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1、特征方程法求數(shù)列的通項公式求數(shù)列通項公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一類數(shù)列通項公式的一種有效途徑.1.已知數(shù)列滿足. 其中.定義1:方程為的特征方程,該方程的根稱為數(shù)列的特征根,記為.定理1:若且,則.證明: 證畢定理2: 若且,則.證明: 證畢例（09江西理22）各項均為正數(shù)的數(shù)列,且對滿足的正數(shù)都有.(1)當(dāng)時,求通項;(2)略.解:由得將代入上式化簡得考慮特征方程得特征根所以所以數(shù)列是以為首項,公比為的等比數(shù)列故 即例 已知數(shù)列滿足,求通項.解: 考慮特征方程得特征根所以數(shù)列是以為首項,公差為1的等差數(shù)列故 即例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，化簡得，解得，
2、令 由得，可得，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，例已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，即，解得，令 由得，求得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，2.已知數(shù)列滿足 其中為常數(shù),且.定義2:方程為的特征方程,該方程的根稱為數(shù)列的特征根,記為.定理3:若,則,其中常數(shù),且滿足.定理4: 若,則,其中常數(shù),且滿足.設(shè)，則,令 （*）（1） 若方程組（*）有兩組不同的解,則, ,由等比數(shù)列性質(zhì)可得, ,由上兩式消去可得.（2） 若方程組（*）有兩組相等的解，易證此時，則，,即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，所以例已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得， 例已知數(shù)列滿
3、足，求數(shù)列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得， 例:已知數(shù)列滿足,求通項.解: 考慮特征方程得特征根 則 其中常見遞推數(shù)列通項的求解方法 高考中的遞推數(shù)列求通項問題，情境新穎別致，有廣度，創(chuàng)新度和深度，是高考的熱點之一。是一類考查思維能力的好題。要求考生進行嚴(yán)格的邏輯推理，找到數(shù)列的通項公式，為此介紹幾種常見遞推數(shù)列通項公式的求解方法。類型一：（可以求和）累加法（1）若f(n)為常數(shù),即：,此時數(shù)列為等差數(shù)列，則=.（2）若f(n)為n的函數(shù)時，用累加法.方法如下： 由 得：時，所以各式相加得 即：.為了書寫方便，也可用橫式來寫： 時，=.例、在數(shù)列中，已知=1，當(dāng)時，有，求數(shù)列的通項公
4、式。解析： 上述個等式相加可得： 評注：一般情況下，累加法里只有n-1個等式相加。例 . （2003天津文） 已知數(shù)列an滿足,證明證明：由已知得： = .例.已知數(shù)列的首項為1，且寫出數(shù)列的通項公式. 答案：例.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項公式. 答案： 評注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項.若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。類型一專項練習(xí)題：1、已知，（），求。 2
5、、已知數(shù)列，=2，=+3+2，求。 3、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。4、已知中，求。 5、已知,求數(shù)列通項公式. 6、 已知數(shù)列滿足求通項公式？（）7、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個數(shù)列的通項公式8、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。9、已知數(shù)列滿足，求。 10、數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列（I）求的值； c=2（II）求的通項公式 類型二： （可以求積）累積法（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此時數(shù)列為等比數(shù)列，=.（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時,用累乘法. 由得 時，=f(n)f(n-1). 例.設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且（=1，2， 3，），則它的通項
6、公式是=_.解：已知等式可化為：()(n+1), 即時，=.本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過因式分解（一般情況時用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.例.已知,求數(shù)列an的通項公式.解：因為所以故又因為,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得 =所以-1.評注：本題解題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若令,則問題進一步轉(zhuǎn)化為形式，進而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項公式.例在數(shù)列中，已知有，()求數(shù)列的通項公式。解析：又也滿足上式； 類型二專項練習(xí)題：1、 已知，()，求。 2、已知數(shù)列滿足，求。 3、已知中，且，求數(shù)列的通項公式.4、已知， ，求。 5、已知,求數(shù)列通項公式. 6、已知數(shù)
