中考數(shù)學總復習 第三編 綜合專題闖關篇 專題四 猜想與證明試題
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專題四 猜想與證明 命題規(guī)律 1.猜想與證明問題懷化中考近7年共考查5次，都是以解答題的形式出現(xiàn)． 2．考查類型：(1)與圖形的位似有關，探究兩條邊之間的關系；(2)與尺規(guī)作圖有關，利用正方形的性質探究邊與邊之間的關系，其中有一問會涉及到如何作圖；(3)與旋轉有關，主要是利用旋轉前后的性質，分別涉及到直線和正方形；(4)折疊問題主要是折疊過程中對圖形變化具體情況的分析，與圖形的折疊、平移有關． 命題預測 預計2017年懷化中考仍會重點考查此內容，在訓練時多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有關的知識的綜合題. ,中考重難點突破) 與圖形旋轉有關的問題 【例1】在圖①至圖③中，直線MN與線段AB相交于點O，∠1＝∠2＝45. (1)如圖①，若AO＝OB，請寫出AO與BD的數(shù)量關系和位置關系； (2)將圖①中的MN繞點O順時針旋轉得到圖②，其中AO＝OB.求證：AC＝BD，AC⊥BD； (3)將圖②中的OB拉長為AO的k倍得到圖③，求的值． 【學生解答】(1)AO＝BD，AO⊥BD；(2)如圖②，過點B作BE∥CA交DO于點E，∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE，∴AC＝BE.又∵∠1＝45，∴∠ACO＝∠BEO＝135.∴∠DEB＝45，∵∠2＝45，∴BE＝BD，∠EBD＝90.∴AC＝BD.延長AC交DB的延長線于點F，如圖②，∵BE∥AC，∴∠AFD＝90，∴AC⊥BD；(3)如圖③，過點B作BE∥CA交DO于點E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.∴＝.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD，∴＝k. 【點撥】(1)在探索兩線段的數(shù)量關系時常以三角形全等或者相似為工具，由對應角的關系得到兩線段相等或者成對應比例．有時需先進行等量代換，將兩線段放到相似三角形或全等三角形中，若出現(xiàn)直角三角形，則利用直角三角形的性質求解． (2)兩線段的位置關系通常為平行或垂直．先觀察圖形，根據(jù)圖形先推測兩線段的位置關系是平行或垂直．若平行，則常通過以下方法進行證解：①平行線的判定定理；②平行四邊形對邊平行；③三角形中位線性質等．若垂直，則可考慮以下途徑：①證明兩線段所在直線夾角為90；②兩線段是矩形的鄰邊；③兩線段是菱形的對角線；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三線合一的性質等方式證明． 1．(2016會同模擬)已知△ABC中，M為BC的中點，直線m繞點A旋轉，過B，M，C分別作BD⊥m于點D，ME⊥m于點E，CF⊥m于點F. (1)當直線m經(jīng)過B點時，如圖①，易證EM＝____CF；(不需證明) (2)當直線m不經(jīng)過B點，旋轉到如圖②、圖③的位置時，線段BD，ME，CF之間有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明． 解：圖②的結論為：ME＝(BD＋CF)，圖③的結論為：ME＝(CF－BD)．圖②的結論證明如下：如解圖①，連接DM并延長交FC的延長線于K，易證△DBM≌△KCM(ASA)，∴DB＝KC，DM＝KM，由題意知：ME＝FK，∴ME＝(CF＋CK)＝(CF＋DB)；圖③的結論證明如下：如解圖②，連接DM并延長交FC于K.易證△DBM≌△KCM(ASA)，∴DB＝KC，DM＝KM，由題意知：EM＝FK，∴ME＝(CF－CK)＝(CF－DB)． 