高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題6 立體幾何 第25練 空間幾何體的三視圖及表面積與體積 文
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第25練 空間幾何體的三視圖及表面積與體積 [題型分析高考展望] 三視圖是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn).其考查形式多種多樣,選擇題、填空題和綜合解答題都有出現(xiàn),而這些題目以選擇題居多;立體幾何中的計(jì)算問題考查的知識(shí),涉及到三視圖、空間幾何體的表面積和體積以及綜合解答和證明. 體驗(yàn)高考 1.(2015陜西)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( ) A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4 答案 D 解析 由三視圖可知原幾何體為半圓柱,底面半徑為1,高為2,則表面積為 S=2π12+2π12+22 =π+2π+4=3π+4. 2.(2016課標(biāo)全國(guó)乙)如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是( ) A.17π B.18π C.20π D.28π 答案 A 解析 由題意知,該幾何體的直觀圖如圖所示,它是一個(gè)球(被過球心O且互相垂直的三個(gè)平面)切掉左上角的后得到的組合體,其表面積是球面面積的和三個(gè)圓面積之和,由幾何體的體積易得球的半徑為2,則得S=4π22+3π22=17π,故選A. 3.(2016北京)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為( ) A. B. C. D.1 答案 A 解析 由三視圖知,三棱錐如圖所示.由側(cè)(左)視圖得高h(yuǎn)=1, 又底面積S=11=, 所以體積V=Sh=. 4.(2016四川)已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形,該三棱錐的正(主)視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是________. 答案 解析 由題意可知,因?yàn)槿忮F每個(gè)面都是腰為2的等腰三角形,由正(主)視圖可得俯視圖(如圖), 且三棱錐高為h=1, 則面積V=Sh=1=. 5.(2016浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是________cm2,體積是________cm3. 答案 80 40 解析 由三視圖可知該幾何體由一個(gè)正方體和一個(gè)長(zhǎng)方體組合而成,上面正方體的邊長(zhǎng)為2 cm,下面長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4 cm,高為2 cm,其直觀圖如圖:其表面積S=622+242+424-222=80(cm2).體積V=222+442=40(cm3). 高考必會(huì)題型 題型一 三視圖識(shí)圖 例1 (1)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),給出編號(hào)為①、②、③、④的四個(gè)圖,則該四面體的正(主)視圖和俯視圖分別為( ) A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② (2)沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖所示,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為( ) 答案 (1)D (2)B 解析 (1)由三視圖可知,該幾何體的正(主)視圖是一個(gè)直角三角形(三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2))且內(nèi)有一虛線(一頂點(diǎn)與另一直角邊中點(diǎn)的連線),故正(主)視圖是④;俯視圖即在底面的射影是一個(gè)斜三角形,三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯視圖是②. (2)由已知中幾何體的直觀圖,我們可得側(cè)(左)視圖首先應(yīng)該是一個(gè)正方形,故D不正確;中間的棱在側(cè)(左)視圖中表現(xiàn)為一條對(duì)角線,故C不正確;而對(duì)角線的方向應(yīng)該從左上到右下,故A不正確. 點(diǎn)評(píng) 畫法規(guī)則:(1)由幾何體的輪廓線定形狀,看到的畫成實(shí)線,看不到的畫成虛線. (2)正(主)俯一樣長(zhǎng),俯側(cè)(左)一樣寬,正(主)側(cè)(左)一樣高. 變式訓(xùn)練1 一幾何體的直觀圖如圖,下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是( ) 答案 B 解析 該幾何體是組合體,上面的幾何體是一個(gè)五面體,下面是一個(gè)長(zhǎng)方體,且五面體的一個(gè)面即為長(zhǎng)方體的一個(gè)面,五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影距左右兩邊距離相等,因此選B. 題型二 空間幾何體的表面積和體積 例2 (1)(2015安徽)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的表面積是( ) A.1+ B.2+ C.1+2 D.2 (2)(2015天津)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為________m3. 答案 (1)B (2)π 解析 (1)由空間幾何體的三視圖可得該空間幾何體的直觀圖,如圖, ∴該四面體的表面積為 S表=221+2()2=2+,故選B. (2)由三視圖可知,該幾何體由相同底面的兩圓錐和圓柱組成,底面半徑為1 m,圓錐的高為1 m,圓柱的高為2 m,所以該幾何體的體積V=2π121+π122=π(m3). 點(diǎn)評(píng) 利用三視圖求幾何體的表面積、體積,需先由三視圖還原幾何體,三個(gè)圖形結(jié)合得出幾何體的大致形狀,由實(shí)、虛線得出局部位置的形狀,再由幾何體的面積體積公式求解. 