中考數(shù)學(xué) 第三編 綜合專題闖關(guān)篇 題型二 解答題重難點(diǎn)突破 專題一 猜想證明與探究試題
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題型二 解答題重難點(diǎn)突破 專題一 猜想證明與探究 1.猜想與證明問(wèn)題河北中考近8年共考查8次,為每年必考內(nèi)容,都是以解答題的形式出現(xiàn),分值為9-14分. 2.考查類型:(1)與圖形的位似有關(guān),探究?jī)蓷l邊之間的關(guān)系,此類題在2012年考查過(guò)一次,主要是利用三角形的性質(zhì)來(lái)解決,分值為9分;(2)與尺規(guī)作圖有關(guān),利用正方形的性質(zhì)探究邊與邊之間的關(guān)系,其中有一問(wèn)會(huì)涉及到如何作圖,此題在2011年考查過(guò)一次,分值為9分;(3)與旋轉(zhuǎn)有關(guān),主要是利用旋轉(zhuǎn)前后的性質(zhì),分別涉及到直線和正方形,在2010年和2009年考查過(guò),分值為10分,在2013年考查過(guò),分值為11分;(4)折疊問(wèn)題主要是折疊過(guò)程中對(duì)圖形變化具體情況的分析,此題在2014年考查過(guò),分值為11分;與圖形的折疊、平移有關(guān),2015年考查,分值14分,平移問(wèn)題主要是用到了平移前后的性質(zhì)和三角形的性質(zhì),探究邊與邊之間的關(guān)系,在2008年考查過(guò),分值為10分.2016年在此題型上來(lái)考查. 預(yù)計(jì)2017年河北中考很有可能考查此內(nèi)容,在訓(xùn)練時(shí)多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有關(guān)的知識(shí)的綜合題. ,中考重難點(diǎn)突破) 與圖形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的證明 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例1】(2010河北中考)在圖①至圖③中,直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O,∠1=∠2=45. (1)如圖①,若AO=OB,請(qǐng)寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系; (2)將圖①中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖②,其中AO=OB.求證:AC=BD,AC⊥BD; (3)將圖②中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到圖③,求的值. 【學(xué)生解答】(1)AO=BD,AO⊥BD;(2)如圖②,過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E,∴∠ACO=∠BEO.又∵AO=OB,∠AOC=∠BOE,∴△AOC≌△BOE,∴AC=BE.又∵∠1=45,∴∠ACO=∠BEO=135.∴∠DEB=45,∵∠2=45,∴BE=BD,∠EBD=90.∴AC=BD.延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,∵BE∥AC,∴∠AFD=90,∴AC⊥BD; (3)如圖③,過(guò)點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E,∴∠BEO=∠ACO.又∵∠BOE=∠AOC,∴△BOE∽△AOC.∴=.又∵OB=kAO,由(2)的方法易得BE=BD,∴=k. 【方法指導(dǎo)】(1)在探索兩線段的數(shù)量關(guān)系時(shí)常以三角形全等或者相似為工具,由對(duì)應(yīng)角的關(guān)系得到兩線段相等或者對(duì)應(yīng)成比例.有時(shí)需先進(jìn)行等量代換,將兩線段放到相似三角形或全等三角形中,若出現(xiàn)直角三角形,則利用直角三角形的性質(zhì)求解. (2)兩線段的位置關(guān)系通常為平行或垂直.先觀察圖形,根據(jù)圖形先推測(cè)兩線段的位置關(guān)系是平行或垂直.若平行,則常通過(guò)以下方法進(jìn)行證解:①平行線的判定定理;②平行四邊形對(duì)邊平行;③三角形中位線性質(zhì)等.若垂直,則可考慮以下途徑:①證明兩線段所在直線夾角為90;②兩線段是矩形的鄰邊;③兩線段是菱形的對(duì)角線;④勾股定理的逆定理;⑤利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)等方式證明. 1.