（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 大題專項(xiàng)練（一）三角 理

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1、大題專項(xiàng)練(一)　三角 A組　基礎(chǔ)通關(guān) 1.已知在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且ccos B+(b-2a)cos C=0. (1)求角C的大小; (2)若c=2,求△ABC的面積S的最大值. 解(1)因?yàn)閏cosB+(b-2a)cosC=0, 所以sinCcosB+(sinB-2sinA)cosC=0, 所以sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC, 所以sin(B+C)=2sinAcosC. 又因?yàn)锳+B+C=π, 所以sinA=2sinAcosC. 又因?yàn)锳∈(0,π),所以sinA≠0, 所以cosC=12. 又C∈(0,π),

2、所以C=π3. (2)由(1)知,C=π3, 所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab. 又c=2,所以4=a2+b2-ab. 又a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立, 所以ab≤4.所以△ABC面積的最大值(S△ABC)max=12absinCmax=12×4×sinπ3=3. 2.如圖,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M為AD上一點(diǎn),AM=2MD=2,∠BMC=60°. (1)若∠AMB=60°,求BC; (2)設(shè)∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ. 解(1)由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°. 在Rt△AB

3、M中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2. 在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=23. (2)因?yàn)椤螪CM=θ, 所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°. 在Rt△MCD中,MC=1sinθ; 在Rt△MAB中,MB=2sin(60°-θ), 由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sinθ, 所以3cosθ-sinθ=sinθ, 即2sinθ=3cosθ, 整理可得tanθ=32. 3.已知向量m=(2acos x,sin x),n=(cos x,bcos x),函數(shù)f(x)=m·n-32,

4、函數(shù)f(x)在y軸上的截距為32,與y軸最近的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是π12,1. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,得到函數(shù)y=sin x的圖象,求φ的最小值. 解(1)f(x)=m·n-32=2acos2x+bsinxcosx-32, 由f(0)=2a-32=32,得a=32, 此時(shí),f(x)=32cos2x+b2sin2x, 由f(x)≤34+b24=1,得b=1或b=-1, 當(dāng)b=1時(shí),f(x)=sin2x+π3,經(jīng)檢驗(yàn)π12,1為最高點(diǎn); 當(dāng)b=-1時(shí),f(x)=sin2x+

5、2π3,經(jīng)檢驗(yàn)π12,1不是最高點(diǎn). 故函數(shù)的解析式為f(x)=sin2x+π3. (2)函數(shù)f(x)的圖象向左平移φ個(gè)單位后得到函數(shù)y=sin2x+2φ+π3的圖象,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍后得到函數(shù)y=sinx+2φ+π3的圖象, 所以2φ+π3=2kπ(k∈Z),φ=-π6+kπ(k∈Z), 因?yàn)棣?0,所以φ的最小值為5π6. 4.函數(shù)f(x)=Asinωx+π6(A>0,ω>0)的最大值為2,它的最小正周期為2π. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)若g(x)=cos x·f(x),求g(x)在區(qū)間-π6,π4上的最大值和最小值. 解(1)由已知f(x)最小正周期為

6、2π, 所以2πω=2π,解得ω=1. 因?yàn)閒(x)的最大值為2, 所以A=2, 所以f(x)的解析式為f(x)=2sinx+π6. (2)因?yàn)閒(x)=2sinx+π6=2sinxcosπ6+2cosxsinπ6=3sinx+cosx, 所以g(x)=cosx·f(x)=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+1+cos2x2 =sin2x+π6+12. 因?yàn)?π6≤x≤π4,所以-π6≤2x+π6≤2π3, 于是,當(dāng)2x+π6=π2,即x=π6時(shí),g(x)取得最大值32;當(dāng)2x+π6=-π6,即x=-π6時(shí),g(x)取得最小值0. 5.已知函數(shù)f(x)=sin(

7、ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列對(duì)應(yīng)值如表: x -π4 0 π6 π4 π2 3π4 y 0 1 12 0 -1 0 (1)求f(x)的解析式; (2)若在△ABC中,AC=2,BC=3,f(A)=-12(A為銳角),求△ABC的面積. 解(1)由題中表格給出的信息可知,函數(shù)f(x)的周期為T=3π4--π4=π, 所以ω=2ππ=2. 注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=π2+2kπ(k∈Z), 由0<φ<π,所以φ=π2. 所以函數(shù)的解析式為f(x)=sin2x+π2=cos2x. (2)∵f(A)=cos2A=-12,且A

