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1、§5.2可分空間
本節(jié)重點(diǎn):掌握可分空間的定義及可分空間與第二可數(shù)性公理空間的關(guān)系,與度量空間的關(guān)系；掌握稠密子集的定義及性質(zhì).
定義5.2.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，DUx.如果D的閉包等于整個(gè)拓?fù)淇臻gX,即戸X
則稱(chēng)D是X的一個(gè)稠密子集.
以下定理從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了討論拓?fù)淇臻g中的稠密子集的意義．
定理5.2.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，D是X中的一個(gè)稠密子集.又設(shè)fgX-Y都是連續(xù)映射.如果/L=g|z），則fg本定理說(shuō)明兩個(gè)映射只須在稠密子集上相等就一定在整個(gè)空間相等）
證明設(shè)=.如果fMg,貝9存在xGX使得
f(x)Mg(x).令：￡
|f(x)
-g(，x)
則￡>.令
2、
=(f(x)￡2
f(x￡)+/
2)
耳=(g(x)￡2
g(x￡)+/
2)
則'門(mén)眄=0根據(jù)映射f和g的連續(xù)性可知八%）尼譏）都是x的鄰域，從而U=廣'肌）門(mén)尹?）也是x的一個(gè)鄰域?由于子集D是稠密的，所以UQDM0?對(duì)于任意一個(gè)yGUHD，我們有，
f（y）g（y）丘i2i2，矛盾.
我們也希望討論有著較少“點(diǎn)數(shù)”稠密子集的拓?fù)淇臻g，例如具有有限稠密點(diǎn)集的拓?fù)淇臻g.但這類(lèi)拓?fù)淇臻g比較簡(jiǎn)單，大部分我們感興趣的拓?fù)淇臻g都不是這種情形，討論起來(lái)意思不大.例如一個(gè)度量空間如果有一個(gè)有限的稠密子集的話，那么這個(gè)空間一定就是一個(gè)離散空間.相反，后繼的討論表明，許多重要的拓
3、撲空間都有可數(shù)稠密子集.
定義設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果X中有一個(gè)可數(shù)稠密子集，則稱(chēng)X是一個(gè)可分
空間.
定理5.2.每2一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間都是可分空間．
證明設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的空間，B是它的一個(gè)可數(shù)基.在B中的每一個(gè)非空元素B中任意取定一個(gè)點(diǎn)心WB.令
={|BGB,B^}
這是一個(gè)可數(shù)集.由于X中的每一個(gè)非空開(kāi)集都能夠表示為B中若干個(gè)元素（其中當(dāng)然至少會(huì)有一個(gè)不是空集）之并，因此這個(gè)非空開(kāi)集一定與有非空的交，所以可數(shù)集是X的一個(gè)稠密子集．
包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間一定不是可分的．這是因?yàn)樵谶@樣一個(gè)拓?fù)淇臻g中，任何一個(gè)可數(shù)子集的閉包都等于它的自身而不可能
4、等于整個(gè)空間．
可分性不是一個(gè)可遺傳的性質(zhì)，也就是說(shuō)一個(gè)可分空間可能有子空間不是可分的．例子見(jiàn)后面的例5.2．.然1而由于滿足第二可數(shù)性公理是一個(gè)可遺傳的性質(zhì)，因此根據(jù)定理5.2我們立即得到：
推論5.2.滿3足第二可數(shù)性公理的空間的每一個(gè)子空間都是可分空間．
特別，維歐氏空間用中的每一個(gè)子空間（包括它自己）都是可分空間.
例設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，g是任何一個(gè)不屬于X的元素（例如我們可以取
°°=X）.令X*二XU和*={AU|AW}U{0}.容易驗(yàn)證（請(qǐng)讀者自己證明）（X**）是一個(gè)拓?fù)淇臻g.
我們依次給出以下三個(gè)論斷：
（）（X*，*）是可分空間.這是因?yàn)?屬于（X
5、*,*）中的每一個(gè)非空開(kāi)集，所以
單點(diǎn)集{8}是（X*,*）中的一個(gè)稠密子集.
（）（X*，*滿足第二可數(shù)性公理當(dāng)且僅當(dāng)（X,）滿足第二可數(shù)性公理.
事實(shí)上，B是（X,）的基當(dāng)且僅當(dāng)B*={BU{8}|bgB}是（X*,*）的一個(gè)基，而B(niǎo)與B*有相同的基數(shù)則是顯然的.
根據(jù)這三個(gè)論斷，我們可有以下兩個(gè)結(jié)論：
（）可分空間可以不滿足第二可數(shù)性公理.因?yàn)槿绻我膺x取一個(gè)不滿足第二可數(shù)性公理的空間（，），我們便能得到一個(gè)不滿足第二可數(shù)性公理的可分空間（*）.
（）可分空間的子空間可以不是可分空間.因?yàn)槿绻x取（，）為一個(gè)不是可分的空間，我們便能得到一個(gè)可分空間（*）以，為它的一個(gè)子空間.
對(duì)加上一個(gè)點(diǎn)后得到的空間就是這么神奇
定理5.2.每4一個(gè)可分的度量空間都滿足第二可數(shù)性公理．
證明（略）
根據(jù)定理5.2及.推4論5.2可.知3：
推論5.2.可5分度量空間的每一個(gè)子空間都是可分空間．
有關(guān)可分性是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，有限可積性質(zhì)，可商性質(zhì)以及對(duì)于開(kāi)子空間可遺傳性質(zhì)等問(wèn)題我們列在習(xí)題中，由讀者自己去研究.
作業(yè):
《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第5章§5.2可分空間
