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1、高等數(shù)學(xué)試卷（B卷）答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2004-2005年度第一學(xué)期科目: 高等數(shù)學(xué)I 班級(jí): 姓名: 學(xué)號(hào): 成績(jī): 一、填空題（）1、的定義域是_ 2、3、4、如果函數(shù)，在處有極值，則5、二、單項(xiàng)選擇題（）1、當(dāng)時(shí)，下列變量中與等價(jià)的無窮小量是（ ）A . B . C . D . 2、。A BC D 3、設(shè)在上函數(shù)滿足條件則曲線在該區(qū)間上（ ） A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的4、設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則以下等式中錯(cuò)誤的是（ ） A. B. C. D. 5、反常積分（ ） A. 發(fā)散 B. 收斂于1 C. 收斂于 D. 收斂于三、算題（）1、求極限 2、求
2、3、求曲線在當(dāng)處的切線方程和法線方程4、已知函數(shù)，計(jì)算 5、求積分6、求積分 7、計(jì)算曲線與軸圍成的圖形面積，并求該圖形繞y軸所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積。8、計(jì)算星型線的全長(zhǎng). 四、求函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)（）五、設(shè), 證明：方程在0,1上有且僅有一根（）六、設(shè)f (x)連續(xù), 計(jì)算 （） 七、 , 計(jì)算：（） 答案：一、 填空題1、（2，3）（3，+） 2、2 3、 4、2 5、二、1、 D 2、A 3、B 4、A 5、C3、 計(jì)算題1、解：= 2 42、解：=3、解: 當(dāng)曲線過點(diǎn), 由于, 4所以, 當(dāng)處的切線方程和法線方程分別為: 1 14、 解:解: 令, 則: 1解: 令,
3、 則: 15、 令, =6、解: =7、解:面積 2 體積微分元 1 所求體積 38、解: 弧微分 2弧長(zhǎng) 4四、解:1 由上可知:函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為: (-,-2),(2,+); 函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為:(-2,2) 2函數(shù)的極大值點(diǎn):(-2,26),極小值點(diǎn)(2,-6) 1凹區(qū)間為:(0,+),凸區(qū)間為:(-,0) 1拐點(diǎn)為:(0,10) 五、證: 構(gòu)造函數(shù), 函數(shù)在0,1上連續(xù),在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 1,由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知,存在在(0,1)內(nèi)使 2又因?yàn)樗院瘮?shù)在(0,1)的零點(diǎn)唯一. 2原命題得證.六、解: 令:, 2=七、解:當(dāng) 2當(dāng)高等數(shù)學(xué)IV1課程考試試卷（A卷） 學(xué)院 專業(yè) 班級(jí) 學(xué)號(hào)
4、 姓名 題號(hào)一二三四五六七八總分閱卷教師得分得分一、選擇題（每小題3 分，共12分）1、設(shè)使存在的最高階數(shù)為（ ）(A) (B) (C) (D) 2、函數(shù)有極大值點(diǎn)（ ） （A） （B） （C） （D） 3、已知函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是，則（ ） (A) (B) (C) (D) 4、是函數(shù)的 （ ）（A）連續(xù)點(diǎn) （B）可去間斷點(diǎn) （C）第一類不可去間斷點(diǎn) （D）第二類間斷點(diǎn)得分二、填空題（每小題3 分，共12分）1、函數(shù)的圖形的拐點(diǎn)是 。2、曲線的漸進(jìn)線是 。3、設(shè)，則 。4、 。得分三、求下列極限（每小題6分，共12分）。1、。2、。得分四、計(jì)算下列微分或?qū)?shù)（每小題6分，共18分）。1、，求。2
5、、。3、設(shè) ，求。得分五、計(jì)算下列積分（每小題6分，共18分）。1、。2、求。3、。得分六、若，證明不等式（8分）。得分七、 求： (1) D的面積S； (2) D繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積。（10分）得分八、求微分方程的通解（10分）。高等數(shù)學(xué)IV1統(tǒng)考試題（A）答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、 選擇（每題3分，共12分）、B、D、A、C二、 填空（每題3分，共12分）、 4、三、計(jì)算下列極限（每小題6分，共12分）。1、解：原式= （2分） （4分） （6分）2、 解：原式= （3分） （3分）四、 求下列導(dǎo)數(shù)和微分（每小題6分，共18分）。1、解： （3分） （6分）、解： （2分） （4分）= （
