高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題5 突破點14 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 理

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突破點14　圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) 提煉1 圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)． (2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)． (3)拋物線：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M(l為拋物線的準線). 提煉2 圓錐曲線的重要性質(zhì) (1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關系 ①在橢圓中：a2＝b2＋c2；離心率為e＝＝； ②在雙曲線中：c2＝a2＋b2；離心率為e＝＝. (2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標 ①雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝x；焦點坐標F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)； ②雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝x，焦點坐標F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)． (3)拋物線的焦點坐標與準線方程 ①拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點坐標為，準線方程為x＝?； ②拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點坐標為，準線方程為y＝?. 提煉3 弦長問題 (1)直線與圓錐曲線相交時的弦長 斜率為k的直線與圓錐曲線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)時，|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|＝. (2)拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論 設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①x1x2＝，y1y2＝－p2；②弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)；③＋＝；④以弦AB為直徑的圓與準線相切． 回訪1　圓錐曲線的定義與方程 1．(2016天津高考)已知雙曲線－＝1(b＞0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 D　由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝x，圓的方程為x2＋y2＝4，聯(lián)立 解得或 即第一象限的交點為. 由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，，故＝2b，得b2＝12. 故雙曲線的方程為－＝1.故選D.] 2．(2014全國卷Ⅱ)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，則|AB|＝(　　) A.　　 B．6 C．12　　 D．7 C　∵F為拋物線C：y2＝3x的焦點， ∴F， ∴AB的方程為y－0＝tan 30，即y＝x－. 聯(lián)立得x2－x＋＝0. ∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝. 由于|AB|＝xA＋xB＋p， ∴|AB|＝＋＝12.] 回訪2　圓錐曲線的重要性質(zhì) 3．(2016全國乙卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　) A. B． C. D. B　不妨設直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c,0)，則直線l的方程為＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知＝2b，解得＝，即e＝.故選B.] 4．(2016北京高考)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點．若正方形OABC的邊長為2，則a＝________. 2　不妨令B為雙曲線的右焦點，A在第一象限，則雙曲線如圖所示． ∵四邊形OABC為正方形，|OA|＝2， ∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝. ∵直線OA是漸近線，方程為y＝x， ∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b. 又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.] 回訪3　弦長問題 5．(2015全國卷Ⅰ)已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|＝(　　) A．3　　　 B．6 C．9　　　 D．12 B　拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，∴橢圓中c＝2， 又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12， 從而橢圓方程為＋＝1. ∵拋物線y2＝8x的準線為x＝－2， ∴xA＝xB＝－2， 將xA＝－2代入橢圓方程可得|yA|＝3， 由圖象可知|AB|＝2|yA|＝6.故選B.] 6．(2013全國卷Ⅰ)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4，則△POF的面積為(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 C　設P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋＝4，∴x0＝3， ∴y＝4x0＝43＝24，∴|y0|＝2. ∵F(，0)，∴S△POF＝|OF||y0|＝2＝2.] 熱點題型1　圓錐曲線的定義、標準方程 題型分析：圓錐曲線的定義、標準方程是高考常考內(nèi)容，主要以選擇、填空的形式考查，解題時分兩步走：第一步，依定義定“型”，第二步，待定系數(shù)法求“值”. 　(1)(2016全國乙卷)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3)　　　　　　 B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) (2)(2016通化一模)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|＝(　　) A.　　　 B．3 C.　　　 D．2 (1)A　(2)B　(1)若雙曲線的焦點在x軸上，則 又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴ ∴－13m2且n<－m2，此時n不存在．故選A. (2)如圖所示，因為＝4，所以＝，過點Q作QM⊥l垂足為M，則MQ∥x軸， 所以＝＝，所以|MQ|＝3，由拋物線定義知|QF|＝|QM|＝3.] 求解圓錐曲線標準方程的方法是“先定型，后計算” 1．定型，就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點位置，從而設出標準方程． 2．計算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當焦點位置無法確定時，拋物線常設為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，橢圓常設mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，雙曲線常設為mx2－ny2＝1(mn＞0)． 變式訓練1]　(1)(2016鄭州二模)經(jīng)過點(2,1)，且漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切的雙曲線的標準方程為(　　) 【導學號：85952050】 A.－＝1 B．－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 (2)(2016合肥二模)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點M到焦點F的距離等于2p，則直線MF的斜率為(　　) A． B．1 C． D． (1)A　(2)A　(1)設雙曲線的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由題意知＝1，解得k＝，則雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線方程為－＝1， 則有解得故選A. (2)設M(x0，y0)，由題意x0＋＝2p， 則x0＝，從而y＝3p2，則M或M，又F，則kMF＝.] 熱點題型2　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 題型分析：圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點和熱點，其中求圓錐曲線的離心率是最熱門的考點之一，建立關于a，c的方程或不等式是求解的關鍵. 　(1)(2016全國丙卷)已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為(　　) A.　　　 B. C.　　　 D. (2)(2016西安三模)已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作圓x2＋y2＝a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B，C，且|BC|＝|CF2|，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝3x B．y＝2x C．y＝(＋1)x D．y＝(－1)x (1)A　(2)C　(1)如圖所示，由題意得 A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(－c,0)． 由PF⊥x軸得P. 設E(0，m)， 又PF∥OE，得＝， 則|MF|＝.① 又由OE∥MF，得＝， 則|MF|＝.② 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，所以e＝＝. 故選A. (2)由題意作出示意圖， 易得直線BC的斜率為， cos∠CF1F2＝，又由雙曲線的定義及|BC|＝|CF2|可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a， |BF2|－|BF1|＝2a?|BF2|＝4a， 故cos∠CF1F2＝＝?b2－2ab－2a2＝0?2－2－2＝0?＝1＋，故雙曲線的漸近線方程為y＝(＋1)x.] 1．求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求的值． 2．雙曲線的漸近線的求法及用法 (1)求法：把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零，分解因式可得． (2)用法：①可得或的值． ②利用漸近線方程設所求雙曲線的方程． 變式訓練2]　(1)(2016全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A.　　　 B. C.　　　 D．2 (2)(名師押題)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與橢圓交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為(　　) 【導學號：85952051】 A. B．2－ C.－2 D.－ (1)A　(2)D　(1)法一：如圖，因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝＝. 法二：如圖，因為MF1⊥x軸，所以|MF1|＝. 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 tan∠MF2F1＝. 所以＝，即＝，即＝， 整理得c2－ac－a2＝0， 兩邊同除以a2得e2－e－1＝0. 解得e＝(負值舍去)． (2)設|F1F2|＝2c，|AF1|＝m， 若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形， ∴|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m. 由橢圓的定義可知△F1AB的周長為4a， ∴4a＝2m＋m，m＝2(2－)a. ∴|AF2|＝2a－m＝(2－2)a. ∵|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2， ∴4(2－)2a2＋4(－1)2a2＝4c2， ∴e2＝9－6，e＝－.]