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1、 第七章圖形與變換第七章圖形與變換 第第23講圖形的相似講圖形的相似考點梳理考點梳理過關過關考點考點1 1 成比例線段成比例線段提示提示 在根據平行線寫成比例線段時一定注意對應關系考點考點2 2 相似三角形相似三角形 6 6年年8 8考考1 1相似三角形相似三角形拓展拓展 (1)斜邊與直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似；(2)射影定理：如圖，RtABC中，ACB90，CD是斜邊AB上的高則有如下的結論：CD2ADDB，BC2BDBA，AC2ADAB；ACBCABCD(可用面積來證明)；(3)常見的相似圖形：2 2相似多邊形相似多邊形考點考點3 3 位似位似 6 6年年1 1考考提示 圖形關于
2、某點的位似圖形有兩個典型例題典型例題運用運用類型類型1 1 相似三角形的性質與判定的分析運用相似三角形的性質與判定的分析運用【例1】2017長清區(qū)一模如圖，正方形ABCD中，AB2，E為BC中點，兩個動點M和N分別在邊CD和AD上運動且MN1，若ABE與以D，M，N為頂點的三角形相似，則DM為()D【例2】2016達州中考如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點，連接AC，BC，過點O作ODAC于點D，過點A作半圓O的切線交OD的延長線于點E，連接BD并延長交AE于點F.(1)求證：AEBCADAB；(2)若半圓O的直徑為10，sinBAC ，求AF的長53思路點撥：(1)只要證明EAD
3、ABC即可解決問題；(2)作DMAB于點M，利用DMAE，得 ，求出DM，BM即可解決問題技法點撥 1.在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；2.尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形；3.判定兩個三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，條件必須充分變式運用 1.2017畢節(jié)中考如圖，在 ABCD中過點A作AEDC，垂足為E，連接BE，F為BE上一點，且AFED.(1)求證：ABFBEC；(2)若AD5，AB8，sinD
4、，求AF的長54解：(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ADBC，ADBC.DC180，ABFBEC.AFBAFE180，DAFE，CAFB.ABFBEC.(2)AEDC，ABDC，AEDBAE90，類型類型2 2 位似與坐標分析位似與坐標分析【例3】2017濱州，15,4分在平面直角坐標系中，點C，D的坐標分別為C(2,3)，D(1,0)，現以原點為位似中心，將線段CD放大得到線段AB.若點D的對應點B在x軸上且OB2，則點C的對應點A的坐標為(4,6)或(4，6)(4,6)或(4，6)如圖，由題意，得位似中心是原點O，位似比為2.OCAC.C(2,3)，A(4,6)或(4，6
5、)技法點撥 1.位似是特殊的相似，滿足相似的所有性質，因而遇到位似時可以構造相似三角形進行解決；2.當位似中心不是原點時，不可以直接把坐標乘以位似比，而是向x軸或y軸作垂線構造相似三角形解決變式運用 2.如圖，ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是(1,0)，以點C為位似中心，在x軸的下方作ABC的位似圖形ABC，并把ABC的邊長放大到原來的2倍設點B的對應點B的橫坐標是2，則點B的橫坐標是2.5如圖，過點B，B分別作BDx軸于點D，BEx軸于點E，BDCBEC90.ABC與ABC是位似圖形，點B，C，B在一條直線上，BCDBCE，BCDBCE，.又 ，.又點B的橫坐標是2，點C的
6、坐標是(1,0)，CE3，CD .OD .點B在第二象限，點B的橫坐標為2.5.類型類型3 3 相似三角形與點的存在性分析相似三角形與點的存在性分析【例4】如圖，在平面直角坐標系中，ABC的頂點A在x軸負半軸上，頂點C在x軸正半軸上，頂點B在第一象限，過點B作BDy軸于點D，線段OA，OC的長是一元二次方程x212x360的兩根，BC4 ，BAC45.(1)求點A，C的坐標；(2)反比例函數y 的圖象經過點B，求k的值；(3)在y軸上是否存在點P，使以P，B，D為頂點的三角形與以P，O，A為頂點的三角形相似？若存在，請寫出滿足條件的點P的個數，并直接寫出其中兩個點P的坐標；若不存在，請說明理由
7、5xk思路分析：(1)解一元二次方程x212x360，求出兩根即可得到點A，C的坐標；(2)過點B作BEAC，垂足為E，由BAC45可知AEBE，設BEx，用勾股定理可得CE ，根據AECEOAOC，解方程求出BE，再由AEOAOE，即可求出點B的坐標，然后求出k的值；(3)分類討論，根據相似三角形對應邊成比例求出點P的坐標失分警示失分警示 1.在分析相似三角形，頂點的存在問題中，必須要根據不同的對應關系分類討論，避免漏解.2.在分類探究中一定要畫出相應的圖形進行分析解決六年真題六年真題全練全練命題點命題點1 1 相似三角形的分析應用相似三角形的分析應用12012濱州，10,3分把ABC三邊的
