2020版高考數學一輪復習 課后限時集訓23 正弦定理、余弦定理應用舉例（含解析）理

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1、課后限時集訓(二十三) (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．如圖所示，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的( ) A．北偏東10° B．北偏西10° C．南偏東80° D．南偏西80° D　[由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.] 2．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與

2、燈塔B的距離為( ) A．a km B.a km C.a km D．2a km B　[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°， ∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝a.] 3．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于( ) A．5 m B．15 m C．5 m D．15 m D　[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得＝，

3、 解得BC＝15(m)． 在Rt△ABC中， AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)．] 4．(2019·重慶模擬)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是( ) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 A　[如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據正弦定理得＝， 解得BC＝10(海里)．] 5．如圖所示

4、，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°，北偏東45°方向，再往正東方向行駛40海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為( A．20海里 B．40海里 C．20(1＋)海里 D．40海里 A　[連接AB，由題意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得＝，∴AD＝20，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝CD＝40. 在△ABD中，由余弦定理得

5、 AB＝＝20. 故選A. ] 二、填空題 6．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°的方向上，燈塔B在觀察站C的南偏東60°的方向上，則燈塔A在燈塔B的________的方向上． 北偏西10°　[由題意知∠ABC＝(180°－80°)＝50°， 則燈塔A在燈塔B的北偏西10°的方向上．] 7．(2019·衡水模擬)如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點A處測得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到達M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為_____

6、___m. 600　[在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600.在△ACD中， ∵tan∠DAC＝＝， ∴DC＝600×＝600.] 8．如圖所示，小明同學在山頂A處觀測到，一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽車從B點到C點歷時14 s，則這輛汽車的速度為________ m/s(精確到0.1)．參考數據：≈1.414，≈2.236. 22.6　[由題意可得AB＝200，AC＝100，在

7、△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝105，則BC＝100≈141.4×2.236，又歷時14 s，所以速度為≈22.6 m/s.] 三、解答題 9．某航模興趣小組的同學，為了測定在湖面上航模航行的速度，采用如下辦法：在岸邊設置兩個觀察點A，B，且AB長為80米，當航模在C處時，測得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，經過20秒后，航模直線航行到D處，測得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.請你根據以上條件求出航模的速度．(答案可保留根號) [解]　在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°， ∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝

8、80，∴BD＝80. 在△ABC中，＝， ∴BC＝＝＝40. 在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 60° ＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9 600. ∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒． 10．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． [解]　(1)依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.

9、在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28. 所以漁船甲的速度為＝14海里/小時． (2)在△ABC中，因為AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝， 即sin α＝＝＝. B組　能力提升 1．(2019·六安模擬)一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是 (

10、 ) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m A　[設水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．] 2．如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為330 m且和P，Q兩點在同一平面內的路段AB的兩個端點作為觀測點，現測得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，則P，Q兩

11、點間的距離為________m. 990　[由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°. 又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°， ∴AB＝BQ. 又PB為公共邊，∴△PAB≌△PQB， ∴PQ＝PA. 在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝990， 故PQ＝990，∴P，Q兩點間的距離為990 m．] 3．如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC＝15°，從A處沿山坡前進50 m到達B處，又測得∠DBC＝45°，根據以上數據可得cos θ＝________.

12、 －1　[由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由內角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根據正弦定理可得＝，即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cos θ＝－1.] 4．如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得山頂P在北偏東15°(∠BAC＝15°)方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，測得山頂P位于北偏東60°方向上，此時測得山頂P的仰角60°，若山高為2千米． (1)船的航行速度是每小時多少千米？ (2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達D處，問此時山頂位于D處的南偏東什么方向？ [解]　(1)在△BCP中，tan∠PBC＝?BC＝2. 在△ABC中，由正弦定理得：＝?＝，所以AB＝2(＋1)， 船的航行速度是每小時6(＋1)千米． (2)在△BCD中，由余弦定理得：CD＝， 在△BCD中，由正弦定理得：＝? sin∠CDB＝，所以，山頂位于D處南偏東45°. - 8 -