7、列滿足，求通項公式？ （） 7、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。8、已知數(shù)列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項 9、設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列, 且(n + 1)a- na+an+1an = 0 (n = 1, 2, 3, )，求它的通項公式. 10、數(shù)列的前n項和為，且，求數(shù)列的通項公式. 類型三： （1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項;或用逐差法(兩式相減)得，分奇偶項來分求通項.例. 數(shù)列滿足,求數(shù)列an的通項公式.解法2：時，兩式相減
8、得：.構(gòu)成以,為首項，以2為公差的等差數(shù)列;構(gòu)成以,為首項，以2為公差的等差數(shù)列. 評注：結(jié)果要還原成n的表達(dá)式.例.（2005江西卷）已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足SnSn2=3求數(shù)列an的通項公式.解：方法一：因為以下同例1，略答案 類型四型（1）若(p為常數(shù))，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項來分求通項.例1. 已知數(shù)列,求此數(shù)列的通項公式.注：同上例類似，略.類型五： 待定常數(shù)法可將其轉(zhuǎn)化為，其中，則數(shù)列為公比等于A的等比數(shù)列，然后求即可。（1）若c=1時，數(shù)列為
9、等差數(shù)列;（2）若d=0時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法如下：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構(gòu)成以為首項，以c為公比的等比數(shù)列，所以 即：.規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項公式有時我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進而求得通項公式. ,再利用類型(1)即可求得通項公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例 在數(shù)列中， ，當(dāng)時，有，求數(shù)列的通項公式。解析：設(shè)，則，于是是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列。例已知數(shù)列中，求通項.分析：兩邊直接加上,構(gòu)造新的等比數(shù)列。解：
10、由得,所以數(shù)列構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以,即 . 方法二：迭代法由 遞推式直接迭代得=.類型五專項練習(xí)題：1、 在數(shù)列中， ，求數(shù)列的通項公式。 2、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個數(shù)列的通項公式3、已知數(shù)列a中，a=1，a= a+ 1求通項a 4、在數(shù)列(不是常數(shù)數(shù)列)中,且,求數(shù)列的通項公式. 5、在數(shù)列an中，求. 6、已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式. 7、設(shè)二次方程x-x+1=0(nN)有兩根和，且滿足6-2+6=3(1)試用表示a； （2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）當(dāng)時，求數(shù)列的通項公式 8、在數(shù)列中，為其前項和，若，并且，試判斷是不是等比數(shù)列？ 是類型六：(1)若(其中k,b
11、是常數(shù)，且)方法：相減法例1. 在數(shù)列中，求通項.解：， 時，兩式相減得 .令,則利用知即 再由累加法可得.亦可聯(lián)立 解出.例2. 在數(shù)列中，,求通項.解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為所以是一個等比數(shù)列，首項,公比為. 即：故.(2)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)若p=1時，即：，累加即可.若時，即：，求通項方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.即： ,令，則,然后類型1，累加求通項.ii.兩邊同除以 . 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，iii.待定系數(shù)法：設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.例1.（2003天津理）設(shè)為常數(shù)，且證明對任意1，；證
12、法1：兩邊同除以（-2）,得令,則=.證法2：由得 .設(shè)，則b. 即：,所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.則=,即：,故 .評注：本題的關(guān)鍵是兩邊同除以3，進而轉(zhuǎn)化為類型5，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項問題.證法3：用待定系數(shù)法設(shè), 即:,比較系數(shù)得：,所以 所以,所以數(shù)列是公比為2，首項為的等比數(shù)列. 即 .例 設(shè)在數(shù)列中， ，求數(shù)列的通項公式。解析：設(shè) 展開后比較得這時是以3為首項，以為公比的等比數(shù)列即，例 在數(shù)列中， ，求數(shù)列的通項公式。解析：，兩邊同除以得是以=1為首項，2為公差的等差數(shù)列。 即例 在數(shù)列中， ，求數(shù)列的通項公式。解析：在中，先取
