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1、
考點規(guī)范練53 隨機事件的概率
一、基礎(chǔ)鞏固
1.從正五邊形的五個頂點中,隨機選擇三個頂點連成三角形,記“這個三角形是等腰三角形”為事件A,則下列推斷正確的是( )
A.事件A發(fā)生的概率等于15
B.事件A發(fā)生的概率等于25
C.事件A是不可能事件
D.事件A是必然事件
答案D
解析因為從正五邊形的五個頂點中隨機選三個頂點連成的三角形都是等腰三角形,所以事件A是必然事件.故選D.
2.從16個同類產(chǎn)品(其中有14個正品,2個次品)中任意抽取3個,下列事件的概率為1的是( )
A.三個都是正品 B.三個都是次品
C.三個中至
2、少有一個是正品 D.三個中至少有一個是次品
答案C
解析在16個同類產(chǎn)品中,只有2個次品,可知抽取3個產(chǎn)品,A是隨機事件,B是不可能事件,C是必然事件,D是隨機事件,又必然事件的概率為1,故C正確.
3.把紅、黃、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人,則事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”( )
A.是對立事件 B.是不可能事件
C.是互斥事件但不是對立事件 D.不是互斥事件
答案C
解析顯然兩個事件不可能同時發(fā)生,但兩者可能同時不發(fā)生,因為紅牌可以分給乙或丙,綜上可知這兩個事件是互斥事件但不是對立事件.
4.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件,設(shè)事件A為“抽到一等品”,事件B
3、為“抽到二等品”,事件C為“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為( )
A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.5
答案C
解析∵“抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事件A是對立事件,
∴所求概率為1-P(A)=0.35.
5.從某班學(xué)生中任意找出一人,如果該同學(xué)的身高小于160 cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高在[160,175](單位:cm)內(nèi)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過175 cm的概率為( )
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
答案B
解析因為必然事件發(fā)生的概率是1,所
4、以該同學(xué)的身高超過175cm的概率為1-0.2-0.5=0.3,故選B.
6.下列命題:
①對立事件一定是互斥事件;②若A,B為兩個隨機事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A與B是對立事件.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案A
解析根據(jù)對立事件與互斥事件的關(guān)系,得①正確;
②不正確,當A,B是互斥事件時,才有P(A∪B)=P(A)+P(B);
③不正確,P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,還可能小于1;
④不正確,例如:袋中
5、有除顏色外,其余均相同的紅、黃、黑、綠4個球,從袋中任摸一個球,設(shè)事件A={摸到紅球或黃球},事件B={摸到黃球或黑球},顯然事件A與B不是對立事件,
但P(A)+P(B)=12+12=1.
7.中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽,已知甲奪得冠軍的概率為37,乙奪得冠軍的概率為14,則中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為 .?
答案1928
解析因為事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”,但這兩個事件不可能同時發(fā)生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式進行計算,即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為37+14=1
6、928.
8.某班選派5人參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)競賽,獲獎的人數(shù)及其概率如下:
獲獎人數(shù)/人
0
1
2
3
4
5
概 率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若獲獎人數(shù)不超過2的概率為0.56,求x的值;
(2)若獲獎人數(shù)最多為4的概率為0.96,最少為3的概率為0.44,求y,z的值.
解記“在競賽中,有k人獲獎”為事件Ak(k∈N,k≤5),則事件Ak彼此互斥.
(1)∵獲獎人數(shù)不超過2的概率為0.56,
∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56.
解得x=0.3.
(2)由獲獎人數(shù)最多為4的概率為0.96
7、,
得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.
由獲獎人數(shù)最少為3的概率為0.44,
得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,
即y+0.2+0.04=0.44.解得y=0.2.
9.在某商場有獎銷售中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位,設(shè)特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1張獎券的中獎概率;
(3)1張獎券不中特等獎,且不中一等獎的概率.
解(1)由題意可知P(A)=11000,
P(B)=101000=
8、1100,
P(C)=501000=120.
故事件A,B,C的概率分別為11000,1100,120.
(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎.
設(shè)“1張獎券中獎”為事件M,則M=A∪B∪C.
∵A,B,C兩兩互斥,
∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=1+10+501000=611000.
故1張獎券的中獎概率為611000.