與圖形相似、位似有關的問題 【例2】如圖①，點E是線段BC的中點，分別以B，C為直角頂點的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同側． (1)AE和ED的數(shù)量關系為________；AE和ED的位置關系為________； (2)在圖①中，以點E為位似中心，作△EGF與△EAB位似，點H是BC所在直線上的一點，連接GH，HD，分別得到圖②和圖③. ①在圖②中，點F在BE上，△EGF與△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中點．求證：GH＝HD，GH⊥HD； ②在圖③中，點F在BE的延長線上，△EGF與△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，請直接寫出CH的長為多少時，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代數(shù)式表示) 【解析】(1)由△ABE≌△DCE可得，AE＝DE.由AB＝BE＝EC＝CD，可知∠AEB＝∠DEC＝45，所以∠AED＝90，故AE⊥ED；(2)由△HGF≌△DHC可證GH＝HD，GH⊥HD；由BC＝2，可知BE＝EC＝1，∴EF＝k，∴當CH＝k時可得CH＝FG＝k，從而證明△HFG≌△DCH，得到GH＝HD，GH⊥HD. 【學生解答】解：(1)AE＝ED，AE⊥ED；(2)①由題意，∠B＝∠C＝90，AB＝BE＝EC＝DC.∵△EGF與△EAB位似且相似比是1∶2，∴∠GFE＝∠B＝90，GF＝AB，EF＝EB.∴∠GFE＝∠C.∵EH＝HC＝EC.∴GF＝HC，F(xiàn)H＝FE＋EH＝EB＋EC＝BC＝CD.∴△HGF≌△DHC.∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.又∵∠HDC＋∠DHC＝90，∴∠GHF＋∠DHC＝90，∴∠GHD＝90，∴GH⊥HD；②CH的長為k，恰好使GH＝HD且GH⊥HD.理由如下：∵當GH＝HD，GH⊥HD時，∴∠FHG＋∠DHC＝90，∵∠FHG＋∠FGH＝90，∴∠FGH＝∠DHC，∴在Rt△GFH和Rt△HCD中，∴△GFH≌△HCD，∴CH＝FG，∵EF＝FG，∴EF＝CH，∵△EGF與△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，∴BE＝EC＝1，∴EF＝k，∴CH的長為k. 2．已知直線MN與線段AB交于點O，點C在直線MN上，且∠ACN＝135，以點O為位似中心，作△BOD與△AOC位似． (1)如圖①，若△BOD與△AOC的位似比為1∶3，寫出AC與BD的數(shù)量關系和位置關系； (2)在圖②中，若△BOD與△AOC的位似比為1∶1，∠BEM＝45，寫出AC與BE的數(shù)量關系和位置關系，并證明； (3)在圖③中，若△BOD與△AOC的位似比為k∶1，∠BEM＝45，求BE∶AC的值． 解：(1)AC∥BD，AC∶BD＝3∶1；(2)AC＝BE，AC⊥BE.證明如下：∵△BOD與△AOC位似且位似比為1∶1，∴△AOC≌△BOD，∴∠ACO＝∠BDO＝135，AC＝BD.∴∠BDE＝45，又∵∠BEM＝45，∴∠BDE＝∠BEM，∴BD＝BE，BD⊥BE，∴AC＝BE，AC⊥BE；(3)∵△BOD與△AOC位似且位似比為k∶1.∴△AOC∽△BOD，∴∠ACO＝∠BDO＝135，BD∶AC＝k∶1，∴∠BDE＝45，又∵∠BEM＝45，∴∠BDE＝∠BEM，∴BD＝BE，BD⊥BE，∴BE∶AC＝k∶1. 與圖形折疊、平移有關的問題 【例3】圖①和圖②中，優(yōu)弧AB所在⊙O的半徑為2，AB＝2.點P為優(yōu)弧AB上一點(點P不與A，B重合)，將圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A′. (1)點O到弦AB的距離是________，當BP經(jīng)過點O時，∠ABA′＝________； (2)當BA′與⊙O相切時，如圖②，求折痕BP的長； (3)若線段BA′與優(yōu)弧AB只有一個公共點B，設∠ABP＝α，確定α的取值范圍． 【解析】(1)作垂線OC，即為O到AB的距離．根據(jù)垂徑定理，構造直角三角形，利用直角三角形邊角關系以及三角函數(shù)即可得解．