(2015重慶中考)在△ABC中,AB=AC,∠A=60,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),∠EDF=120,DE與線段AB相交于點(diǎn)E,DF與線段AC(或AC的延長(zhǎng)線)相交于點(diǎn)F. (1)如圖1,若DF⊥AC,垂足為點(diǎn)F,AB=4,求BE的長(zhǎng); (2)如圖2,將(1)中的∠EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F.求證:BE+CF=AB; (3)如圖3,將(2)中的∠EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度,使DF與線段AC的延長(zhǎng)線交與點(diǎn)F,作DN⊥AC于點(diǎn)N,若DN=FN,求證:BE+CF=(BE-CF). 解:(1)由四邊形AEDF的內(nèi)角和為360,可知DE⊥AB,故BE=1;(2)取AB的中點(diǎn)G,連接DG.易證:DG為△ABC的中位線,故DG=DC,∠BGD=∠C=60,又四邊形AEDF的對(duì)角互補(bǔ),故∠GED=∠DFC.∴△DEG≌△DFC,故EG=CF.∴BE+CF=BE+EG=BG=AB;(3)取AB的中點(diǎn)G,連接DG,同(2),易證△DEG≌△DFC,故EG=CF,故BE-CF=BE-EG=BG=AB.設(shè)CN=x,在Rt△DCN中,CD=2x,DN=x,在Rt△DFN中,NF=DN=x,故EG=CF=(-1)x.BE=BG+EG=DC+CF=2x+(-1)x=(+1)x.故BE+CF=(+1)x+(-1)x=2x.(BE-CF)=[(+1)x-(-1)x]=2x.故BE+CF=(BE-CF). 2.(2016河北中考)如圖,△OAB中,OA=OB=10,∠AOB=80,以點(diǎn)O為圓心,6為半徑的優(yōu)弧分別交 OA,OB于點(diǎn)M,N. (1)點(diǎn)P在右半弧上(∠BOP是銳角),將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80得OP′.求證:AP=BP′; (2)點(diǎn)T在左半弧上,若AT與弧相切,求點(diǎn)T到OA的距離; (3)設(shè)點(diǎn)Q在優(yōu)弧上,當(dāng)△AOQ的面積最大時(shí),直接寫出∠BOQ的度數(shù). 解:(1) ∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80+∠BOP,∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80+∠BOP,∴∠AOP=∠BOP′,又∵OA=OB,OP=OP′,在△AOP和△BOP′中,∴△AOP≌△BOP′(SAS), ∴AP=BP′; (2)如圖1,連接OT,過(guò)點(diǎn)T作TH⊥OA于點(diǎn)H, ∵AT與相切,∴∠ATO=90,∴AT===8,∵OATH=ATOT, 即10TH=86,即TH=,∴T=,即為所求的距離; (3)如圖2,當(dāng)OQ⊥OA時(shí),△AOQ的面積最大.理由:∵OQ⊥OA, ∴QO是△AOQ中最長(zhǎng)的高,則△AOQ的面積最大, ∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90+80=170, 當(dāng)Q點(diǎn)在優(yōu)弧 右側(cè)上,∵OQ⊥OA, ∴QO是△AOQ中最長(zhǎng)的高,則△AOQ的面積最大, ∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90-80=10, 綜上所述:當(dāng)∠BOQ的度數(shù)為10或170時(shí),△AOQ的面積最大. 3.(2016廊坊二模)如圖①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).作正方形DEFG,使點(diǎn)A,C分別在DG和DE上,連接AE,BG. (1)試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是________; (2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α(0<α≤360). ①判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)利用圖②證明你的結(jié)論; ②若BC=DE=4,當(dāng)AE取最大值時(shí),求AF的值. 解: 圖① (1)AE=BG;(2)①成立,BG=AE.如圖①,連接AD.∵在Rt△BAC中,AB=AC,D為斜邊BC的中點(diǎn),∴AD=BD,AD⊥BC,∴∠ADG+∠BDG=90.∵四邊形EFGD為正方形,∴DE=DG,且∠GDE=90,∴∠ADG+∠ADE=90,∴∠BDG=∠ADE.在△BDG和△ADE中,∴△BDG≌△ADE(SAS),∴GD=AE; 圖② ②∵BG=AE,∴當(dāng)BG取得最大值時(shí)AE取得最大值,如圖②,當(dāng)旋轉(zhuǎn)面為270時(shí),BG=AE.