變式訓(xùn)練2 (1)(2016課標(biāo)全國(guó)甲)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( ) A.20π B.24π C.28π D.32π (2)(2015重慶)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A.+π B.+π C.+2π D.+2π 答案 (1)C (2)A 解析 (1)由三視圖可知,組合體的底面圓的面積和周長(zhǎng)均為4π,圓錐的母線長(zhǎng)l==4,所以圓錐的側(cè)面積為S錐側(cè)=4π4=8π,圓柱的側(cè)面積S柱側(cè)=4π4=16π,所以組合體的表面積S=8π+16π+4π=28π,故選C. (2)這是一個(gè)三棱錐與半個(gè)圓柱的組合體,V=π122+1=π+,選A. 高考題型精練 1.如圖所示的幾何體是棱柱的有( ) A.②③⑤ B.③④⑤ C.③⑤ D.①③ 答案 C 解析 由棱柱的定義知③⑤兩個(gè)幾何體是棱柱,故選C. 2.(2015北京)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為( ) A.1 B. C. D.2 答案 C 解析 四棱錐的直觀圖如圖所示,PC⊥平面ABCD,PC=1,底面四邊形ABCD為正方形且邊長(zhǎng)為1,最長(zhǎng)棱長(zhǎng)PA==. 3.(2016課標(biāo)全國(guó)丙)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為( ) A.18+36 B.54+18 C.90 D.81 答案 B 解析 由題意知,該幾何體為底面為正方形的斜平行六面體,邊長(zhǎng)分別為3,3,,幾何體的表面積S=362+332+32=54+18. 4.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的外接球的表面積等于( ) A.π B.16π C.8π D.π 答案 D 解析 由三視圖知,幾何體是一個(gè)正三棱柱,外接球的球心就是兩底面三角形中心連線的中點(diǎn),外接球的半徑等于球心到正三棱柱的任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離,可求得其半徑為=,那么外接球的表面積為4π()2=π,故選D. 5.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖是邊長(zhǎng)為1的正方形,俯視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,則該幾何體的體積是( ) A.2 B.1 C. D. 答案 C 解析 根據(jù)幾何體的三視圖,得該幾何體是如圖所示的直三棱柱, 且該三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,高為1,所以該三棱柱的體積為V=Sh=111=,故選C. 6.(2016山東)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A.+π B.+π C.+π D.1+π 答案 C 解析 由三視圖知,半球的半徑R=,四棱錐為底面邊長(zhǎng)為1,高為1的正四棱錐,∴V=111+π3=+π,故選C. 7.某幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖均為如圖1所示的圖形,則在圖2的四個(gè)圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是( ) A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④ 答案 A 解析 由正(主)視圖和側(cè)(左)視圖知,該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體,故①③正確. 8.(2015山東)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( ) A. B. C.2π D.4π 答案 B 解析 如圖,設(shè)等腰直角三角形為△ABC,∠C=90,AC=CB=2,則AB=2. 設(shè)D為AB中點(diǎn),則BD=AD=CD=. ∴所圍成的幾何體為兩個(gè)圓錐的組合體,其體積V=2π()2=. 9.(2015江蘇)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為________. 答案 解析 設(shè)新的底面半徑為r,由題意得πr24+πr28=π524+π228,解得r=. 10.一個(gè)幾何體的側(cè)(左)視圖和俯視圖如圖所示,則其正(主)視圖的面積為________. 答案 4 解析 由題意知其正(主)視圖如圖所示, 則其面積為(1+3)2=4. 11.已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所示(單位:m),則該四棱錐的體積為________m3. 答案 2 解析 由三視圖知,四棱錐的高為3,底面平行四邊形的一邊長(zhǎng)為2,對(duì)應(yīng)高為1,所以其體積V=Sh=213=2. 12.一個(gè)圓錐過軸的截面為等邊三角形,它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上,則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________. 答案 解析 設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a,球O的半徑為R, 則V圓錐=πa2a=πa3. 又R2=a2+(a-R)2,所以R=a, 故V球=(a)3=a3, 則其體積比值為. 13.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90,其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,俯視圖是直角邊的長(zhǎng)為1的等腰直角三角形.設(shè)點(diǎn)M,N,P分別是棱AB,BC,B1C1的中點(diǎn),則三棱錐P-A1MN的體積是________. 答案 解析 由三視圖易知幾何體ABC-A1B1C1是上、下底面為等腰直角三角形的直三棱柱, 則 又S△PMN=MNNP=1=, A到平面PMN的距離h=, ∴VA-PMN=S△PMNh==.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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