8、長度都擴大為原來的3倍，則銳角A的正弦函數值()A不變 B縮小為原來的C擴大為原來的3倍 D不能確定31A因為ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍，所得的三角形與原三角形相似，所以銳角A的大小不變，所以銳角A的正弦函數值也不變22017濱州，16,4分鏈接第18講六年真題全練第6題32016濱州，15,4分如圖，矩形ABCD中，AB ，BC ，點E在對角線BD上，且BE1.8，連接AE并延長交DC于點F，則 .3642014濱州，15,4分如圖，平行于BC的直線DE把ABC分成的兩部分面積相等，則 52012濱州，18,4分如圖，銳角三角形ABC的邊AB，AC上的高線CE和BF相交于點D，請寫出
9、圖中的兩對相似三角形：BDECDF，ABFACE.(用相似符號連接)BDECDF，ABFACE(1)在BDE和CDF中，BDECDF，BEDCFD90，BDECDF.(2)在ABF和ACE中，AA，AFBAEC90，ABFACE.62017濱州，23,10分如圖，點E是ABC的內心，AE的延長線交BC于點F，交ABC的外接圓O于點D，連接BD，過點D作直線DM，使BDMDAC.(1)求證：直線DM是O的切線；(2)求證：DE2DFDA.解：(1)如圖所示，連接OD.點E是ABC的內心，BADCAD.ODBC.又BDMDAC，DACDBC，BDMDBC.BCDM.ODDM.直線DM是O的切線(2
10、)如圖所示，連接BE.點E是ABC的內心，BAECAECBD，ABECBE.BAEABECBDCBE，即BEDEBD.DBDE.DBFDAB，BDFADB，DBFDAB.，即DB2DFDA.DE2DFDA.72014濱州，25,12分如圖，矩形ABCD中，AB20，BC10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q.(1)求證：APQCDQ;(2)P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位的速度向B點移動，移動時間為t秒當t為何值時，DPAC?設SAPQSDCQy，寫出y與t之間的函數解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，ABCD.12，34.
11、APQCDQ.(2)如圖，當DPAC時，4290.又5290，45.又ADCPAD90，ADCPAD.給出t的部分取值，計算出y的對應值列成下表：t012345678910y10095.4891.8288.9186.678583.8583.1582.8682.9383.33t11121314151617181920 y84.038586.2187.6589.2991.1193.1195.2697.56100從表中可以看出：當0t8時，y隨t的增大而減??；當9t20時，y隨t的增大而增大因此，y在第8秒到第9秒之間時取得最小值82013濱州，24,10分某高中學校為高一新生設計的學生板凳的正面視
12、圖如圖所示其中BACD，BC20cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm,8cm，為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應為多長？(材質及其厚度等暫忽略不計)解：如圖，過點C作CMAB，交EF，AD于點N，M，作CPAD，交EF，AD于點Q，P.由題意，得四邊形ABCM是平行四邊形ENAMBC20cm.MDADAM502030(cm)由題意知CP40cm，PQ8cm.CQ32cm.EFAD，CNFCMD.解得NF24cm.EFENNF202444(cm)答：橫梁EF應為44cm.猜押預測 1.如圖，在直角坐標系xOy中，A(4,0)，B(0,2)，連結A
13、B并延長到C，連結CO，若COBCAO，則點C的坐標為()猜押預測 2.2017虹口區(qū)二模如圖，在 ABCD中，過點A作AEBC，AFDC，垂足分別為點E，F，AE，AF分別交BD于點G，H，且AGAH.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)延長AF，BC相交于點P，求證：BC2DFBP.解：(1)證明：AGAH，AGHAHG.AGHBGE，DHFAHG，BGEDHF.AEBC于點E，AFCD于點F，BD與AE，AF分別相交于點G，H，BEGDFH.EBGFDH，即CBDCDB.BCCD.四邊形ABCD是平行四邊形，平行四邊形ABCD是菱形(2)四邊形ABCD是平行四邊形，ADPB，ABCD
14、.ADHPBH，ABHFDH.得分要領 1.掌握相似三角形的性質；2.會適當添加輔助線構造相似三角形解決問題；3.熟悉特殊三角形和四邊形的性質，能搜集條件證明三角形相似；4.會分類討論，分析三角形相似時，未知頂點的存在性命題點命題點2 2 位似位似92017濱州，15,4分鏈接第23講典型例題運用例3.猜押預測 3.2017長沙中考如圖，ABO三個頂點的坐標分別為A(2,4)，B(6,0)，C(0,0)，以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的 ，可以得到ABO，已知點B的坐標是(3,0)，則點A的坐標是(1,2)根據位似變換的性質及位似比為，可知A的坐標為(1,2)2121得分要領 1.掌握位似的性質；2.會根據位似比確定對應點的坐標；3.熟悉其它變換中，坐標的確定方法
數學第7章 圖形與變換 第23講 圖形的相似