∵BC=DE=4,D為BC的中點(diǎn),四邊形DEFG為正方形,∴BD=CD=BC=2,EF=DG=DE=4,∴BG=BD+GD=2+4=6,∴AE=BG=6,∴AF==2. 4.(2016滄州八中模擬)如圖①,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90, ∠B=∠E=30. (1)操作發(fā)現(xiàn) 如圖②,固定△ABC,使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí),填空: ①線段DE與AC的位置關(guān)系是________; ②設(shè)△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是________. (2)猜想論證 當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③所示的位置時(shí),小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC 中BC,CE邊上的高,請(qǐng)你證明小明的猜想. (3)拓展探究 已知∠ABC=60,點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn),BD=CD=4,DE∥AB交BC于點(diǎn)E(如圖④).若在射線BA上存在點(diǎn)F,使S△DCF=S△BDE, 請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng). 解:(1)①DE∥AC;②S1=S2; (2)如圖:∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到,∴BC=CE,AC=CD.∵∠ACN+∠BCN=90,∠DCM+∠BCN=180-90=90,∴∠ACN=∠DCM,在△ACN和△DCM中,∴△ACN≌△DCM(AAS),∴AN=DM,又BC=CE,∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的兩個(gè)三角形面積相等),即S1=S2; (3)BF=或. 5.(2016岳陽(yáng)中考)已知直線m∥n,點(diǎn)C是直線m上一點(diǎn),點(diǎn)D是直線n上一點(diǎn),CD與直線m、n不垂直,點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn). (1)操作發(fā)現(xiàn):直線l⊥m,l⊥n,垂足分別為A,B,當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖①所示),連接PB,請(qǐng)直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系:________; (2)猜想證明:在圖①的情況下,把直線l向上平移到如圖②的位置,試問(wèn)(1)中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由. (3)延伸探究:在圖②的情況下,把直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使得∠APB=90(如圖③所示),若兩平行線m、n之間的距離為2k.求證:PAPB=kAB. 解:(1)PA=PB; (2)成立.證明略; (3)證明略. 與圖形的相似、位似有關(guān)的證明 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例2】(2014河北中考)如圖①,點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn),分別以B,C為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同側(cè). (1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______,AE和ED的位置關(guān)系為_(kāi)_______; (2)在圖①中,以點(diǎn)E為位似中心,作△EGF與△EAB位似,點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn),連接GH,HD,分別得到了圖②和圖③. ①在圖②中,點(diǎn)F在BE上,△EGF與△EAB的相似比是1∶2,H是EC的中點(diǎn).求證:GH=HD,GH⊥HD. ②在圖③中,點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線上,△EGF與△EAB的相似比是k∶1,若BC=2,請(qǐng)直接寫出CH的長(zhǎng)為多少時(shí),恰好使得GH=HD且GH⊥HD.(用含k的代數(shù)式表示). 【解析】(1)由△ABE≌△DCE可得,AE=DE.