六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)講義-小升初培優(yōu)：第02講 三角形面積——等積變形（上）（解析版）全國(guó)通用

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1、 第02講 三角形面積——等積變形（上） 教學(xué)目標(biāo)： 1、讓學(xué)員理解并掌握等積變形的思想方法； 2、把等積變形的知識(shí)點(diǎn)與生活實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)； 3、讓學(xué)員在操作、觀察、填表、討論、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，體會(huì)等積變形、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展空間觀念，發(fā)展初步的推理能力。 教學(xué)重點(diǎn)： 掌握等積變形的思想方法。 教學(xué)難點(diǎn)： 等積變形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。 教學(xué)過(guò)程： 【環(huán)節(jié)一：預(yù)習(xí)討論，案例分析】 【知識(shí)回顧——溫故知新】（參考時(shí)間-2分鐘） 1. 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，可以用符號(hào)“□”表示。 從□

2、ABCD的一邊AD上一點(diǎn)向?qū)匓C畫(huà)垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做平行四邊形BC邊上的高，邊BC叫做平行四邊形的底； 2. 平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等；平行四邊形四條邊確定了，它的形狀、大小還不能完全確定； 3. 如果用字母S表示平行四邊形的面積，用a和h分別表示平行四邊形的底和高，那么平行四邊形的面積公式為：S=ah。（其中h是底a上的高）。 【知識(shí)回顧——上期鞏固】（參考時(shí)間-3分鐘） 如圖，在一個(gè)平行四邊形中，兩對(duì)平行于邊的直線將這個(gè)平行四邊分為9個(gè)小平行四邊形，如果原來(lái)這個(gè)平行四邊形的面積為99cm2，而中間那個(gè)小平行四邊形（陰影部分）的面積為19 cm2，求四

3、邊形ABCD的面積。 解析部分：把四邊形ABCD的面積分為陰影部分和周?chē)瞻椎?個(gè)三角形來(lái)看。仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)：周?chē)瞻椎?個(gè)三角形分別占所在平行四邊形（由2個(gè)小平行四邊形組成）的一半，則4個(gè)三角形的面積等于周?chē)?個(gè)小平行四邊形面積的一半。 給予新學(xué)員的建議：對(duì)于圖形進(jìn)行紙上的多多操作并有所思考，畫(huà)圖盡可能的精確。 哈佛案例教學(xué)法：鼓勵(lì)學(xué)員積極參與小組內(nèi)的討論，并積極發(fā)言進(jìn)行回答，帶動(dòng)起課堂氛圍。 參考答案： S=（99-19）÷2+19=59（cm2） 【預(yù)習(xí)題分析——本期預(yù)習(xí)】（參考時(shí)間-7分鐘） 如圖，在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，連結(jié)BE

4、、CE，那么與△ABE等積的三角形一共有哪幾個(gè)三角形？ 解析部分：求三角形的面積一般需要知道三角形的底和高，而本題這些條件都未知。但是由于E是AD中點(diǎn)，所以△ABE與△BED面積相等。又由于D是BC中點(diǎn)，所以△ABD與△ACD面積相等。 給予新學(xué)員的建議：注意此題中的中點(diǎn)的內(nèi)涵以及所帶來(lái)的圖形性質(zhì)的特征變化。 哈佛案例教學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)員多多在紙上進(jìn)行圖形的繪畫(huà)，鼓勵(lì)小組內(nèi)的討論和學(xué)習(xí)。 參考答案： S△ABE=S△BED= S△ACE= S△CDE 【環(huán)節(jié)二：知識(shí)拓展、能力提升】 【知識(shí)點(diǎn)分析——本期知識(shí)點(diǎn)】（參考時(shí)間-2分鐘） 等積變形一般指三角形的等積變形，就是使三

5、角形面積相等的變化，經(jīng)常用到的結(jié)論有： 1. 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等； 2. 兩個(gè)三角形的底在同一條直線上而且相等，底所對(duì)的角頂點(diǎn)是同一個(gè)，則面積相等； 3. 如果兩個(gè)三角形的底（高）相等，一個(gè)三角形的高（底）是另一個(gè)三角形的幾倍，則這個(gè)三角形面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍； 4. 幾個(gè)三角形的底相等，都在兩條平行線的同一直線上，且同樣長(zhǎng)度底邊所對(duì)的頂點(diǎn)在兩條平行線的另一條上，則這幾個(gè)三角形的面積相等。 【例題分析——講解室】（參考時(shí)間-10分鐘） 如圖，BD長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，B、C和D在同一條直線長(zhǎng)。 （1）求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍？