13、掉，得令，得，即；然后再加上得 ； 兩邊同除以，得是以為首項，1為公差的等差數(shù)列。， 評注：若中含有常數(shù)，則先待定常數(shù)。然后加上n的其它式子，再構(gòu)造或待定。例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解析：在中取掉待定令，則， ；再加上得，整理得：，令，則令 ；即；數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列。，即；整理得類型5專項練習(xí)題：1、設(shè)數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的通項公式。 2、已知數(shù)列中，點在直線上，其中（1） 令求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2） 求數(shù)列的通項 ； 3、已知，求。 4、設(shè)數(shù)列：，求.5、已知數(shù)列滿足，求通項6、在數(shù)列中，求通項公式。7、已知數(shù)列中，,，求。8、已知數(shù)列a，a=1, nN，a=
14、2a3 n ,求通項公式a9、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。10、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個數(shù)列的通項公式 11、已知數(shù)列滿足,求. 12、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。13、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。14、 已知，求。 15、 已知中，求. 16、已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。類型七：1、已知數(shù)列中，,，求。2、 已知 a1=1，a2=，=-,求數(shù)列的通項公式.3、已知數(shù)列中，是其前項和，并且，設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；求數(shù)列的通項公式及前項和。4、數(shù)列：，
15、，求數(shù)列的通項公式類型八：（）1、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個數(shù)列的通項公式。2、已知數(shù)列滿足時，求通項公式。3、已知數(shù)列an滿足：，求數(shù)列an的通項公式。4、設(shè)數(shù)列滿足求5、已知數(shù)列滿足a1=1，求6、 在數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式. 7、若數(shù)列a中，a=1，a= nN，求通項a類型九： 例 已知數(shù)列前n項和.求與的關(guān)系； （2）求通項公式.解析：時，得；時，；得。（2）在上式中兩邊同乘以得；是以為首項，2為公差的等差數(shù)列；得。類型九專項練習(xí)題：1、數(shù)列an的前N項和為Sn，a1=1，an+1=2Sn.求數(shù)列an的通項an。2、已知在正整數(shù)數(shù)列中，前項和滿足，求數(shù)列的通項公式. 3、已知數(shù)列a
16、n的前n項和為Sn = 3n 2, 求數(shù)列an的通項公式. 4、設(shè)正整數(shù)an的前n項和Sn =，求數(shù)列an的通項公式. 5、如果數(shù)列an的前n項的和Sn =, 那么這個數(shù)列的通項公式是an = 23n6、已知無窮數(shù)列的前項和為，并且，求的通項公式？ 類型十：周期型例1、若數(shù)列滿足，若，則的值為_。解析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得它的前幾項依次為：；我們看出這個數(shù)列是一個周期數(shù)列，三項為一個周期；.評注：有些題目，表面看起來無從下手，但你歸納出它的前幾項后，就會發(fā)現(xiàn)規(guī)律，出現(xiàn)周期性，問題就迎刃而解。類型八專項練習(xí)題：1、已知數(shù)列滿足，則= （ B ）A0BCD2、在數(shù)列中， -4類型十一、利用數(shù)學(xué)歸納
17、法求通項公式例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解析：根據(jù)遞推關(guān)系和得，所以猜測，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明它；時成立（已證明）假設(shè)時，命題成立，即，則時，=。時命題成立；由可知命題對所有的均成立。評注：歸納、猜想數(shù)學(xué)歸納法證明是我們必須掌握的一種方法。類型九專項練習(xí)題：1. 設(shè)數(shù)列滿足：，且，則的一個通項公式為 ，2、已知是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足，（n=3，4，5）。（1）求； 2（2）證明（n=3，4，5）；(數(shù)學(xué)歸納法證明)（3）求的通項公式及前n項的和。； 3、已知數(shù)列中=，。(1) 計算，。 (2) 猜想通項公式，并且數(shù)學(xué)歸納法證明。遞推數(shù)列的通項公式的求法，雖無固定模式，但也有規(guī)律
18、可循；主要靠觀察分析、累加、累積、待定系數(shù)法，或是轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的方法解決；再或是歸納、猜想、用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法來解決，同學(xué)們應(yīng)歸納、總結(jié)它們的規(guī)律，通過練習(xí)，鞏固掌握它。類型十二. (其中p,r為常數(shù))型（1）p0， 用對數(shù)法.例. 設(shè)正項數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則 是以2為公比的等比數(shù)列， ，練習(xí) 數(shù)列中，（n2），求數(shù)列的通項公式. 答案：（2）p0時 用迭代法.例.（2005江西卷）已知數(shù)列，（1）證明 （2）求數(shù)列的通項公式an.解：（1）略（2）所以 又bn=1，所以.方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡捷，請試一試.解法3：設(shè)c，則c,轉(zhuǎn)化為上面類型（1）來解.21
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