由AB=BE=EC=CD,可知∠AEB=∠DEC=45,所以∠AED=90,故AE⊥ED;(2)由△HGF≌△DHC可證GH=HD,GH⊥HD;由BC=2,可知BE=EC=1,又∵EF=k,∴當(dāng)CH=k時(shí)可得CH=FG=k,從而證明△HFG≌△DCH,得到GH=HD,GH⊥HD. 【學(xué)生解答】(1)AE=ED,AE⊥ED;(2)①由題意,∠B=∠C=90,AB=BE=EC=DC.∵△EGF與△EAB位似且相似比是1∶2,∴∠GFE=∠B=90,GF=AB,EF=EB.∴∠GFE=∠C.∵EH=HC=EC.∴GF=HC,F(xiàn)H=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD.∴△HGF≌△DHC.∴GH=HD,∠GHF=∠HDC.又∵∠HDC+∠DHC=90,∴∠GHF+∠DHC=90,∴∠GHD=90,∴GH⊥HD;②CH的長(zhǎng)為k.∵GH=HD,GH⊥HD,∴∠FHG+∠DHC=90,∵∠FHG+∠FGH=90,∴∠FGH=∠CHD,∴∴△GFH≌△HCD(AAS),∴CH=FG,∵EF=FG,∴EF=CH,∵△EGF與△EAB的相似比是k∶1,BC=2,∴BE=EC=1,∴EF=k,∴CH的長(zhǎng)為k. 6.(2016河北石家莊四十二中模擬)(1)如圖①,已知∠EAC=90,AE=AC,點(diǎn)A在直線BD上,過(guò)E作ED⊥AB于點(diǎn)D,過(guò)C作CB⊥BD于點(diǎn)B,證明:以點(diǎn)A為位似中心作△AMN與△ABC位似,△AMN與△ABC位似比為1∶2,則=________; (2)如圖②,△ABC中,AG⊥BC于點(diǎn)G,分別以AB,AC為一邊,向外作正方形ABME和正方形ACNF,分別過(guò)點(diǎn)E,F(xiàn)作射線GA的垂線,垂足分別為P,Q.以點(diǎn)A為位似中心,作△AQH與△APE位似,△AQH與△APE的位似比為1∶k,猜想CG與BG的數(shù)量關(guān)系并證明; (3)如圖③,△ABC中,AG⊥BC于點(diǎn)G,分別以AB,AC為一邊,向外作矩形ABME和矩形ACNF,分別過(guò)點(diǎn)E,F(xiàn)作射線GA的垂線,垂足分別為P,Q.若AB=mAE,AC=mAF,以點(diǎn)A為位似中心,作△AQH與△APE位似,△AQH與△APE的位似比為1∶k,則CG與BG的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?若成立.請(qǐng)證明;若不成立,說(shuō)明理由. 解:(1); (2)=.理由如下:∵四邊形ABME是正方形,∴AB=AE,∠BAE=90,∴∠BAG+∠EAP=90.∵AG⊥BG,∴∠BAG+∠ABG=90,∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG,∴∠AGB=∠EPA=90,∴△ABG≌△EAP,∴BG=AP.同理可得△ACG≌△FAQ,即CG=AQ.∵△AQH與△APE的位似比為1∶k,∴=,∴=; (3)=.理由如下:四邊形ABME是矩形,∴∠BAE=90,∴∠BAG+∠EAP=90.∵AG⊥BC,∴∠BAG+∠ABG=90,∴∠ABG=∠EPA.∵∠AGB=∠EPA=90,∴△ABG∽△EAP,∴=.∵AB=mAE,∴=,即BG=mAP,同理△ACG∽△FAQ,∴=.∵AC=mAF,∴=,即CG=mAQ,∴==.∵△AQH與△APE位似比為1∶k,∴=,∴=. 7.(2016保定十七中二模)如圖①,Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,∠ABC的平分線交直線AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD,交直線BD于點(diǎn)E.請(qǐng)?zhí)骄烤€段BD與CE的數(shù)量關(guān)系.(事實(shí)上,我們可以延長(zhǎng)CE與直線BA相交,通過(guò)三角形的全等等知識(shí)解決問(wèn)題.) (1)結(jié)論:線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是________;(請(qǐng)直接寫出結(jié)論) (2)類比探索 在(1)中,如果把BD改為∠ABC的外角∠ABF的平分線,其他條件均不變(如圖②),(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)寫出證明過(guò)程;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由; (3)拓展延伸 在(2)中,如果AB≠AC,且AB=nAC(0<n<1),其他條件均不變(如圖③),請(qǐng)你求出BD與CE的數(shù)量關(guān)系.(用含n的代數(shù)式表示) 圖① 解:(1)BD=2CE; (2)BD=2CE仍然成立.理由如下:如圖①延長(zhǎng)CE,AB交于點(diǎn)G.∵∠ABD=∠FBD,∠ABD=∠GBE,∠FBD=∠CBE,∴∠GBE=∠CBE.