(3)設(shè)“1張獎券不中特等獎,且不中一等獎”為事件N,則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件,
故P(N)=1-P(A∪B)=1-11000+1100=9891000,
即1張獎券不中特等獎,且不中
9、一等獎的概率為9891000.
二、能力提升
10.有一個容量為66的樣本,數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下:
[11.5,15.5) 2;[15.5,19.5) 4;[19.5,23.5) 9;
[23.5,27.5) 18;[27.5,31.5) 11;[31.5,35.5) 12;
[35.5,39.5) 7;[39.5,43.5) 3.
根據(jù)樣本的頻率分布估計數(shù)據(jù)在[31.5,43.5)的概率約是( )
A.16 B.13 C.12 D.23
答案B
解析根據(jù)所給的數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)得,滿足題意的數(shù)據(jù)有12+7+3=22(個),
總的數(shù)據(jù)有66個,則數(shù)據(jù)在[31.5
10、,43.5)的頻率為2266=13.
由頻率估計概率,得所求概率P=13.
11.假設(shè)甲、乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上的銷售量相等,為了了解它們的使用壽命,現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機抽取100個進行測試,統(tǒng)計結(jié)果如圖:
(1)估計甲品牌產(chǎn)品壽命小于200 h的概率;
(2)在這兩種品牌產(chǎn)品中,某個產(chǎn)品已使用了200 h,試估計該產(chǎn)品是甲品牌的概率.
解(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200h的頻率為5+20100=14,用頻率估計概率,可得甲品牌產(chǎn)品壽命小于200h的概率為14.
(2)根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可得壽命不低于200h的兩種品牌產(chǎn)品共有75+70=145(個),其
11、中甲品牌產(chǎn)品有75個,所以在樣本中,壽命不低于200h的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是75145=1529.據(jù)此估計已使用了200h的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為1529.
12.袋中有除顏色外其他均相同的12個小球,分別為紅球、黑球、黃球、綠球,從中任取一球,得到紅球的概率是13,得到黑球或黃球的概率是512,得到黃球或綠球的概率也是512,分別求得到黑球、黃球和綠球的概率各是多少.
解(方法一)從袋中選取一個球,記事件“摸到紅球”“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”分別為A,B,C,D,
則P(A)=13,P(B∪C)=P(B)+P(C)=512,
P(C∪D)=P(C)+P(D)=512,
P
12、(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)
=1-P(A)=1-13=23,
解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14,
因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是14,16,14.
(方法二)設(shè)紅球有n個,則n12=13,即n=4,即紅球有4個.
又得到黑球或黃球的概率是512,所以黑球和黃球共有5個.
又總球數(shù)是12,所以綠球有12-4-5=3個.
又得到黃球或綠球的概率也是512,所以黃球和綠球共有5個,而綠球有3個,所以黃球有5-3=2個.所以黑球有12-4-3-2=3個.
因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是312=14,212=16,312=14.
13.(
13、2018北京,文17)電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:
電影類型
第一類
第二類
第三類
第四類
第五類
第六類
電影部數(shù)
140
50
300
200
800
510
好評率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.
(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;
(2)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率;
(3)電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表
14、格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大?(只需寫出結(jié)論)
解(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000.
第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50,故所求概率為502000=0.025.
(2)設(shè)“隨機選取1部電影,這部電影沒有獲得好評”為事件B.
沒有獲得好評的電影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628(部).
由古典概型概率公式
15、得P(B)=16282000=0.814.
(3)增加第五類電影的好評率,減少第二類電影的好評率.
三、高考預(yù)測
14.
某企業(yè)為了了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機訪問50名職工,根據(jù)這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖如圖所示,其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求頻率分布直方圖中a的值;
(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率;
(3)從評分在[40,60)的受訪職工中,隨機抽取2人,求此2人的評分都在[40,50)的概率.
解(1)因為(0.004+a+0.018+0.0
16、22×2+0.028)×10=1,
所以a=0.006.
(2)由所給頻率分布直方圖知,50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022+0.018)×10=0.4,
所以該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.
(3)受訪職工中評分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),記為A1,A2,A3;
受訪職工中評分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),記為B1,B2.
從這5名受訪職工中隨機抽取2人,所有可能的結(jié)果共有10種,它們是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種,即{B1,B2},故所求的概率為110.
8
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