（京津魯瓊專用）2020版高考數學二輪復習 第三部分 教材知識 重點再現 回顧3 三角函數與平面向量練習（含解析）

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1、回顧3　三角函數與平面向量 [必記知識] 1．誘導公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口訣 函數名不變，符號看象限 函數名改變，符號看象限 [提醒]　奇變偶不變，符號看象限,“奇、偶”指的是的倍數是奇數，還是偶數，“變與不變”

2、指的是三角函數名稱的變化，“變”是指正弦變余弦（或余弦變正弦）.“符號看象限”的含義是：把角α看作銳角，看n·±α（n∈Z）是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號. 2．三種三角函數的性質 函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 單調性 在(k∈Z)上單調遞增； 在(k∈Z)上單調遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調遞減 在(k∈Z)上單調遞增 對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對稱中心：(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z)

3、對稱中心：(k∈Z) [提醒]　求函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，要注意A與ω的符號，當ω＜0時，需把ω的符號化為正值后求解. 3．三角函數圖象的變換 由函數y＝sin x的圖象變換得到y＝sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的兩種方法 [提醒]　圖象變換的實質是點的坐標的變換，所以三角函數圖象的伸縮、平移變換可以利用兩個函數圖象上的特征點之間的對應確定變換的方式，一般選取離y軸最近的最高點或最低點，當然也可以選取在原點左側或右側的第一個對稱中心點，根據這些點的坐標即可確定變換的方式、平移的單位與方向等.) 4．兩角和與差的正弦、余弦、正切公

4、式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. tan(α±β)＝. sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)． cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β. 5．二倍角、輔助角及半角公式 (1)二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. ①1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2. ②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.

5、 (2)輔助角公式 y＝asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝sin(x＋φ)，其中角φ的終邊所在象限由a，b的符號確定，角φ的值由tan φ＝(a≠0)確定． 6．正、余弦定理及其變形 定理 正弦定理 余弦定理 內容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)a

6、sin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A； (5)＝＝2R cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ [提醒]　在已知兩邊和其中一邊的對角時，要注意檢驗解是否滿足“大邊對大角”，避免增解. 7．平面向量數量積的坐標表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角． 結論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 數量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1

7、y2＝0 |a·b|與|a||b|的關系 |a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤· [提醒]　(1)要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向任意，并不是沒有方向；0與任意非零向量平行. (2)a·b＞0是〈a，b〉為銳角的必要不充分條件；,a·b＜0是〈a，b〉為鈍角的必要不充分條件. [必會結論] 1．降冪、升冪公式 (1)降冪公式 ①sin2α＝；②cos2α＝；③sin αcos α＝sin 2α. (2)升冪公式 ①1＋cos α＝2cos2；②1－cos α＝2sin2；③1＋sin α＝；④1－sin α＝. 2．

8、常見的輔助角結論 (1)sin x±cos x＝sin. (2)cos x±sin x＝cos. (3)sin x±cos x＝2sin. (4)cos x±sin x＝2cos. (5)sin x±cos x＝2sin. (6)cos x±sin x＝2cos. [必練習題] 1．已知tan α＝3，則的值為(　　) A．－　　　　　　 B．－3 C． D．3 解析：選A.＝＝－＝－. 2．已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，則tan等于(　　) A． B．－ C．3 D．－3 解析：選A.由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，因為x∈(0，π)

9、，所以tan x＝2，所以tan＝＝. 3．函數y＝cos 2x＋2sin x的最大值為(　　) A． B．1 C． D．2 解析：選C.y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1. 設t＝sin x(－1≤t≤1)，則原函數可以化為y＝－2t2＋2t＋1＝－2＋，所以當t＝時，函數取得最大值. 4．已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其導函數f′(x)的圖象如圖所示，則f的值為(　　) A．2 B． C．－ D．－ 解析：選D.依題意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，結合函數y＝f′(x)的圖象可知，T＝＝4＝

10、π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝.因為0＜φ＜π，＜＋φ＜，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，所以φ＝，f(x)＝sin，f＝sin＝－×＝－，故選D. 5．已知x＝是函數f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0＜φ＜x)圖象的一條對稱軸，將函數f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數g(x)的圖象，則函數g(x)在上的最小值為(　　) A．－2 B．－1 C．－ D．－ 解析：選B.因為x＝是f(x)＝2sin圖象的一條對稱軸，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因為0＜φ＜π，所以φ＝，則f(x)＝2sin，所以g(x)＝－2sin在上的最小值為g＝－1. 6．已知△AB

11、C的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，則△ABC的外接圓面積為(　　) A．4π B．8π C．9π D．36π 解析：選C.由題意知c＝bcos A＋acos B＝2，由cos C＝得sin C＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，所以△ABC的外接圓面積為πR2＝9π，故選C. 7．已知非零單位向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a與b－a的夾角可能是(　　) A． B． C． D． 解析：選D.由|a＋b|＝|a－b|可得(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，而a·(b－a)＝a·b－a2＝－|a|2＜0，即a與b－a的

12、夾角為鈍角，故選D. 8．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，則實數k＝________． 解析：a＋2b＝(－3，3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)，由題意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6. 答案：－6 9．已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a與b的夾角為45°，若c＝a＋b，d＝a－b，則c在d方向上的投影為________． 解析：依題意得|a|＝1，a·b＝1××cos 45°＝1，|d|＝＝＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1. 答案：－1 10．已知函數f(x)＝sin(ω＞0)，A，B是函數y＝f(x)圖象上相鄰的最高點和最低點，若|AB|＝2，則f(1)＝________． 解析：設f(x)的最小正周期為T，則由題意，得＝2，解得T＝4，所以ω＝＝＝，所以f(x)＝sin，所以f(1)＝sin＝sin ＝. 答案： 11．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則＝______． 解析：依題意得，bcsin A＝c＝，則c＝4.由余弦定理得a＝＝，因此＝＝.由正弦定理得＝. 答案： - 7 -