2019-2020年高一數學圓的一般方程 新課標 人教版2

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1、 2019-2020年高一數學圓的一般方程新課標人教版2 學習目標 主要概念：圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0()。軌跡方程-――是指點動點M的坐標滿足的關系式。 教材分析 一、重點難點本節(jié)教學重點是掌握圓的一般方程，以及用待定系數法求圓的一般方程，難點是二元二次 方程與圓的一般方程的關系及求動點的軌跡方程。 二、教材解讀本節(jié)教材的理論知識有問題提出、探索研究、思考交流三個板塊組成。編寫形式上采用了 特殊到一般，由具體到抽象的認知方式。 解讀 第一板塊問題提出 方程表示什么圖形？方程x2+y2—2x—4y+6—0表示什么圖形？ 第二板塊探索研究 方程

2、x2+y2+Dx+Ey+F—0 在什么條件下表示圓？ 對給出的方程通過配方，化成圓的標準方程的形式，第一個方程為，它表示以(1，-2)為圓心，2為半徑的圓；第二個方程為，由于不存在點的坐標滿足這個方程，所以它不表示任何圖形。 配方得(x+D)2+(y+|)2 解讀 (1) 當時，方程表示以為圓心，為半徑的圓 (2) 當時，方程表示一個點 (3) 當時，方程不表示任何圖形。 關于的二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F—0成為圓方程的充要條件是(1)和的系數相同且不等于0，即A=C0；(2)沒有這樣的二次項，即B=0；(3)。 對于圓的一般方程，要熟練地通過配方

3、法，求出圓的圓心坐標和半徑。 根據已知條件求圓的方程，仍然采用待定系數法，但要注意的是待定的方程是設標準方程還是設一般方程，這要根據已知條件而定。 第三板塊思考交流解讀 1、圓的標準方程和圓的一般方1、圓的標準方程指出了圓心坐標與半徑大小，幾 程各有什么特點？何特征明顯；圓的一般方程表明圓的方程是一種特殊 2、課本P.129例4解完后，問：的二元二次方程，代數特征明顯。圓的一般方程與圓與例2的方法比較，你有什么體的標準方程可以相互轉化。 會？2、讓學生通過對同一個類似問題的兩種解法的 比較，一方面加深對解題方法的理解；另一方面促使學生養(yǎng)成解題后反思的良好習慣． 拓展閱讀 設圓

4、0的圓心在原點，半徑是，圓0與軸的正半軸的交點是(如圖)。設點在圓0上從開始按逆時針方向運動到達點P,。我們看到，點P的位置與旋轉角有密切的關系。當確定時，點P在圓0上的位置也隨著確定；當變化時，點P在圓0上的位置也隨著變化。如果點P的坐標是，根據三角函數的定義，點P的橫坐標、縱坐標都是的函數，即 ，① 并且對于的每一個允許值，由方程組①所確定的點P都在圓0上。 我們把方程組①叫做圓心為原點、半徑為的圓的參數方程，是參數。圓心為、半徑為的圓可以看成由圓心為原點0、半徑為的圓按向量平移得到的。容易求得此圓的參數方程為 ，(為參數)② 相對于圓的參數方程來說，前面學過的直接給出圓上點的坐

5、標關系的方程，叫做圓的普通方程。 在圓的有些問題中，借助于圓的參數方程，能夠使問題變得容易解決。例如：已知實數滿足等式，求的最值。 解：設x=4+3cos0,y=一3+3sin0，貝y =x=4+3cos0-3+3sin0=1+3*2sin(0+=) 4 ?；?的最大值為，最小值為。網站點擊 gag?" 中國教育信息平臺 腋芬唁息時代毅育行業(yè) 冑耆"9 www.gaokaol6B>net 典型例題解析 例1：已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓，求k的取值范圍。點撥由二元二次方程成為圓方程的條件，得到關于k的不等式。解答方程x2+y2+2kx+4y+

6、3k+8=0表示一個圓， (2k)2+42-4(3k+8)>0,解得 ?當時，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓。 總結在圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，系數D、E、F必須滿足。 變式題演練 若(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的圖形表示一個圓，則m的值是c 答案：－3 例2：求經過三點A(1,—1)、B(1,4)、C(4，-2)的圓的方程。點撥利用圓的一般方程，尋找關于D、E、F的方程組。 解答設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0， A(1,—1)、B(1,4)、C(4，—2)三點在圓上，代入圓的方程并化簡，得