8、為銳角,∴A=π3. 在△ABC中,由正弦定理得,BCsinA=ACsinB, ∴sinB=AC·sinABC=2×323=33, ∵BC>AC,∴B

9、 即6=12×4a×22,解得a=32, 由余弦定理,得c2=b2+a2-2abcosC=10,解得c=10. (2)由(1)得cosB=a2+c2-b22ac=55, 由于B是三角形的內(nèi)角,得sinB=1-cos2B=255, 所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=55×22+255×22=31010. B組　能力提升 7.如圖,在凸四邊形ABCD中,C,D為定點(diǎn),CD=3,A,B為動(dòng)點(diǎn),滿足AB=BC=DA=1. (1)寫(xiě)出cos C與cos A的關(guān)系式; (2)設(shè)△BCD和△ABD的面積分別為S和T,求S2+T2的最大值. 解(1)在△BCD中,

10、由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2·BC·CDcosC=4-23cosC, 在△ABD中,BD2=2-2cosA, 所以4-23cosC=2-2cosA,即cosA=3cosC-1. (2)S=12·BC·CD·sinC=3·sinC2,T=12AB·ADsinA=12sinA, 所以S2+T2=34sin2C+14sin2A=34(1-cos2C)+14(1-cos2A)=-32cos2C+32cosC+34 =-32cosC-362+78. 由題意易知,C∈(30°,90°),所以cosC∈0,32, 當(dāng)cosC=36時(shí),S2+T2有最大值78. 8.某城市在進(jìn)行規(guī)劃

11、時(shí),準(zhǔn)備設(shè)計(jì)一個(gè)圓形的開(kāi)放式公園.為達(dá)到社會(huì)和經(jīng)濟(jì)效益雙豐收,園林公司進(jìn)行如下設(shè)計(jì),安排圓內(nèi)接四邊形ABCD作為綠化區(qū)域,其余作為市民活動(dòng)區(qū)域.其中△ABD區(qū)域種植花木后出售,△BCD區(qū)域種植草皮后出售,已知草皮每平方米售價(jià)為a元,花木每平方米的售價(jià)是草皮每平方米售價(jià)的三倍.若BC=6 km,AD=CD=4 km. (1)若BD=27 km,求綠化區(qū)域的面積; (2)設(shè)∠BCD=θ,當(dāng)θ取何值時(shí),園林公司的總銷售金額最大. 解(1)在△BCD中,BD=27,BC=6,CD=4, 由余弦定理,得cos∠BCD=BC2+CD2-BD22BC·CD=62+42-(27)22×6×4=12

12、. 因?yàn)椤螧CD∈(0°,180°),所以∠BCD=60°, 又因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共圓, 所以∠BAD=120°. 在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD, 將AD=4,BD=27代入化簡(jiǎn),得AB2+4AB-12=0, 解得AB=2(AB=-6舍去). 所以S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=12×2×4sin120°+12×4×6sin60°=83(km2), 即綠化空間的面積為83km2. (2)在△BCD、△ABD中分別利用余弦定理得 BD2=62+42-2×6×4cosθ,① BD2=AB2+42-2×4ABcos

13、(π-θ),② 聯(lián)立①②消去BD,得AB2+8ABcosθ+48cosθ-36=0, 得(AB+6)(AB+8cosθ-6)=0, 解得AB=6-8cosθ(AB=-6舍去). 因?yàn)锳B>0,所以6-8cosθ>0,即cosθ<34. S△ABD=12AB·ADsin(π-θ)=12(6-8cosθ)×4sinθ=12sinθ-16sinθcosθ,S△BCD=12BC·CDsinθ=12×6×4sinθ=12sinθ. 因?yàn)椴萜っ科椒矫资蹆r(jià)為a元,則花木每平方米售價(jià)為3a元,設(shè)銷售金額為y百萬(wàn)元. y=f(θ)=3a(12sinθ-16sinθcosθ)+12asinθ=48a(sinθ-sinθcosθ), f'(θ)=48a(cosθ-cos2θ+sin2θ)=48a(-2cos2θ+cosθ+1)=-48a(2cosθ+1)(cosθ-1), 令f'(θ)>0,解得-12