6、（2）求三角形ABC的面積是三角形ADC面積的多少倍？ ? △ABD與△ADC的底和高有什么關(guān)系？ ? △ABC與△ADC的底和高有什么關(guān)系？ 解析部分：BD的長(zhǎng)度是CD的3倍，而對(duì)于△ABD與△ADC高相等，所以△ABD的面積是△ADC的3倍。同理BC的長(zhǎng)度是CD的4倍，所以△ABC的面積是△ADC的4倍。 給予新學(xué)員的建議：可以通過(guò)把此題中的圖形特殊化一下進(jìn)行計(jì)算，然后找到問(wèn)題的規(guī)律。 哈佛案例教學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)員在課堂上積極主動(dòng)的把自己的想法表達(dá)出來(lái)，帶動(dòng)起課堂氛圍。 參考答案： BD是CD的3倍。所以S△ABD=3S△ADC BC是CD的4倍。所以S△ABC

7、=4S△ADC 【環(huán)節(jié)三：階段復(fù)習(xí)】 【游戲環(huán)節(jié)——游樂(lè)場(chǎng)】（參考時(shí)間-2分鐘） 游戲名稱(chēng)： 神算子 游戲規(guī)則： 請(qǐng)?jiān)谒膫€(gè)“6”之間添上數(shù)學(xué)符號(hào)（包含括號(hào)），使其結(jié)果分別等于1、2、3、4、5、6。 6 6 6 6 6 6＝1 6 6 6 6 6 6＝2 6 6 6 6 6 6＝3 6 6 6 6 6 6＝4 6 6 6 6 6 6＝5 6 6 6 6 6 6＝6 參考答案： 6÷6+6-6=1，6×6÷6÷6=1，66÷66=1； 6÷6+6÷6=2；(6

8、+6+6)÷6=3；6-(6+6)÷6=4； (6×6-6)÷6=5，66÷6-6=5；(6-6)×6+6=6。 【練習(xí)分析——練習(xí)場(chǎng)（一）】（參考時(shí)間-7分鐘） 將下圖的三角形分成：（1）2個(gè)面積相等的三角形；（2）3個(gè)面積相等的三角形：（3）4個(gè)面積相等的三角形。 ? 如果把高確定了，那么底邊要滿足什么條件？ ? 解決方法唯一嗎？ 解析部分：根據(jù)等積變形，三角形高確定的情況下，只需把底邊相應(yīng)變化符合題目要求即可。 給予新學(xué)員的建議：學(xué)員需要有在紙上進(jìn)行大量圖形繪畫(huà)的嘗試精神，逐漸列舉出所有情況。 哈佛案例教學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)員對(duì)于圖形進(jìn)行觀察，并對(duì)學(xué)員們進(jìn)行即時(shí)性的

9、提問(wèn)，鼓勵(lì)積極的課堂發(fā)言。 參考答案： （1）如下圖，D、E、F分別是對(duì)應(yīng)邊上的中點(diǎn)，這樣就將三角形分成了2個(gè)面積相等的三角形 （2）如下圖，D、E是BC的三等分點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)；答案不唯一 （3）如下圖，答案不唯一，以下僅供參考 【練習(xí)分析——練習(xí)場(chǎng)（二）】（參考時(shí)間-7分鐘） 在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，三角形EBF的面積是多少平方厘米？ ? E、F是AB、AC中點(diǎn)可以得出什么結(jié)論？ ? 如果把△BEF的面積看成一份，那么△ABC的面積應(yīng)該是幾份？ 解析部分：因?yàn)镋、

10、F是AB、AC的中點(diǎn)，把S△BEF看成一份，那么S△AEF同樣是一份，而S△BCF與S△ABF相等都是兩份。那么S△ABC是四份。 給予新學(xué)員的建議：需要明確三角形的“底”和“高”的定義，然后做出正確的處理。 哈佛案例教學(xué)法：鼓勵(lì)學(xué)員多多親自動(dòng)手進(jìn)行畫(huà)圖探索，提升對(duì)于圖形的畫(huà)圖能力和敏感度。 參考答案： S△ABC=ah÷2 =6×8÷2 =24（平方厘米） 24÷4=6（平方厘米） 【本節(jié)總結(jié)】 等積變形一般指三角形的等積變形，就是使三角形面積相等的變化，經(jīng)常用到的結(jié)論有： 1. 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等； 2. 兩個(gè)三角形的底在同一條直線上而且相等，底所對(duì)的角頂點(diǎn)是同一個(gè)，則面積相等； 3. 如果兩個(gè)三角形的底（高）相等，一個(gè)三角形的高（底）是另一個(gè)三角形的幾倍，則這個(gè)三角形面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍； 4. 幾個(gè)三角形的底相等，都在兩條平行線的同一直線上，且同樣長(zhǎng)度底邊所對(duì)的頂點(diǎn)在兩條平行線的另一條上，則這幾個(gè)三角形的面積相等。