7、 'D-E+F=-2

8、 ABC夕卜接圓的方程為=0,即x2+y2—4x—4y+6=0。 例3：若實數滿足，則的最大值是。 點撥因為的幾何意義是表示原點到點P(x,y)的距離的平方，而點P(x,y)在圓上，故可利用幾何法先求出原點到圓上的點之間的最大距離，然后再求出的最大值。 解答由，得 .?.點P(x,y)在以(一2,1)為圓心，半徑r=3的圓C上, IOC1=丫(°+2)2+(0—1)2’5， ?:原點到圓上的點P(x,y)之間的最大距離為丨OCl+r=+3 ???的最大值為。 總結反思本題的求解過程可看出：不管點P與圓C的位置關系怎樣，點P到半徑為r的圓C上的點之間的最大距離恒為lPCl+r。

9、同理可得，點P到半徑為r的圓C上的點之間的最小距離恒為丨lPC|一r|。 變式題演練 已知點和圓C:x2+y2—4x—6y+9=0，一束光線從點經過軸反射到圓周的最短路程是 () A、B、C、D、 答案：D 例4：已知一曲線是與兩個定點O(0,0)、A(，0)()距離的比為()的點的軌跡，求此曲線的方程，并判斷曲線的形狀。 點撥利用曲線上的任一點到兩個定點的距離之比為，尋找動點橫坐標、縱坐標滿足的條件。解答設M是曲線上的任意一點，點M到點0、A的距離之比為， .*.，化簡，得 (k2—1)x2+(k2—1)y2—2k2ax+k2a2=0 且〉0,? 2k2ak2a2 ?

10、x2+y2一x+=0 k2—1k2—1 D2+E2—4F= 4k4a2 (k2—1)2 4k2a2 k2—1 4k2a2>0 (k2—1)2 2k2ak2a2 ???所求曲線的方程是x2+y2-Cx+戸=0，它表示一個圓。 總結|1、由本例可知，圓除了看作是平面內動點到定點的距離等于定長的點的軌跡外，還可以看作是動點到兩個定點的距離的比為常數(常數不為1)的動點的軌跡。 2、“軌跡”與“軌跡方程”是不同的兩個概念，前者是圖形，要指出形狀、位置、大小(范圍）等特性；后者是方程（等式），不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍。 3、在探求點的軌跡時，可先用信息技術工具

11、探究軌跡的形狀，對問題有一個直觀的了解，然后再從本質上分析軌跡形成的原因，找出解決問題的方法，制訂合理的解題策略。 變式題演練 過圓外一點Q向圓O作割線，交圓于A、B兩點，求弦AB中點M的軌跡。 答案：設M（x,y）,連0M,則0MAB,???點M的軌跡為以OQ為直徑的圓，.?.弦AB中點M的軌跡方程是=0，即（），?弦AB中點M的軌跡是圓?。ǎ?。 知識結構矢口識點圖表圓的一般方程二元二次方程成為圓方程的條件圓的標準方程和一般方程的特點 學法指導I 1、用待定系數法求圓方程的大致步驟是：（1）根據題意，選擇標準方程或一般方程；（2）根據條件列出關于或D、E、F的方程組；（3）解出或

12、D、E、F,代入標準方程或一般方程。 2、“曲線”和“方程”是動點運動規(guī)律在“形”和“數”方面的反映。在解析幾何的問題中，求動點的軌跡方程是一種常見題型。求動點的軌跡方程的常用方法有： （1）直接法：應用解析幾何中公式，根據已知條件直接列出動點M的兩個坐標之間的等量關系，從而求得動點的軌跡方程（如例3）。 （2）代入法：已知點P在已知曲線上運動，動點M隨著點P的變化而變化，而點P的坐標又可設法用動點M的坐標表示，那么為了要得到動點M的軌跡方程，只需把用M的坐標所表示的P點的坐標代入已知的曲線方程中，即可求出動點M的軌跡方程（如課本P.129例5）。 （3）定義法：先根據已知條件判斷動點

