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1、第七章第七章 圖形與變換圖形與變換第第 23 講講 圖形的相似圖形的相似考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理成比例線段成比例線段成比例線段成比例線段在同一單位下，四條線段長(zhǎng)度為a，b，c，d，如果有 ，那么a，b，c，d這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段平行線分線段成比例定平行線分線段成比例定理理兩條直線被一組平行線所截，所得對(duì)應(yīng)線段成比例平行線分線段成比例定平行線分線段成比例定理的推論理的推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得對(duì)應(yīng)線段成比例badc相似三角形相似三角形 6 6年年3 3考考概念概念對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形全等三角形是特殊的相似三角形，其相似比為1
2、性質(zhì)性質(zhì)(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方判定判定(1)基本定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；(2)判定定理1：三邊_成比例的兩個(gè)三角形相似；(3)判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；(4)判定定理3：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似提示提示 (1)斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似(2)射影定理：如圖，RtABC中，ACB90，CD是斜邊AB上的高，則有如下的結(jié)論：CD2ADDB；BC2B
3、DBA；AC2ADAB；ACBCABCD(可用面積來(lái)證明)(3)常見的相似圖形：相似多邊形相似多邊形 6 6年年1 1考考概念概念如果兩多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形性質(zhì)性質(zhì)(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；(2)相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方位似位似定義定義如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段相互平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是位似中心性質(zhì)性質(zhì)位似圖形的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于位似比位似與坐標(biāo)位似與坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系
4、中，以原點(diǎn)為位似中心，畫一個(gè)與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)或(kx，ky) 典型例題運(yùn)用典型例題運(yùn)用 類型類型1 以原點(diǎn)為位似中心的位似變換以原點(diǎn)為位似中心的位似變換【例1 1】 2017青島一模如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3，6)，B(9，3)，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為 ，把ABO縮小，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(D)31D D以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為 ，把ABO縮小，點(diǎn)B(9，3)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3，1)或(3，1)31A(3，1) B(1，2) C(9，1)或(9，1) D(3，1)或
5、(3，1)變式運(yùn)用 如圖，ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1，1)，B(2，3)，C(3，0)(1)以點(diǎn)O為位似中心畫DEF，使它與ABC位似，且相似比為2；(2)在(1)的條件下，若M(a，b)為ABC邊上的任意一點(diǎn)，則DEF的邊上與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2a，2b)或(2a，2b)解：(1)如圖，DEF和DEF即為所作(2)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2a，2b)或(2a，2b)故答案為：(2a，2b)或(2a，2b)類型類型2 2 相似三角形的性質(zhì)與判定相似三角形的性質(zhì)與判定【例2 2】 2016福州中考如圖，在ABC中，ABAC1，BC ，在AC邊上截取ADBC，連接BD.(1)通過(guò)計(jì)算，判斷
6、AD2與ACCD的大小關(guān)系；(2)求ABD的度數(shù)215 變式運(yùn)用 如圖，在ABC中，ABAC，BDCD，CEAB于點(diǎn)E.(1)求證：ABDCBE；(2)若BD3，BE2，求AC的值解：(1)證明：ABAC，BDCD，ADBC.CEAB，ADBCEB90.B是公共角，ABDCBE.(2)BD3，BC2BD6.ABDCBE， ，即 ，解得AB9.ACAB9.BCBEBABD623BA類型類型3 3 相似三角形的綜合運(yùn)用相似三角形的綜合運(yùn)用 【例3 3】 如圖，在矩形ABCD中，BC1，CBD60，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DFDE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF交C
7、D于點(diǎn)G.(1)求證：ADECDF；(2)求DEF的度數(shù)；(3)設(shè)BE的長(zhǎng)為x，BEF的面積為y.求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值；當(dāng)y為最大值時(shí)，連接BG，請(qǐng)判斷此時(shí)四邊形BGDE的形狀，并說(shuō)明理由變式運(yùn)用 2017杭州中考如圖，在銳角ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，AGBC于點(diǎn)G，AFDE于點(diǎn)F，EAFGAC.(1)求證：ADEABC；(2)若AD3，AB5，求 的值A(chǔ)GAF解：(1)證明：AFDE于點(diǎn)F，AGBC于點(diǎn)G，AFE90，AGC90.AEF90EAF，C90GAC.又EAFGAC，AEFC.又DAEC，ADEABC.(2)ADEABC，ADEB.又
8、AFDAGB90，AFDAGB. .AD3，AB5， ABADAGAF53AGAF六年真題全練六年真題全練命題點(diǎn)命題點(diǎn)1 1 相似三角形相似三角形1 12012德州為了測(cè)量被池塘隔開的A，B兩點(diǎn)之間的距離，根據(jù)實(shí)際情況，作出如圖圖形，其中ABBE，EFBE，AF交BE于點(diǎn)D，點(diǎn)C在BD上有四位同學(xué)分別測(cè)量出以下四組數(shù)據(jù)：BC，ACB；CD，ACB，ADB；EF，DE，BD；DE，DC，BC.能根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)，求出A，B間距離的有(C)A1組 B2組 C3組 D4組C C知道ACB和BC，可利用ACB的正切來(lái)求AB的長(zhǎng)；可利用ACB和ADB的正切求出AB；ABDFED，可利用 ，求出AB；無(wú)法求出
9、A，B間距離故共有3組可以求出A，B間距離BDEDABFE2 22017德州鏈接第20講六年真題全練第3題3 32015德州(1)問(wèn)題：如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，DPCAB90.求證：ADBCAPBP.(2)探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)DPCAB時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由(3)應(yīng)用：請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題：如圖3，在ABD中，AB6，ADBD5.點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，由點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足DPCA.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)，當(dāng)以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時(shí)，求t的值解：(1)證明：DPCAB
10、90，ADPAPD90，BPCAPD90.ADPBPC.ADPBPC. .ADBCAPBP.BCAPBPAD(2)結(jié)論ADBCAPBP仍然成立理由如下：BPDDPCBPC，BPDAADP，DPCBPCAADP.DPCAB，BPCADP.ADPBPC. .ADBCAPBP.BCAPBPAD(3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E.ADBD5，AB6，AEBE3.由勾股定理，得DE4.以點(diǎn)D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，DCDE4.BC541.又ADBD，AB.由已知，得DPCA.DPCAB.由(1)、(2)可知，ADBCAPBP，又APt，BP6t，51t(6t)解得t11，t25.t的值為1秒
11、或5秒猜押預(yù)測(cè) 如圖是小瑩設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖在點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻CD的頂端C處已知ABBD，CDBD.且測(cè)得AB1.4米，BP2.1米，PD12米那么該古城墻CD的高度是(B) A6米 B8米 C10米 D12米命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2相似多邊形相似多邊形4 42015德州如圖1，四邊形ABCD中，ABCD，ADDCCBa，A60.取AB的中點(diǎn)A1，連接A1C，再分別取A1C，BC的中點(diǎn)D1，C1，連接D1C1，得到四邊形A1BC1D1，如圖2；同樣方法操作得到四邊形A2BC2D2，如圖3；，如此進(jìn)行下去，則四邊形AnBCnDn的面積為_ 猜押預(yù)測(cè) 如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF與矩形ABCD相似，則AD的長(zhǎng)為_ 251
數(shù)學(xué)第7章 圖形的變化 第23講 圖形的相似