(2)由(1)得OC長度以及半徑OB長度，即可求出∠OBC的正弦值，從而求得∠OBC.再利用∠ABP與∠OBC的關系求出∠OBP的角度，根據(jù)直角三角形的邊角關系計算即可．(3)在折疊過程中，BP有4個特殊位置，點A′落在以B為圓心、BA為半徑的虛線圓弧上，觀察圖形由線段BA′與圓心O的位置可確定α的范圍． 【學生解答】解：(1)1；60.解法提示：如解圖①，過點O作OC⊥AB，垂足為點C，連接OA，則∠OCA＝90，AC＝AB＝2＝.∵OA＝2，∴OC＝＝＝1.當BP經(jīng)過點O時，在Rt△OCB中，sin∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30，根據(jù)折疊的性質可得，∠ABA′＝2∠OBC＝230＝60； (2)如解圖②，作OC⊥AB于點C，連接OB，∵BA′與⊙O相切，∴∠OBA′＝90，在Rt△OBC中，OB＝2，OC＝1，∴sin∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30，∴∠ABP＝∠ABA′＝(∠OBA′＋∠OBC)＝60，∴∠OBP＝30.作OD⊥BP于點D，則BP＝2BD.∴BD＝OBcos30＝，∴BP＝2；(3)∵點P，A不重合，∴α>0.由(1)得，當α增大到30時，點A′在上，∴當0<α<30時，點A′在⊙O內，線段BA′與只有一個公共點B.由(2)知，α增大到60時，BA′與⊙O相切，即線段BA′與只有一個公共點B.當α繼續(xù)增大時，點P逐漸靠近點B，但點P，B不重合，∴∠OBP<90.∵α＝∠OBA＋∠OBP，∠OBA＝30，∴α<120.∴當60≤α<120時，線段BA′與只有一個公共點B.綜上所述，α的取值范圍是0<α<30或60≤α<120. 【點撥】解本題第(3)問的關鍵在于折疊過程中對圖形變化具體情況的分析，也是對第(1)、(2)問情況的綜合．在分類討論α的最大取值時，很難想象出優(yōu)弧AB完全折疊過去時的情況，即P點即將與B點重合時α的數(shù)值，可以先在圖中畫出點P、B重合時的情況，重合時α為一個臨界點，找到此臨界點，再使α小于此臨界點即可解決． 3．(2015天津中考)將一個直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標系中，點A(，0)，點B(0，1)，點O(0，0)．過邊OA上的動點M(點M不與點O，A重合)作MN⊥AB于點N，沿著MN折疊該紙片，得頂點A的對應點為A′.設OM＝m，折疊后的△A′MN與四邊形OMNB重疊部分的面積為S. (1)如圖①，當點A′與頂點B重合時，求點M的坐標； (2)如圖②，當點A′落在第二象限時，A′M與OB相交于點C，試用含m的式子表示S； (3)當S＝時，求點M的坐標(直接寫出結果即可)． 解：(1)在Rt△ABO中，點A(，0)，點B(0，1)，點O(0，0)，∴OA＝，OB＝1.由OM＝m，得AM＝OA－OM＝－m.根據(jù)題意，由折疊可知△BMN≌△AMN，∴BM＝AM＝－m.在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2＝OB2＋OM2，得(－m)2＝1＋m2，解得m＝.∴點M的坐標為(，0)；(2)在Rt△ABO中，tan∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝30，由MN⊥AB，得∠MNA＝90.∴在Rt△AMN中，得MN＝AMsin∠OAB＝(－m)，AN＝AMcos∠OAB＝(－m)．∴S△AMN＝MNAN＝(－m)2.由折疊可知△A′MN≌△AMN，有∠A′＝∠OAB＝30，∴∠A′MO＝∠A′＋∠OAB＝60.∴在Rt△COM中，得CO＝OMtan∠A′MO＝m.∴S△COM＝OMCO＝m2，又S△ABO＝OAOB＝，∴S＝S△ABO－S△AMN－S△COM＝－(－m)2－m2，即S＝－m2＋m＋(0
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