中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8講《分式方程及其應(yīng)用》試題

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2017年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8講《分式方程及其應(yīng)用》 【考點(diǎn)解析】 題型一 分式方程的解法 【例題】（2016?十堰）用換元法解方程﹣=3時(shí)，設(shè)=y，則原方程可化為（　?。? A．y=﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0 【分析】直接利用已知將原式用y替換得出答案． 【解答】解：∵設(shè)=y， ∴﹣=3，可轉(zhuǎn)化為：y﹣=3， 即y﹣﹣3=0． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了換元法解分式方程，正確得出y與x值間的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 【變式】 1．(2015湖北衡陽(yáng))方程的解為 ． 【答案】x=-1. 【解析】 此題考查解分式方程， 首先去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程：原方程兩邊同時(shí)乘以x(x-2)，得x-2=3x， 移項(xiàng)得，x－3x=2， 合并同類項(xiàng)得，﹣2x=2， 系數(shù)化為1，得x=﹣1， 檢驗(yàn)：當(dāng)x=﹣1時(shí)，x(x-2)≠0，所以x=﹣1是原方程的根. 注意解分式方程必須要檢驗(yàn)根的合理性. 【點(diǎn)評(píng)】解分式方程時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)去分母時(shí)，要將最簡(jiǎn)公分母乘以每一個(gè)式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程時(shí)必須檢驗(yàn)，檢驗(yàn)時(shí)只要代入最簡(jiǎn)公分母看其是否為0即可．若能使最簡(jiǎn)公分母為0，則該解是原方程的增根． 2.解方程：． 【答案】． 【解析】方程兩邊同乘以，得， 解得． 經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根． ∴原方程的解為． 題型二 分式方程的增根 【例題】1．（2016?涼山州）關(guān)于x的方程無(wú)解，則m的值為（　　） A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無(wú)解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【解答】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m， 由分式方程無(wú)解，得到x+1=0，即x=﹣1， 代入整式方程得：﹣5=﹣2+2+m， 解得：m=﹣5， 故選A 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，分式方程無(wú)解的條件是：去分母后所得整式方程無(wú)解，或解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【變式】 2.若方程有增根，則m的值為 ． 【答案】3 【解析】?jī)蛇呁藊-3，得 x=2(x-3)+m ∵原分式方程有曾根 ∴x-3=0 ∴x=3 ∴m=3 題型三 分式方程的應(yīng)用 【例題】1．（2016?深圳）施工隊(duì)要鋪設(shè)一段全長(zhǎng)2000米的管道，因在中考期間需停工兩天，實(shí)際每天施工需比原計(jì)劃多50米，才能按時(shí)完成任務(wù)，求原計(jì)劃每天施工多少米．設(shè)原計(jì)劃每天施工x米，則根據(jù)題意所列方程正確的是（　　） A．﹣=2 B．﹣=2 C．﹣=2 D．﹣=2 【分析】設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)x米，則實(shí)際施工時(shí)每天鋪設(shè)（x+50）米，根據(jù)：原計(jì)劃所用時(shí)間﹣實(shí)際所用時(shí)間=2，列出方程即可． 【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天施工x米，則實(shí)際每天施工（x+50）米， 根據(jù)題意，可列方程：﹣=2， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，列出方程． ２．（2016山東省菏澤市3分）列方程或方程組解應(yīng)用題： 為了響應(yīng)“十三五”規(guī)劃中提出的綠色環(huán)保的倡議，某校文印室提出了每個(gè)人都踐行“雙面打印，節(jié)約用紙”．已知打印一份資料，如果用A4厚型紙單面打印，總質(zhì)量為400克，將其全部改成雙面打印，用紙將減少一半；如果用A4薄型紙雙面打印，這份資料的總質(zhì)量為160克，已知每頁(yè)薄型紙比厚型紙輕0.8克，求A4薄型紙每頁(yè)的質(zhì)量．（墨的質(zhì)量忽略不計(jì)） 【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用． 