《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 考點(diǎn)規(guī)范練35 數(shù)學(xué)歸納法》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 考點(diǎn)規(guī)范練35 數(shù)學(xué)歸納法（7頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點(diǎn)規(guī)范練35 數(shù)學(xué)歸納法
基礎(chǔ)鞏固組
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n+1,n的第一個(gè)取值應(yīng)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案C
解析當(dāng)n=1時(shí),21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;
當(dāng)n=2時(shí),22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;
當(dāng)n=3時(shí),23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.
故n的第一個(gè)取值應(yīng)是3.
2.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+…+1n2,則( )
A.f(n)中共有n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=12+13
B.f(n)中共有n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=1
2、2+13
C.f(n)中共有n2-n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=12+13
D.f(n)中共有n2-n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=12+13+14
答案D
解析總項(xiàng)數(shù)為n2-(n-1),f(2)=12+13+14.故選D.
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*)”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左端計(jì)算所得的結(jié)果是( )
A.1 B.1+a
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
答案C
解析當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+a+a2.故選C.
4.某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān),若n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,則可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立.現(xiàn)已知
3、當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立,則可推得( )
A.當(dāng)n=6時(shí),該命題不成立
B.當(dāng)n=6時(shí),該命題成立
C.當(dāng)n=4時(shí),該命題不成立
D.當(dāng)n=4時(shí),該命題成立
答案C
解析因?yàn)楫?dāng)n=k時(shí)命題成立可推出當(dāng)n=k+1時(shí)成立,所以當(dāng)n=5時(shí)命題不成立,則當(dāng)n=4時(shí)命題也一定不成立.
5.對(duì)于不等式n2+n
4、k+1)+1.所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立,則上述證法( )
A.過程全部正確
B.n=1驗(yàn)得不正確
C.歸納假設(shè)不正確
D.從n=k到n=k+1的推理不正確
答案D
解析在n=k+1時(shí),沒有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法.
6.在數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=an3an+1(n∈N*),依次計(jì)算出a2,a3,a4的值分別為 ;歸納可知an= .?
答案27,213,219 26n-5
解析a1=2,a2=23×2+1=27,a3=273×27+1=213,a4=2133×213+1=219.由此,猜想an的分子為2,分母是以1為首項(xiàng),6為公
5、差的等差數(shù)列.故an=26n-5.用數(shù)學(xué)歸納法可證明.
7.用數(shù)學(xué)歸納法證明:12+22+…+n2+…+22+12=n(2n2+1)3,第二步證明由“k到k+1”時(shí),左邊應(yīng)加 .?
答案(k+1)2+k2
解析當(dāng)n=k時(shí),左邊=12+22+…+k2+…+22+12,當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12.
8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),xn-yn能被x+y整除”第一步應(yīng)驗(yàn)證n= 時(shí),命題成立;第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫成 .?
答案2 x2k-y2k能被x+y整除
解析因?yàn)閚為正偶數(shù),故第一個(gè)值n=2,第二步假設(shè)n
6、取第k個(gè)正偶數(shù)成立,即n=2k,故應(yīng)假設(shè)成x2k-y2k能被x+y整除.
能力提升組
9.用數(shù)學(xué)歸納法證明11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=nn+1(n∈N*)時(shí),從“n=k”到“n=k+1”,等式左邊需增添的項(xiàng)是( )
A.1k(k+1) B.1k(k+1)+1(k+1)(k+2)
C.1(k+1)(k+2) D.1k(k+2)
答案C
解析假設(shè)n=k時(shí),11×2+12×3+…+1k(k+1)=kk+1成立,
那么n=k+1時(shí),11×2+12×3+…+1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=kk+1+1(k+1)(k+2),
所以從“k→k+1”需增添的項(xiàng)是
7、1(k+1)(k+2).故選C.
10.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“12n+1+12n+2+…+13n>13(n≥2,且n∈N*)”的過程中,由假設(shè)“n=k時(shí)”成立,推導(dǎo)“n=k+1時(shí)”也成立時(shí),該不等式左邊的變化是( )
A.增加13k+3
B.增加13k+1+13k+2+13k+3
C.增加13k+3并減少12k+1+12k+2
D.增加13k+1+13k+2+13k+3并減少12k+1+12k+2
答案D
解析n=k+1時(shí),不等式為12k+3+12k+4+…+13k+3>13,增加13k+1+13k+2+13k+3并減少12k+1+12k+2.故選D.
11.已知f(x)是定義
8、域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù),對(duì)于定義域內(nèi)任意的k,若f(k)≥k2成立,則f(k+1)≥(k+1)2成立,下列命題成立的是( )
A.若f(3)≥9成立,且對(duì)于任意的k≥1,均有f(k)≥k2成立
B.若f(4)≥16成立,則對(duì)于任意的k≥4,均有f(k)42,所以對(duì)于k≥4,均有f(k)≥k2.僅有D選項(xiàng)符合題意.
12.用數(shù)學(xué)歸納法證明3(2+7k)能被9整除,證明n=k+1時(shí),應(yīng)將3(2+7k+1)
9、配湊成( )
A.6+21·7k B.3(2+7k)+21
C.3(2+7k) D.21(2+7k)-36
答案D
解析要配湊出歸納假設(shè),即3(2+7k+1)=3(2+7·7k)=6+21·7k=21(2+7k)-36.故選D.