13、的軌跡所表示的曲線的類型，再利用已知曲線的方程求出所求動點的軌跡方程。如變式題演練3,因M為圓O的弦AB的中點，故OMAB，因此點M的軌跡是以OQ為直徑的圓。 （4）參數法：當動點M的兩個坐標之間的等量關系不易直接得到時，可先引進一個中間變量（參數）分別表示動點M的橫坐標、縱坐標，間接地把動點M的兩個坐標聯系起來，然后消去參數，求得動點M的軌跡方程。例如：過定點P引動直線分別交于A、B兩點，求線段AB中點M的軌跡方程。此題中的動點M是隨著的變化而變化，而又過定點P,故的變化實質是由斜率的變化而引起的，所以可引進斜率作為參數，用表示出A、B的坐標，由此用表示出M的坐標,消去參數即可得動點M的軌

14、跡方程。答案:。 求動點的軌跡方程時，要做到滿足曲線方程的兩個要求，防止遺留和多余。 2019-2020年高一數學圓的一般方程二新課標人教 三維目標： 知識與技能：（1）在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數特 征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件. （2）能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程．能用待定系數法求圓的方程。 （3）:培養(yǎng)學生探索發(fā)現及分析解決問題的實際能力。 過程與方法：通過對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學生探索發(fā)現及分析解決問題的實際能力。 情感態(tài)度價值

15、觀：滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創(chuàng)新，勇于探索。 教學重點：圓的一般方程的代數特征，一般方程與標準方程間的互化，根據已知條件確定方程中的系數，D、E、F. 教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用 教具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 課題引入： 問題：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。 探索研究： 請同學們寫出圓的標準方程： （x—

16、a）2+（y—b）2=r，圓心（a,b）,半徑r. 把圓的標準方程展開，并整理： x2＋y2—2ax—2by＋a2＋b2—r2=0. 取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2一r2得 x2+y2+Dx+Ey+F=0① 這個方程是圓的方程. 反過來給出一個形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎? 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得 D、E、D2+E2—4F （X+y）2+（y+y）2=4②（配方過程由學生去完成）這個方程是不是 表示圓? （1）當D2+E2—4F>0時，方程②表示（1）當時，表示以（-，-）為圓心，為半徑的圓； （2）當時，方

17、程只有實數解，，即只表示一個點（-，-）; （3）當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形 綜上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F二0表示的曲線不一定是圓 只有當時，它表示的曲線才是圓，我們把形如 x2+y2+Dx+Ey+F二0的表示圓的方程稱為圓的一般方程 我們來看圓的一般方程的特點：（啟發(fā)學生歸納） （1）①X2和y的系數相同，不等于0. ②沒有xy這樣的二次項. （2）圓的一般方程中有三個特定的系數D、E、F,因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了. （3）、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾

18、何特征較明顯。 知識應用與解題研究： 例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。 （1）4x2+4y2一4x+12y+9=0 （2）4x2+4y2一4x+12y+11=0 學生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標準形式。②、運用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于（1）4x2+4y2-4x+12y+9=0來說，這里的 9 D=-1,E=3,F=-而不是D=-4,E=12,F=9. 4 例2：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。 分析：據已知條件，很難直接寫出圓的標準

19、方程，而圓的一般方程則需確定三個系數，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程 解：設所求的圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ???在圓上，所以它們的坐標是方程的解?把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于的三元一次方程組， 'F=0 即

20、關于a、b、r或D、E、F的方程組； 解出a、b、r或D、E、F,代入標準方程或一般方程。 例3、已知線段AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。 分析：如圖點A運動引起點M運動,而點A在已知圓上運動,點A的坐標滿足方程。建立點M與點A坐標之間的關系，就可以建立點M的坐標滿足的條件，求出點M的軌跡方程。 解：設點M的坐標是（x,y）,點A的坐標是 （x,y）.由于點B的坐標是（4,3）且M是線段AB的重點，所以00 x+4y+3 x—-0,y——0, 22① 于是有x=2x一4,y=2y一3 00 上運動，所以點A的坐標滿足方程,即 ② 把①代入②，得 (2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理，得 X—— 2丿 +y-_ V2丿 所以，點M的軌跡是以品為圓心半徑長為1的圓 課堂練習：課堂練習第1、2、3題小結： 1.對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的討論（什么時候可以表示圓） 2．與標準方程的互化 3. 用待定系數法求圓的方程 4. 求與圓有關的點的軌跡。課后作業(yè)：習題4.1第2、3、6題