【分析】設(shè)A4薄型紙每頁(yè)的質(zhì)量為x克，則A4厚型紙每頁(yè)的質(zhì)量為（x+0.8）克，然后根據(jù)“雙面打印，用紙將減少一半”列方程，然后解方程即可． 【解答】解：設(shè)A4薄型紙每頁(yè)的質(zhì)量為x克，則A4厚型紙每頁(yè)的質(zhì)量為（x+0.8）克， 根據(jù)題意，得： =2， 解得：x=3.2， 經(jīng)檢驗(yàn)：x=3.2是原分式方程的解，且符合題意， 答：A4薄型紙每頁(yè)的質(zhì)量為3.2克． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意準(zhǔn)確找到相等關(guān)系并據(jù)此列出方程是解題的關(guān)鍵． 【變式】 1．（2016?南充）某次列車平均提速20km/h，用相同的時(shí)間，列車提速前行駛400km，提速后比提速前多行駛100km，設(shè)提速前列車的平均速度為xkm/h，下列方程正確的是（　?。? A． =B． = C． =D． = 【分析】直接利用相同的時(shí)間，列車提速前行駛400km，提速后比提速前多行駛100km，進(jìn)而得出等式求出答案． 【解答】解：設(shè)提速前列車的平均速度為xkm/h，根據(jù)題意可得： =． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，根據(jù)題意得出正確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵． 2.（2015遼寧大連）甲乙兩人制作某種機(jī)械零件.已知甲每小時(shí)比乙多做3個(gè)，甲做96個(gè)所用時(shí)間與乙做84個(gè)所用時(shí)間相等，求甲乙兩人每小時(shí)各做多少個(gè)零件？ 【答案】24和21個(gè) 【解析】 試題分析：設(shè)乙每小時(shí)做x個(gè)零件，則甲每小時(shí)做（x+3)個(gè)零件，根據(jù)等量關(guān)系：甲做96個(gè)所用時(shí)間與乙做84個(gè)所用時(shí)間相等，列出方程即可得解； 試題解析：設(shè)乙每小時(shí)做x個(gè)零件，則甲每小時(shí)做（x+3)個(gè)零件，由題意得： 解得x=21，經(jīng)檢驗(yàn)x=21是方程的解，x+3=24. 答：甲乙兩人每小時(shí)各做24和21個(gè)零件. 【點(diǎn)評(píng)】列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵是找到“等量關(guān)系”，將實(shí)際問(wèn)題抽象為方程問(wèn)題．同時(shí)，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)是否合理． ３．張老師為獲得演講比賽的同學(xué)購(gòu)買獎(jiǎng)品，計(jì)劃用26元買軟面筆記本，用18元買圓珠筆。已知每本軟面筆記本比每支圓珠筆比貴1.2元，請(qǐng)你利用所學(xué)的方程知識(shí)幫張老師算一算能否買到數(shù)量相等的筆記本和圓珠筆。 【答案】不能買到數(shù)量相等的筆記本和圓珠筆， 【解析】首先設(shè)每支圓珠筆x元，則每本軟面筆記本（x+1.2）元，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：26元買軟面筆記本的數(shù)量=用18元買圓珠筆的數(shù)量，求出每支圓珠筆的價(jià)錢，再算出購(gòu)買的圓珠筆的數(shù)量即可判斷． 試題解析：設(shè)每支圓珠筆x元，則每本軟面筆記本（x+1.2）元，由題意得： ， 解得：x=2.7， 經(jīng)檢驗(yàn)：x=2.7是分式方程的解， ∵182.7=，不是整數(shù)， ∴不能買到數(shù)量相等的筆記本和圓珠筆， 答：不能買到數(shù)量相等的筆記本和圓珠筆． 【典例解析】 【例題1】．（2016?黑龍江）關(guān)于x的分式方程=3的解是正數(shù)，則字母m的取值范圍是（　?。? A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程解為正數(shù)確定出m的范圍即可． 【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m=3x+3， 解得：x=﹣m﹣3， 由分式方程的解為正數(shù)，得到﹣m﹣3＞0，且﹣m﹣3≠﹣1， 解得：m＜﹣3， 故選D 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，始終注意分式方程分母不為0這個(gè)條件?！纠}2】（2016?賀州）若關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（　?。? A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)≥1且a≠4 D．a(chǎn)＞1且a≠4 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)解為非負(fù)數(shù)及分式方程分母不為0求出a的范圍即可． 