《（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練35 空間向量及其運算（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學一輪復習 考點規(guī)范練35 空間向量及其運算（含解析）新人教A版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點規(guī)范練35 空間向量及其運算
一、基礎鞏固
1.若向量c垂直于不共線的向量a和b,d=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),則( )
A.c∥d
B.c⊥d
C.c不平行于d,c也不垂直于d
D.以上三種情況均有可能
2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是( )
A.2,12 B.-13,12
C.-3,2 D.2,2
3.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),則實數(shù)λ的值為( )
A.-2 B.-143 C.145 D.2
4.已知A,B,C,D是空間不共面的四點,且滿足AB·A
2、C=0,AC·AD=0,AB·AD=0,M為BC的中點,則△AMD是( )
A.鈍角三角形 B.銳角三角形
C.直角三角形 D.不確定
5.下列命題:
①若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行;
②若向量a,b所在的直線為異面直線,則向量a,b一定不共面;
③若三個向量a,b,c兩兩共面,則向量a,b,c共面;
④已知空間的三個向量a,b,c,則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x,y,z使得p=xa+yb+zc.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.在空間四邊形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC的值為( )
A.-1
3、B.0 C.1 D.2
7.已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a的夾角為60°的是( )
A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)
8.若平面α,β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不正確
9.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點E,F分別是棱AB,BB1的中點,則異面直線EF和BC1所成的角是 .?
10.已知點O(0,0,0),A(1,2,3
4、),B(2,1,2),P(1,1,2),點Q在直線OP上運動,當QA·QB最小時,點Q的坐標是 .?
11.在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分別為AB,BB'的中點.
(1)求證:CE⊥A'D;
(2)求異面直線CE與AC'所成角的余弦值.
二、能力提升
12.在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,若AC'=xAB+2yBC-3zCC',則x+y+z=( )
A.1 B.76 C.56 D.23
13.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E,F分別是BC,AD的中點
5、,則AE·AF的值為( )
A.a2 B.12a2 C.14a2 D.34a2
14.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是CD,PC的中點,并且PA=AD=1.在如圖所示的空間直角坐標系中,MN= .?
三、高考預測
15.如圖所示的直三棱柱ABC-A1B1C1,在其底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點.
(1)求BN的模;
(2)求cos的值;
(3)求證:A1B⊥C1M.
考點規(guī)范練35 空間向量及其運算
1.B 解析由題意得,c垂直于由a,b確定的平面.
6、
∵d=λa+μb,
∴d與a,b共面.∴c⊥d.
2.A 解析∵a∥b,∴存在k∈R,使b=ka,
即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),
∴6=k(λ+1),2μ-1=0,2λ=2k,
解得λ=2,μ=12或λ=-3,μ=12.
3.D 解析由題意知a·(a-λb)=0,
即a2-λa·b=0,∴14-7λ=0.∴λ=2.
4.C 解析∵M為BC的中點,
∴AM=12(AB+AC).
∴AM·AD=12(AB+AC)·AD
=12AB·AD+12AC·AD=0.
∴AM⊥AD,△AMD為直角三角形.
5.A 解析若a與b共線,則a,b所在直線也可能重合
7、,故①不正確;根據(jù)自由向量的定義知,空間任兩個向量a,b都共面,故②不正確;三個向量a,b,c中任兩個一定共面,但它們?nèi)齻€卻不一定共面,故③不正確;只有當a,b,c不共面時,空間任意一向量p才能表示為p=xa+yb+zc,故④不正確,綜上可知,四個命題中正確的個數(shù)為0,故選A.
6.B 解析(方法一)如圖,令AB=a,AC=b,AD=c,
則AB·CD+AC·DB+AD·BC=AB·(AD-AC)+AC·(AB-AD)+AD·(AC-AB)
=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
(方法二)在三棱錐A-BCD中,不妨令
8、其各棱長都相等,由正四面體的對棱互相垂直可知,
AB·CD=0,AC·DB=0,AD·BC=0.
故AB·CD+AC·DB+AD·BC=0.
7.B 解析對于選項B,設b=(1,-1,0),
則cos=a·b|a||b|=1×12×2=12.
因為0°≤≤180°,
所以=60°,故選B.
8.C 解析∵n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0,
∴n1與n2不垂直.
又-32≠-13≠-45,
∴n1與n2也不共線.
∴α與β相交但不垂直.
9.60° 解析以BC,BA,BB1所在的直線為x軸、y軸、z軸、建立空間直角坐標
9、系,如圖.
設AB=BC=AA1=2,
則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),
則EF=(0,-1,1),BC1=(2,0,2),
∴EF·BC1=2,
∴cos=22×22=12,
∴EF和BC1所成的角為60°.
10.43,43,83 解析設OQ=λOP=(λ,λ,2λ),則QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ).
故QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6λ-432-23.
所以當λ=43時,QA·QB取得最小值-23,
此時OQ
10、=43,43,83.
所以點Q的坐標是43,43,83.
11.(1)證明設CA=a,CB=b,CC'=c,
根據(jù)題意,得|a|=|b|=|c|,
且a·b=b·c=c·a=0,
∴CE=b+12c,A'D=-c+12b-12a.
∴CE·A'D=-12c2+12b2=0.
∴CE⊥A'D,即CE⊥A'D.
(2)解∵AC'=-a+c,|AC'|=2|a|,|CE|=52|a|.
AC'·CE=(-a+c)·b+12c=12c2=12|a|2,
∴cos=12|a|22·52|a|2=1010.
即異面直線CE與AC'所成角的余弦值為1010.
12.B
11、 解析∵AC'=AC+CC'=AD+AB+CC'=AB+BC+CC'=xAB+2yBC-3zCC',∴x=1,y=12,z=-13,∴x+y+z=1+12-13=76.
13.C 解析如圖,設AB=a,AC=b,AD=c,則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三個向量兩兩的夾角為60°.
AE=12(a+b),AF=12c,
∴AE·AF=12(a+b)·12c
=14(a·c+b·c)
=14(a2cos60°+a2cos60°)=14a2.
14.22 解析連接PD,∵M,N分別為CD,PC的中點,
∴MN=12PD.又P(0,0,1),D(0,1,0),
∴PD=
12、02+(-1)2+12=2,∴MN=22.
15.解如圖,建立空間直角坐標系Oxyz.
(1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴|BN|=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2
=3.
(2)依題意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1·CB1=3,
|BA1|=6,|CB1|=5.
∴cos=BA1·CB1|BA1||CB1| =3010.
(3)證明:依題意,得C1(0,0,2),M12,12,2,A1B=(-1,1,-2),C1M=12,12,0,
∴A1B·C1M=-12+12+0=0.
∴A1B⊥C1M,∴A1B⊥C1M.
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