又∵BE=BE,∠GEB=∠CEB=90,∴△GBE≌△CBE(ASA),∴GE=CE,∴CG=2CE.∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90,∴∠D=∠G.又∵∠DAB=∠GAC=90,AB=AC,∴△DAB≌△GAC,∴BD=CG=2CE; 圖② (3)如圖②,延長(zhǎng)CE,AB交于點(diǎn)G.∵∠ABD=∠FBD,∠ABD=∠GBE,∠FBD=∠CBE,∴∠GBE=∠CBE.又∵BE=BE,∴∠GEB=∠CEB=90,∴△GBE≌△CBE(ASA),∴GE=CE,∴CG=2CE.∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90,∴∠D=∠G.又∵∠DAB=∠GAC=90,∴△DAB∽△GAC,∴=.∵AB=nAC,∴BD=nCG=2nCE. 與圖形折疊平移有關(guān)的證明 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例3】(2014河北中考)圖①和圖②中,優(yōu)弧所在⊙O的半徑為2,AB=2.點(diǎn)P為優(yōu)弧上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,B重合),將圖形沿BP折疊,得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′. (1)點(diǎn)O到弦AB的距離是________,當(dāng)BP經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí),∠ABA′=________; (2)當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí),如圖②,求折痕BP的長(zhǎng); (3)若線段BA′與優(yōu)弧只有一個(gè)公共點(diǎn)B,設(shè)∠ABP=α,確定α的取值范圍. 【解析】(1)作垂線OC,即為O到AB的距離.根據(jù)垂徑定理,構(gòu)造直角三角形,利用直角三角形邊角關(guān)系以及三角函數(shù)即可得解.(2)由(1)得OC長(zhǎng)度以及半徑OB長(zhǎng)度,即可求出∠OBC的正弦值,從而求得∠OBC.再利用∠ABP與∠OBC的關(guān)系求出∠OBP的角度,根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系計(jì)算即可.(3)如解圖③所示:在折疊過(guò)程中,BP的4個(gè)特殊位置,點(diǎn)A′落在以B為圓心、BA為半徑的虛線圓弧上,觀察圖形由線段BA′與圓心O的位置可確定α的范圍. 【學(xué)生解答】(1)1;60.如圖①,解法提示:過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB,垂足為點(diǎn)C,連接OA,則∠OCA=90,AC=AB=2=.∵OA=2,∴OC===1.當(dāng)BP經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí),在Rt△OCB中,sin∠OBC==,∴∠OBC=30,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,∠ABA′=2∠OBC=230=60;(2)如圖②,作OC⊥AB于點(diǎn)C,連接OB,∵BA′與⊙O相切,∴∠OBA′=90,在Rt△OBC中,OB=2,OC=1,∴sin∠OBC==,∴∠OBC=30,∴∠ABP=∠ABA′=(∠OBA′+∠OBC)=60,∴∠OBP=30.作OD⊥BP于點(diǎn)D,則BP=2BD.∴BD=OBcos30=,∴BP=2;(3)∵點(diǎn)P,A不重合,∴α>0.由(1)得,當(dāng)α增大到30時(shí),點(diǎn)A′在上,∴當(dāng)0<α<30時(shí),點(diǎn)A′在⊙O內(nèi),線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.由(2)知,α增大到60時(shí),BA′與⊙O相切,即線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.當(dāng)α繼續(xù)增大時(shí),點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)B,但點(diǎn)P,B不重合,∴∠OBP<90.∵α=∠OBA+∠OBP,∠OBA=30,∴α<120.∴當(dāng)60≤α<120時(shí),線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.綜上所述,α的取值范圍是0<α<30或60≤α<120. 【方法指導(dǎo)】解本題第(3)問(wèn)的關(guān)鍵在于折疊過(guò)程中對(duì)圖形變化具體情況的分析,也是對(duì)第(1)、(2)問(wèn)情況的綜合.