2020版《名師導(dǎo)學(xué)》高考文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)總復(fù)習(xí)練習(xí)：第四章 第29講 平面向量的數(shù)量積 Word版含解析

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1、 第29講平面向量的數(shù)量積 夯實基礎(chǔ)【P67】 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算．4．能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角及判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系5．會用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題． 【基礎(chǔ)檢測】 1. 在四邊形abcd中，AB?Bc=o,且AB=DC,則四邊形abcd是() A.平行四邊形B.菱形 C.矩形D.正方形 【解析】在四邊形ABCD中， vAB?BC=O,???AB丄BC, vAB=DC,/.AB綊DC, ???四邊形AB

2、CD是矩形. 故選C. 【答案】CL 2. 已知向量a=(1,,2),b=(t,2詁2),若向量b在a方向上的投影為岑3則實數(shù)t=() A.—1B.1C.3D.5 【解析】根據(jù)一個向量在另一個向量方向上的投影的定義, a*ht^r4 可得百=33,解得t=-1,故選A. 【答案】A 3. 已知a,b,c都是單位向量，且a+b=c,則a?c的值為. 【解析】由a+b=c得a—c=—b, 兩邊平方得a2—2a*c+c2=(—b)2, 又a,b,c都是單位向量，所以有1—2a?c+1=1, 所以a-c=2? 【答案】1 4. 已知向量a,b滿足lal=lbl=2且(a+

3、2b)?(a—b)=—2,則向量a與b的夾角為.【解析】設(shè)a與b的夾角為6. 依題意得a2—2b2+a*b=—2, 4—8+4cos6=—2,cos6=2> nn 又6丘[0,n],因此6=3，即向量a與b的夾角為3. 【答案】3 【知識要點】 1．兩向量的夾角 已知非零向量a,〃，作OA=a,OB=b，貝VZAOB叫作a與b的夾角. a與b的夾角的取值范圍是[0,n]. 當(dāng)a與b同向時，它們的夾角為_0—；當(dāng)a與b反向時，它們的夾角為n；當(dāng)夾角為90°時，我們說a與b垂直，記作alb. 2. 向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a與b，我們把lallblcos8叫作a與

4、b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a?b,即a?b=lallblcos8. 規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0,即a=0. 3. 向量數(shù)量積的幾何意義 向量的投影：lalcos8叫作向量a在b方向上的投影，當(dāng)8為銳角時，它是正值；當(dāng)8為鈍角時，它是負值：當(dāng)0為直角時，它是零. a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度lal—與b在a方向上的投影l(fā)blcos8的乘積. 4. 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2,y2），8為向量a，b的夾角. 11，['22[ 結(jié)論 \22/--… ?「幾何表示 坐標(biāo)表示 模 lal=ja*a lal

5、=x?+y? 數(shù)量積 a?b=lal?lblcos8 11?1 a^b=x1x2+y1y2 夾角 ab cos8=lal?lbl 1212 x.Xc土y衛(wèi)cos8= a丄b的 充要條件 a?b=0 abl與lallbl的關(guān)系 la?blWlal?lbl（當(dāng)且僅當(dāng)a〃b時 等號成立） 寸x1+yf?J|+y2 5.平面向量數(shù)量積的運算律 ⑴a?b=b?a. (2)(Aa)?b=^(a?b)=a?(Ab)(AwR). (3)(a+b)?c=a?c+b?c. 」典例剖析 p68】 考點1數(shù)量積的運算 例1(1)已知向量a=(3,—1),b=(1

6、,m),a?(a—2b)=0,則m=() A.－2B.－1 C.1D.2 【解析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，代入坐標(biāo)得 (3,—1)?[(3,—1)—2(1,m)]=0, 3+1+2m=0, 解得m=—2,所以選A. 【答案】A (2)已知四邊形ABCD為平行四邊形，lABl=6,lADl=4,若點M,N滿足BM=3MC,DN=2NC,貝yAM?NM等于() A.20B.15C.9D.6 【解析]Am=Ab+4aD,NM=CM—CN=—4aD+|Ab,:.Am^Nm=4(4Ab+3ad)^1(4aB -3aD)=418(16AB2-9AD2)=418(16X62-9X42)=9