6、6分）、解：解： （3分） （6分） 五、計(jì)算下列積分（每小題6分，共18分）。1、解： （3分） （6分）2、解： （6分）3、解：令, (1分)原式= （6分）六、解：即證 ， （1分）令 ， （2分） , （4分）當(dāng)時(shí), , 且, . （6分） 且 （8分）七、解：解: (1分) (1) D=； (5分)(2) 。 (10分)八、解：首先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解： （1分） （4分）用常數(shù)變易法，把變成，即令 ，則有 （5分） （6分）代入到原方程中得 ，兩邊積分得 （8分） ，故原方程的通解為 （9分） （10分）高等數(shù)學(xué)A參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)考試科目：高等數(shù)學(xué)A 上 考試班級(jí)： 考試方式
7、： 閉卷 命題教師：一、填空題（將正確答案填在橫線上，本大題共4小題，每題4分，共16分）1已知當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，則常數(shù) 。2，則 。3微分方程的通解為 。4 。二、選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中，本大題共4小題，每題4分，共16分）1如果處處可導(dǎo)，則（ ）。； ； ； 。2函數(shù)在處連續(xù)，且取得極大值，則在處必有（ ）。； ； 。3若為的一個(gè)原函數(shù)，則（ ）。； ； ； 。4微分方程的通解是( )。 ； ； ；三、解答下列各題（本大題共2小題，共14分）1（本小題7分）求極限2（本小題7分）設(shè)，求。四、解答下列各題（本大題共4小題，共28分）1（本小題7
8、分），求的極值及在上的最值。2（本小題7分） 。3（本小題7分），計(jì)算。 7分4（本小題7分）求積分。五、解答下列各題（本大題共3小題，共26分）1（本小題9分）求由曲線，軸及該曲線過原點(diǎn)的切線所圍成平面圖形的面積。 2（本小題9分）求微分方程的通解。 3（本小題8分）設(shè)可導(dǎo)，且，證明。答案：1、 填空題1、 2、 3、 42、 選擇題1、 B 2、C 3、D 4、A3、 計(jì)算題1、解：= 3分2、解：取對(duì)數(shù) 2分兩邊對(duì)求導(dǎo)： 5分四、1、解： 2分則，令，解得，所以時(shí)，的極大值是；，所以時(shí)，的極小值是； 5分，比較得在上的最大值是，最小值是。2、解：令， 5分 3、解： 3分4、解： 4分
9、五、1、解：設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程又切線過原點(diǎn)，將代入得切點(diǎn)，則切線 5分 2、解：齊方程的特征方程，特征根齊方程的通解是 4分設(shè)非齊次方程的一個(gè)特解為，代入原方程解得，故 8分非齊次方程的通解； 3、證明：令，則 3分 8分課程名稱： 高等數(shù)學(xué)A (上) 課程類別： 必修 考試方式： 閉卷 注意事項(xiàng)：1、本試卷滿分100分。2、考試時(shí)間 120分鐘。題號(hào)一二三四五六七八得分得分評(píng)閱人得分一、單項(xiàng)選擇題（在每小題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確答案，并將正確答案的選項(xiàng)填在題后的括號(hào)內(nèi)。每小題3分，共18分）1. D ；2 C；3 B；4 B； 5 B；6 A。得分二、填空題（每小題3分，共18分）
10、 1. ；2 2 ；3 4 ；5 ；6 得分三、計(jì)算下列各題（每小題5分，共30分） 1. 解： （2分） （4分） （5分）2. 已知可導(dǎo)，求解 （4分） （5分）3. 由方程確定，求.解：兩邊同時(shí)求導(dǎo)得： （2分）對(duì)上式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：即：所以： （5分） 4 解： （3分） （5分）5 解：設(shè) （2分） （4分） （5分）6 解： （2分） （4分） （5分）得分四設(shè)選擇合適的，使得處處可導(dǎo)。（本題6分） 解： 因?yàn)樵谔庍B續(xù)，所以有 即 （3分）又因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo)，所以有即 （6分）得分五. 設(shè)，常數(shù)，證明 （本題6分） 解：設(shè) （2分） 所以單調(diào)減少，而，當(dāng)時(shí)， （5分）即 （6分）六 設(shè)
11、函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)圖形的凹凸性得分（本題6分） 解： （2分） 在，所以函數(shù)在單調(diào)減少 （3分） 在，所以函數(shù)在單調(diào)增加 （4分） ，所以該函數(shù)的圖形是凹的 （6分）得分七 解微分方程（本題6分） 解 微分方程變形為 （1分） 令 ，則 （2分） 將上式分離變量?jī)蛇叿e分得 （4分） 則 即 （6分）八 設(shè)曲線上某點(diǎn)處作一切線，使之與曲線以及軸圍成的面積為，試求（1）過切點(diǎn)的切線方程（2）有上述所圍成的平面圖形繞軸一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積（本題10分）得分 解：（1）設(shè)的坐標(biāo)為，那么過的切線方程可表示為 （2分）切線與軸的交點(diǎn)，所以所圍成的面積為 （5分）所以，即 （6分） （2）平面圖形繞軸一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 （10分）
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