在分類討論α的最大取值時(shí),很難想象出優(yōu)弧完全折疊過(guò)去時(shí)的情況,即P點(diǎn)即將與B點(diǎn)重合時(shí)α的數(shù)值,可以先在圖中畫(huà)出點(diǎn)P、B重合時(shí)的情況,重合時(shí)α為一個(gè)臨界點(diǎn),找到此臨界點(diǎn),再使α小于此臨界點(diǎn)即可解決. 8.(2016唐山九中二模)如圖,兩個(gè)全等的△ABC和△DEF重疊在一起,固定△ABC,將△DEF進(jìn)行如下變換: (1)如圖①,△DEF沿直線CB向右平移(即點(diǎn)F在線段CB上移動(dòng)),連接AF、AD、BD,請(qǐng)直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關(guān)系; (2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí),若四邊形AFBD為正方形,那么△ABC應(yīng)滿足什么條件?請(qǐng)給出證明; (3)在(2)的條件下,將△DEF沿DF折疊,點(diǎn)E落在FA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)G處,連接CG,請(qǐng)你在圖3的位置畫(huà)出圖形,并求出sin∠CGF的值. 解:(1)S△ABC=S四邊形AFBD; (2)△ABC為等腰直角三角形,即:AB=AC,∠BAC=90.證明:∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),∴CF=BF.∵CF= AD,∴AD= BF.又∵AD∥BF,∴四邊形AFBD為平行四邊形.∵AB=AC,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),∴AF⊥BC,∴平行四邊形AFBD為矩形.∵∠BAC=90,F(xiàn)為BC的中點(diǎn),∴AF=BC=BF,∴四邊形AFBD為正方形; (3)正確畫(huà)出圖形,如解圖.由(2)知,△ABC為等腰直角三角形, 則△DEF為等腰直角三角形,AF⊥BC∵FB=BC=EF=BE,∴AG=AF,設(shè)CF=k,則GF=EF=CB=2k,由勾股定理,得:CG=k,則sin∠CGF===. 9.(2016邯鄲二十五模擬)將一個(gè)直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(,0),點(diǎn)B(0,1),點(diǎn)O(0,0).過(guò)邊OA上的動(dòng)點(diǎn)M(點(diǎn)M不與點(diǎn)O,A重合)作MN⊥AB于點(diǎn)N,沿著MN折疊該紙片,得頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′.設(shè)OM=m,折疊后的△A′MN與四邊形OMNB重疊部分的面積為S. (1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)A′與頂點(diǎn)B重合時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo); (2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)A′落在第二象限時(shí),A′M與OB相交于點(diǎn)C,試用含m的式子表示S; (3)當(dāng)S=時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).(直接寫出結(jié)果即可) 解:(1)在Rt△ABO中,點(diǎn)A(,0),點(diǎn)B(0,1),點(diǎn)O(0,0),∴OA=,OB=1.由OM=m,得AM=OA-OM=-m.根據(jù)題意,由折疊可知△BMN≌△AMN,有BM=AM=-m.在Rt△MOB中,由勾股定理,BM2=OB2+OM2,得(-m)2=1+m2,解得m=.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0);(2)在Rt△ABO中,tan∠OAB===,∴∠OAB=30,由MN⊥AB,得∠MNA=90.∴在Rt△AMN中,得MN=AMsin∠OAB=(-m),AN=AMcos∠OAB=(-m).∴S△AMN=MNAN=(-m)2.由折疊可知△A′MN≌△AMN,有∠A′=∠OAB=30,∴∠A′MO=∠A′+∠OAB=60.∴在Rt△COM中,得CO=OMtan∠A′MO=m.∴S△COM=OMCO=m2,又S△ABO=OAOB=,于是,S=S△ABO-S△AMN-S△COM=-(-m)2-m2,即S=-m2+m+(0<m<);(3)(,0). 