7、，故選C. 【答案】C (3)已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點，則DE?CB的值為；DE?DC 的最大值為. 【解析】以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系， 則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)， 設(shè)E(t,0),te[0,1], 則DE=(t,—i),CB=(o,-i), 所以DE?CB=(t,—i)?(o,—i)=i.因為DC=(i,o), 所以DE?DC=(t,—i)?(i,o)=twi, 故DE?DC的最大值為1. 【答案】ii 【小結(jié)】(i)求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運

8、算；利用數(shù)量積的幾何意義． (2)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時，可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡再運算，但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補． 考點2向量的模與夾角 例2(1)已知向量m與n滿足lml=1,lnl=2,且m丄(m+n),則向量m與n的夾角為. 【解析】設(shè)m,n的夾角為6,因為m丄(m+n),所以m?(m+n)=m2+m?n=1+1X2cos6=0,所以cos6=—2，又0W6Wn所以6=120°. 【答案】i20° (2) 已知向量a,b都是單位向量，且a?b=2，則12a—bl的值為. 【解析】12a—bl=\；(2a—b

9、)2=\l4a2—4a^b+b2=\4—2+1=^3. 【答案】邁 (3) 在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A(—1,0),B(0,；3),C(3,0),動點D滿足lCDl =i,貝UlOA+OB+ODl的最大值是. 【解析】設(shè)D(x,y),由CD=(x—3,y)及l(fā)CDl=1知(x—3)2+y2=1,即動點D的軌跡是以點C為圓心的單位圓． 又OA+OB+OD=(—1,0)+(0,<3)+(x,y)=(x—1,y+V5), ?\\()A+(Ob+(Od\=(X-1)2+(y+3)2. 問題轉(zhuǎn)化為圓(x—3)2+y2=l上的點與點P(l,—V3)之間距離的最大值. ???圓心C

10、(3,0)與點p(1,—鳥)之間的距離為\；‘(3—1)2十(0+\/3)2=../7, 故(x—1)2+(y+\；3)2的最大值為\''7+1. 【答案】曲+1 【小結(jié)】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，可以求向量的模、夾角. (2)求向量模的最值(范圍)的方法：①代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解. 考點3平面向量的垂直 2n 例3(1)已知e1與e2為兩個夾角為三的單位向量，a=e1~2e2b=ke1+e2.若a?b=0,則實數(shù)k的值為. 2n【解析】因為e1與e2為兩個夾

11、角為可的單位向量，a=e1—2e2b=ke1+e2,a?b=0, 所以?—2e?)^(ke1+e2)=ke2—2e2+(1—2k)e1?e2=2k—2=0, JL厶JL厶JL厶JL厶 所以k=5. 【答案】5 (2)已知向量AB,AC的夾角為120°,\ab\=5,\AC\=2,AP=AB+2AC.若AP丄BC,則2= 【解析】向量AP丄BC，貝UAP?BC=0, 即(AB+AAC)?(AC—AB)=0, 整理可得一Afc+(1—久)AB.Ac+aac2=o, 其中AB2=25,—AC=5X2Xcos120。=—5,AC2=4, 據(jù)此有：一25+(1—2)X(—5)+AX4=0,解得久=屮. 【答案】罟 【小結(jié)】平面向量的垂直關(guān)系利用向量數(shù)量積等于零，但要靈活選擇數(shù)量積的形式 ,n=(sinx,cosx),xW(0,J. 【能力提升】 例4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m=(￥，⑴若m丄"，求tanx的值； n (2)若m與n的夾角為3，求x的值. 【解析】⑴因為m=(號^,—n=(sinx,cosx),m丄n. 22 所以mn=0,即亍sinx—"^cosx=0, 所以sinx=cosx,所以tanx=1. n1 (2)因為lml=lnl=1,所以m?n=cos3=2,