素（例如我們可以取 °°=X）.令X*二XU和*={AU|AW}U{0}.容易驗(yàn)證（請(qǐng)讀者自己證明）（X**）是一個(gè)拓?fù)淇臻g. 我們依次給出以下三個(gè)論斷： （）（X*，*）是可分空間.這是因?yàn)?屬于（X*,*）中的每一個(gè)非空開集，所以 單點(diǎn)集{8}是（X*,*）中的一個(gè)稠密子集. （）（X*，*滿足第二可數(shù)性公理當(dāng)且僅當(dāng)（X,）滿足第二可數(shù)性公理. 事實(shí)上，B是（X,）的基當(dāng)且僅當(dāng)B*={BU{8}|bgB}是（X*,*）的一個(gè)基，而B與B*有相同的基數(shù)則是顯然的. 根據(jù)這三個(gè)論斷，我們可有以下兩個(gè)結(jié)論： （）可分空間可以不滿足第二可數(shù)性公理.因?yàn)槿绻我膺x取一個(gè)不滿足第二可數(shù)性公理的空間（，），我們便能得到一個(gè)不滿足第二可數(shù)性公理的可分空間（*）. （）可分空間的子空間可以不是可分空間.因?yàn)槿绻x?。?，）為一個(gè)不是可分的空間，我們便能得到一個(gè)可分空間（*）以，為它的一個(gè)子空間. 對(duì)加上一個(gè)點(diǎn)后得到的空間就是這么神奇 定理5.2.每4一個(gè)可分的度量空間都滿足第二可數(shù)性公理． 證明（略） 根據(jù)定理5.2及.推4論5.2可.知3： 推論5.2.可5分度量空間的每一個(gè)子空間都是可分空間． 有關(guān)可分性是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，有限可積性質(zhì)，可商性質(zhì)以及對(duì)于開子空間可遺傳性質(zhì)等問題我們列在習(xí)題中，由讀者自己去研究. 作業(yè):