與尺規(guī)作圖有關(guān)的問(wèn)題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例4】(2014河北中考)如圖,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E,K分別在BC,AB上,點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上,且CE=BK=AG. (1)求證:①DE=DG;②DE⊥DG; (2)尺規(guī)作圖:以線段DE,DG為邊作出正方形DEFG;(要求:只保留作圖痕跡,不寫作法和證明) (3)連接(2)中的KF,猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想; (4)當(dāng)=時(shí),請(qǐng)直接寫出的值. 【解析】(1)由已知證明DE、DG所在的三角形全等,再通過(guò)等量代換證明DE⊥DG;(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)分別以點(diǎn)G、E為圓心,以DG為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)F,得到正方形DEFG;(3)由已知首先證四邊形CKGD是平行四邊形,然后證明四邊形CEFK為平行四邊形;(4)設(shè)CE=x,由已知=,表示出CB及CD,利用勾股定理求出DE2,進(jìn)而得到,即為所求. 【學(xué)生解答】解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,∴DC=DA,∠DCE=∠DAG=90.又∵CE=AG,∴△DCE≌△DAG,∴DE=DG,∠EDC=∠GDA.又∵∠ADE+∠EDC=90,∴∠ADE+∠GDA=90,∴DE⊥DG;(2)如解圖①; (3)四邊形CEFK為平行四邊形.證明:設(shè)CK,DE相交于M點(diǎn),如解圖②,∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形,∴AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥DG.∵BK=AG,∴KG=AB=CD,∴四邊形CKGD為平行四邊形,∴CK=DG=EF,CK∥DG.∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90.∴∠KME+∠DEF=180.∴CK∥EF.∴四邊形CEFK為平行四邊形;(注:由CK∥DG、EF∥DG得CK∥EF也可)(4)=.解法提示:∵=,∴設(shè)CE=x,CB=nx,∴CD=nx,∴DE2=CE2+CD2=x2+n2x2=(n2+1)x2,∵BC2=n2x2,∴==. 【方法指導(dǎo)】在判定四邊形為平行四邊形時(shí),(1)若已知一組對(duì)邊平行,可以考慮利用證明這組對(duì)邊相等,或證明另一組對(duì)邊平行;(2)若已知一組對(duì)邊相等,可以考慮證明這組對(duì)邊平行或另一組對(duì)邊相等;(3)若已知一組對(duì)角相等則需要證明另外一組對(duì)角也相等;(4)若已知一條對(duì)角線平分時(shí)則需證明另外一組對(duì)角線也平分.在證明邊相等時(shí),將這兩組對(duì)邊放在兩個(gè)三角形中,并證明這兩個(gè)三角形全等;在證明邊平行時(shí),需要用題目中的條件找到角之間的關(guān)系再利用平行線的判定證明. 10.(2016濟(jì)寧中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一個(gè)外角. 實(shí)踐與操作: 根據(jù)要求尺規(guī)作圖,并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母.(保留作圖痕跡,不寫作法) (1)作∠DAC的平分線AM; (2)作線段AC的垂直平分線,與AM交于點(diǎn)F,與BC邊交于點(diǎn)E; 猜想并證明: 判斷四邊形AECF的形狀并加以證明. 解:(1)(2)作圖略;猜想:四邊形AECF是菱形.證明:∵AB=AC,AM平分∠CAD.∴∠B=∠ACB,∠CAD=2∠CAM,∵∠CAD是△ABC的外角,∴∠CAD=∠B+∠ACB,∴∠CAD=2∠ACB,∴∠CAM=∠ACB.∴AF∥CE.∵EF垂直平分AC,∴OA=OC,∠AOF=∠COE=90,∴△AOF≌△COE,∴AF=CE,在四邊形AECF中,AF∥CE,AF=CE,∴四邊形AECF是平行四邊形,又∵EF⊥AC,∴四邊形AECF是菱形. 11.(2016張家口九中模擬)(1)如圖①,已知△ABC,以AB,AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,連接BE,CD,請(qǐng)你完成圖形,并證明:BE=CD;(尺規(guī)作圖,不寫做法,保留作圖痕跡) (2)如圖②,已知△ABC,以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE,連接BE,CD,BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系?