13.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(n)=( )(n≥3).
A.(n+1)(n-2) B.12(n+1)(n-2)
C.n(n-1) D.12n(n-1)
答案B
解析f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,
f(n)=f(3)+3+4
10、+…+(n-1)
=2+3+4+…+(n-1)
=12(n+1)(n-2)(n≥3).
14.若不等式1n+1+1n+2+…+13n+1>a24對(duì)一切正整數(shù)n都成立,正整數(shù)a的最大值為 .?
答案25
解析當(dāng)n=1時(shí),11+1+11+2+13+1>a24,
即2624>a24,所以a<26.
而a是正整數(shù),所以取a=25,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1n+2+…+13n+1>2524.
(1)當(dāng)n=1時(shí),已證得不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立,
即1k+1+1k+2+…+13k+1>2524.
則當(dāng)n=k+1時(shí),
有1(k+1)+
11、1+1(k+1)+2+…+13(k+1)+1
=1k+1+1k+2+…+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+1>2524+13k+2+13k+4-23(k+1).
因?yàn)?3k+2+13k+4-23(k+1)=6(k+1)(3k+2)(3k+4)-23(k+1)
=18(k+1)2-2(9k2+18k+8)(3k+2)(3k+4)(3k+3)=2(3k+2)(3k+4)(3k+3)>0,
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.
由(1)(2)知,對(duì)一切正整數(shù)n,都有1n+1+1n+2+…+13n+1>2524,
所以a的最大值等于25.
15.(2018浙江衢州模擬)在
12、數(shù)列{an}中,已知a1=a(a>2),且an+1=an22(an-1)(n∈N*).
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明an>2(n∈N*);
(2)求證:an+12,命題成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),命題成立,即ak>2.
則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1-2=ak22(ak-1)-2=(ak-2)22(ak-1)>0,
所以當(dāng)n=k+1時(shí)ak+1>2也成立,
由①②知對(duì)任意正整數(shù)n,都有an>2.
(2)an+1-an=an22(an-1)-an=an(2-an)2(an-1),
由(1)可知an>2>0,所以an+
13、1
14、k-1=3×2k+1k-42k+1k-1=2k+3k+1=2(k+1)+1k+1,
這就表明當(dāng)n=k+1時(shí),猜想成立,根據(jù)①②可以斷定,對(duì)所有的正整數(shù)該猜想成立,即an=2n+1n.
17.設(shè)a1=1,an+1=an2-2an+2+b(n∈N*).
(1)若b=1,求a2,a3及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)若b=-1,問:是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n
15、n=n-1+1(n∈N*).
解法二a2=2,a3=2+1.可寫為a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1.
因此猜想an=n-1+1.下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式:
當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立.
假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即ak=k-1+1,
則ak+1=(ak-1)2+1+1=(k-1)+1+1
=(k+1)-1+1.
這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.
所以an=n-1+1(n∈N*).
(2)解法一設(shè)f(x)=(x-1)2+1-1,則an+1=f(an).
令c=f(c),即c=(c-1)2+1-1,解得c=14.
下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題a2n
16、1.
當(dāng)n=1時(shí),a2=f(1)=0,a3=f(0)=2-1,
所以a2<14f(a2k+1)>f(1)=a2,
即1>c>a2k+2>a2.
再由f(x)在(-∞,1]上為減函數(shù)得c=f(c)
17、1=f(an).
先證:0≤an≤1(n∈N*).①
當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論明顯成立.
假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即0≤ak≤1.
易知f(x)在(-∞,1]上為減函數(shù),
從而0=f(1)≤f(ak)≤f(0)=2-1<1.
即0≤ak+1≤1,這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.
故①成立.
再證:a2nf(a2k+1)=a2k+2,a2
18、(k+1)=f(a2k+1)f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2.
所以a2n+1>a2n+12-2a2n+1+2-1.解得a2n+1>14.④
綜上,由②,③,④知存在c=14使a2n
19、n+1n2+nan+12n,n∈N*.
(1)證明:當(dāng)n≥2時(shí),an≥2(n∈N*);
(2)證明:an+1=11×2a1+12×3a2+…+1n×(n+1)an+2-12n(n∈N*).
解(1)由題意,
①當(dāng)n=2時(shí),a2=32a1+12=2≥2成立;
②當(dāng)n=k時(shí),假設(shè)ak≥2成立,則n=k+1時(shí)
ak+1=k2+k+1k2+kak+12k=ak+1k2+kak+12k≥2+2k2+k+12k>2,所以n=k+1時(shí),ak+1>2成立.
綜上①②可知,n≥2時(shí),an≥2.
(2)由an+1=n2+n+1n2+nan+12n=an+1n(n+1)an+12n
得an+1-an=1n(n+1)an+12n,
所以a2-a1=11×2a1+121,a3-a2=12×3a2+122,a4-a3=13×4a3+123,…,an+1-an=1n(n+1)an+12n.所以an+1-a1=11×2a1+12×3a2+…+1n(n+1)+121+122+…+12n.
又a1=1,所以an+1=11×2a1+12×3a2+…+1n(n+1)an+1+121-12n1-12=11×2a1+12×3a2+…+1n(n+1)an+2-12n.
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（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 考點(diǎn)規(guī)范練35 數(shù)學(xué)歸納法