【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2， 解得：x=， 由題意得：≥0且≠2， 解得：a≥1且a≠4， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，需注意在任何時(shí)候都要考慮分母不為0． 【例題3】（2016?臨夏州）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)800臺(tái)所需時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所需時(shí)間相同．設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（　?。? A． =B． =C． =D． = 【分析】根據(jù)題意可知現(xiàn)在每天生產(chǎn)x+50臺(tái)機(jī)器，而現(xiàn)在生產(chǎn)800臺(tái)所需時(shí)間和原計(jì)劃生產(chǎn)600臺(tái)機(jī)器所用時(shí)間相等，從而列出方程即可． 【解答】解：設(shè)原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)x臺(tái)機(jī)器， 根據(jù)題意得： =， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了列分式方程應(yīng)用，利用本題中“現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)50臺(tái)機(jī)器”這一個(gè)隱含條件，進(jìn)而得出等式方程是解題關(guān)鍵． 　 【例題4】（2016山東省東營(yíng)市8分）東營(yíng)市某學(xué)校2015年在某商場(chǎng)購(gòu)買甲、乙兩種不同足球，購(gòu)買甲種足球共花費(fèi)2000元，購(gòu)買乙種足球共花費(fèi)1400元，購(gòu)買甲種足球數(shù)量是購(gòu)買乙種足球數(shù)量的2倍．且購(gòu)買一個(gè)乙種足球比購(gòu)買一個(gè)甲種足球多花20元． (1)求購(gòu)買一個(gè)甲種足球、一個(gè)乙種足球各需多少元； (2)2016年為響應(yīng)習(xí)總書(shū)記“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，這所學(xué)校決定再次購(gòu)買甲、乙兩種足球共50個(gè)．恰逢該商場(chǎng)對(duì)兩種足球的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，甲種足球售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高 了10%，乙種足球售價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)降低了10%．如果此次購(gòu)買甲、乙兩種足球的總 費(fèi)用不超過(guò)2900元，那么這所學(xué)校最多可購(gòu)買多少個(gè)乙種足球？ 【知識(shí)點(diǎn)】分式方程——分式方程的實(shí)際應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用 【思路分析】（1）設(shè)一個(gè)甲種足球需x元，則一個(gè)乙種足球需(x＋20)元，根據(jù)購(gòu)買甲種足球數(shù)量是購(gòu)買乙種品牌足球數(shù)量的2倍，列出分式方程解答即可； （2）設(shè)此次可購(gòu)買y個(gè)乙種足球，則購(gòu)進(jìn)甲種足球（50﹣y）個(gè)，根據(jù)購(gòu)買兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)2900元，列出不等式解決問(wèn)題． 【解答】(1)設(shè)購(gòu)買一個(gè)甲種足球需x元，則購(gòu)買一個(gè)乙種足球需(x＋20)元，由題意得： ＝2. 解得：x＝50. 經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解. x＋20＝70. 答：購(gòu)買一個(gè)甲種足球需50元,購(gòu)買一個(gè)乙種足球需70元． (2)設(shè)這所學(xué)校再次購(gòu)買y個(gè)乙種足球，則購(gòu)買(50－y)個(gè)甲種足球，由題意得： 50(1＋10% )(50－y)＋70(1－70% )y≤2900. 解得：y≤18.75. 由題意知，最多可購(gòu)買18個(gè)乙種足球. 笞：這所學(xué)校此次最多可購(gòu)買18個(gè)乙種足球． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意，找出題目蘊(yùn)含的等量關(guān)系與不等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 【中考熱點(diǎn)】 考點(diǎn)1．（2016?宜昌）分式方程=1的解為（　?。? A．x=﹣1 B．x=C．x=1 D．x=2 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2， 解得：x=﹣1， 經(jīng)檢驗(yàn)x=﹣1是分式方程的解， 則分式方程的解為x=﹣1． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想，還有注意不要忘了檢驗(yàn)． 