簡(jiǎn)單說(shuō)明理由; (3)運(yùn)用(1)、(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題: 如圖③,要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B,E的距離,已經(jīng)測(cè)得∠ABC=45,∠CAE=90,AB=BC=100 m,AC=AE,求BE的長(zhǎng). 圖① 解:(1)完成圖形,如解圖①所示:證明:∵△ABD和△ACE都是等邊三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,在△CAD和△EAB中,∴△CAD≌△EAB(SAS),∴BE=CD; (2)BE=CD,證明:∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90.∴∠CAD=EAB,在△CAD和△EAB中,∴△CAD≌△EAB(SAS),∴BE=CD; 圖② (3)由(1),(2)的解題經(jīng)驗(yàn)可知,如解圖②,過(guò)點(diǎn)A作等腰直角三角形ABD,連接BD,∠BAD=90,則AD=AB=100 m,∠ABD=45,∴BD=100 m,連接CD,則由(2)可得BE=CD.∵∠ABC=45,∠DBC=90,在Rt△DBC中,BC=100 m,BD=100 m,根據(jù)勾股定理得:CD=1002+=100 m,則BE=CD=100 m. 12.(2016石家莊二十八模擬)探究并證明以下問(wèn)題: (1)如圖①,矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,且∠AOB=60,點(diǎn)P為線段BO上任意一點(diǎn),以AP為邊作等邊三角形APF,連接BF,求證:BF=OP; (2)如圖②,在正方形ABCD,點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn),以AP為邊作正方形APMN,F(xiàn)為正方形APMN的中心,連接BF,直接寫出BF與CP的數(shù)量關(guān)系__BF=CP__; (3)如圖③,在菱形ABCD中,AB∶AC=m∶n,點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn),以AP為對(duì)角線作菱形AEPM,滿足∠ABC=∠AFP,連接BF,猜想BF與CP的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 解:(1)∵四邊形ABCD為矩形,∴OA=OB,∵∠AOB=60,∴△AOB是等邊三角形,∴AB=AO,∠PAO=60-∠BAP,在△FAB和△PAO中,,∴△FAB≌△PAO(SAS),∴BF=OP;(3)BF=CP.理由:∵四邊形ABCD為菱形,∴BA=BC,∴∠BAC=(180-∠ABC),∵四邊形AFPM是菱形,∴PF=AF,∴∠FAP=(180-∠AFP),∵∠ABC=∠AFP,∴∠BAC=∠FAP,∴△FAP∽△BAC,∴=,即=,∵∠FAB=∠FAP-∠BAP,∠PAC=∠BAC-∠BAP,∴∠FAB=∠PAC,又∠ABC=∠AFP,∴△FAB∽△PAC,∴==,即BF=CP. 13.(2016滄州八中二模) (1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn) 如圖①,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,連接BE. 填空: ①∠AEB的度數(shù)為_(kāi)_60__; ②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_AD=BE__; (2)拓展探究 如圖②,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE.請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由; (3)解決問(wèn)題 如圖③,在正方形ABCD中,CD=.若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=90,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離. 解:(2)∠AEB=90;AE=BE+2CM.理由:∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE.∴△ACD≌△BCE.∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135-45=90.在等腰直角三角形DCE中,CM為斜邊DE上的高,∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.∴AE=DE+AD=2CM+BE;(3)或.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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