考點(diǎn)2．（2016?重慶）從﹣3，﹣1，，1，3這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，記為a，若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組無(wú)解，且使關(guān)于x的分式方程﹣=﹣1有整數(shù)解，那么這5個(gè)數(shù)中所有滿足條件的a的值之和是（　?。? A．﹣3 B．﹣2 C．﹣D． 【分析】根據(jù)不等式組無(wú)解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到結(jié)論． 【解答】解：解得， ∵不等式組無(wú)解， ∴a≤1， 解方程﹣=﹣1得x=， ∵x=為整數(shù)，a≤1， ∴a=﹣3或1， ∴所有滿足條件的a的值之和是﹣2， 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的方法是解題的關(guān)鍵． 考點(diǎn)3．（2016?內(nèi)江）甲、乙兩人同時(shí)分別從A，B兩地沿同一條公路騎自行車到C地．已知A，C兩地間的距離為110千米，B，C兩地間的距離為100千米．甲騎自行車的平均速度比乙快2千米/時(shí)．結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)C地．求兩人的平均速度，為解決此問(wèn)題，設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時(shí)．由題意列出方程．其中正確的是（　?。? A． =B． =C． =D． = 【分析】設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時(shí)，則甲騎自行車的平均速度為（x+2）千米/時(shí)，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：甲騎110千米所用時(shí)間=乙騎100千米所用時(shí)間，根據(jù)等量關(guān)系可列出方程即可． 【解答】解：設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時(shí)，由題意得： =， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程． 考點(diǎn)4.（2016四川眉山）“世界那么大，我想去看看”一句話紅遍網(wǎng)絡(luò)，騎自行車旅行越來(lái)越受到人們的喜愛(ài)，各種品牌的山地自行車相繼投放市場(chǎng)．順風(fēng)車行經(jīng)營(yíng)的A型車2015年6月份銷售總額為3.2萬(wàn)元，今年經(jīng)過(guò)改造升級(jí)后A型車每輛銷售價(jià)比去年增加400元，若今年6月份與去年6月份賣出的A型車數(shù)量相同，則今年6月份A型車銷售總額將比去年6月份銷售總額增加25%． （1）求今年6月份A型車每輛銷售價(jià)多少元（用列方程的方法解答）； （2）該車行計(jì)劃7月份新進(jìn)一批A型車和B型車共50輛，且B型車的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A型車數(shù)量的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車獲利最多？ A、B兩種型號(hào)車的進(jìn)貨和銷售價(jià)格如表： A型車 B型車 進(jìn)貨價(jià)格（元/輛） 1100 1400 銷售價(jià)格（元/輛） 今年的銷售價(jià)格 2400 【分析】（1）設(shè)去年A型車每輛x元，那么今年每輛（x+400）元，列出方程即可解決問(wèn)題． （2）設(shè)今年7月份進(jìn)A型車m輛，則B型車（50﹣m）輛，獲得的總利潤(rùn)為y元，先求出m的范圍，構(gòu)建一次函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題． 【解答】解：（1）設(shè)去年A型車每輛x元，那么今年每輛（x+400）元， 根據(jù)題意得， 解之得x=1600， 經(jīng)檢驗(yàn)，x=1600是方程的解． 答：今年A型車每輛2000元． （2）設(shè)今年7月份進(jìn)A型車m輛，則B型車（50﹣m）輛，獲得的總利潤(rùn)為y元， 根據(jù)題意得50﹣m≤2m 解之得m≥， ∵y=（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）=﹣100m+50000， ∴y隨m 的增大而減小， ∴當(dāng)m=17時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)． 答：進(jìn)貨方案是A型車17輛，B型車33輛． 【點(diǎn)評(píng)】不同考查一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)列出方程解決問(wèn)題，注意分式方程必須檢驗(yàn)，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用一次函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題，屬于中考常考題型．