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高中數(shù)學第1章不等關(guān)系與基本不等式 1.1.1 實數(shù)大小的比較 1.1.2 不等式的性質(zhì)學案北師大版選修4-5

上傳人：san****019

文檔編號：11970937

上傳時間：2020-05-04

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1.1　實數(shù)大小的比較 1.2　不等式的性質(zhì) 1．理解實數(shù)大小與實數(shù)運算間的關(guān)系，會用作差(商)法比較大?。?重點) 2．理解并掌握不等式的性質(zhì)．(重點、易錯易混點) 3．能用不等式的性質(zhì)解決一些簡單的問題．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1　實數(shù)大小的比較閱讀教材P1～P3“思考交流”以上部分，完成下列問題． 1．實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，在數(shù)軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大． 2．兩實數(shù)大小與運算間的關(guān)系 (1)a＞b?a－b＞0；a＜b?a－b＜0；a＝b?a－b＝0. (2)當a>0，b＞0時，＞1?a＞b，＜1?a＜b；＝1?a＝b. 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)若>1，則a>b.(　　) (2)?x∈R，x2>2x.(　　) (3)若a>b>c且a＋b＋c＝0，則a>0，c<0.(　　) 【解析】　(1)　因為b的正負不確定． (2)　因為x2－2x＝x(x－2)，其正負隨x的范圍的變化而改變． (3)√　因為a>b，a>c，所以2a>b＋c，即3a>a＋b＋c＝0，所以a>0，又因為cb＋c，則a－b________c. (2)若a>b>0，則________. (3)若a>b，cb>0,0　(2)<　(3)>　(4)> [質(zhì)疑手記] 預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑： [小組合作型] 實數(shù)大小的比較　(1)已知x＞3，比較x3＋3與3x2＋x的大小； (2)若m＞0，試比較mm與2m的大小．【精彩點撥】　(1)只需考查兩者差同0的大小關(guān)系； (2)注意到2m＞0，可求商比較大小，但要注意到用函數(shù)的性質(zhì)．【自主解答】　(1)x3＋3－3x2－x ＝x2(x－3)－(x－3) ＝(x－3)(x＋1)(x－1)． ∵x＞3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)＞0， ∴x3＋3＞3x2＋x. (2)＝m，當m＝2時，m＝1，此時mm＝2m，當0＜m＜2時，0＜＜1，m＜1， ∴mm＜2m. 當m＞2時，＞1，m＞1，∴mm＞2m. 比較大小的常用方法及步驟 1．求差法：a≥b?a－b≥0，a≤b?a－b≤0. 一般步驟是：作差→變形→判號→定論．變形是作差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是常用的變形手段． 2．求商法：當a>0，b>0時，把比較a，b的大小轉(zhuǎn)化為比較與1的大小關(guān)系，此即為作商比較法．理論依據(jù)是不等式的性質(zhì)：若a>0，b>0，則≥1?a≥b，≤1?a≤b. 一般步驟為：作商→變形→與1比較大小→定論． [再練一題] 1．已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m＝＋，n＝，試比較m與n的大小. 【導(dǎo)學號：94910000】【解】　m－n＝＋－` ＝－＝＝， ∵x，y均為正數(shù)， ∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0， ∴m－n≥0，即m≥n. 利用不等式性質(zhì)判斷命題的真假　對于實數(shù)a，b，c判斷下列命題的真假． (1)若a>b，則acbc2，則a>b； (3)若aab>b2； (4)若a|b|； (5)若c>a>b>0，則>. 【精彩點撥】　本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用及邏輯推理能力．解答此題需要依據(jù)實數(shù)的基本性質(zhì)，實數(shù)的符號的運算法則以及不等式性質(zhì)，然后經(jīng)過合理邏輯推理即可判斷．【自主解答】　(1)由于c的符號未知，因而不能判斷ac，bc的大小關(guān)系，故該命題是假命題． (2)由ac2>bc2知c≠0，而c2>0， ∴a>b，故該命題是真命題． (3)?a2>ab；又?ab>b2， ∴a2>ab>b2，故該命題是真命題． (4)兩個負實數(shù)，較小的離原點遠，其絕對值反而大，故該命題是真命題． (5)?0，故該命題是真命題． 1．判斷命題的真假往往用舉反例予以否定，或從條件入手，看是否推出與結(jié)論一致的結(jié)論． 2．運用不等式的性質(zhì)判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能想當然隨意捏造性質(zhì)． [再練一題] 2．判斷下列命題是否正確，并說明理由． (1)若a＞b，則ac2＞bc2；(2)若＞，則a＞b； (3)若a＞b，ab≠0，則＜；(4)若a＞b，c＞d，則ac＞bd. 【解】　(1)錯誤．當c＝0時不成立． (2)正確．∵ c2≠0且c2＞0，在＞兩邊同乘以c2，∴a＞b. (3)錯誤．a(chǎn)＞b?＜成立的條件是ab＞0. (4)錯誤．a(chǎn)＞b，c＞d?/ ac＞bd，例如當a，b，c，d為負數(shù)時不成立． [探究共研型] 不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用探究1　甲同學認為a＞b?＜，乙同學認為a＞b＞0?＜，丙同學認為a＞b，ab＞0?＜，請你思考一下，他們誰說得正確？【提示】　甲說得不正確．當a>0，b<0時不成立；乙說得是正確的，但不全面，當0>a>b時也有<；丙說得非常正確．探究2　根據(jù)60b>0，c. 【證明】　∵c－d>0， ∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.(*) 由(*)式知(a－c)2>(b－d)2>0， ∴>. 又∵e<0，∴<. 即>. [構(gòu)建體系] 1．設(shè)a∈R，則下面式子正確的是(　　) A．3a＞2a B．a(chǎn)2＜2a C.＜a D．3－2a＞1－2a 【答案】　D 2．已知m，n∈R，則＞成立的一個充要條件是(　　) 【導(dǎo)學號：94910001】 A．m＞0＞n B．n＞m＞0 C．m＜n＜0 D．mn(m－n)＜0 【解析】　∵＞?－＞0?＞0?mn(n－m)＞0?mn(m－n)＜0. 【答案】　D 3．若6≤x≤13,2≤y≤7，則x－y的取值范圍是________．【解析】　∵2≤y≤7，∴－7≤－y≤－2，又∵6≤x≤13，所以－7＋6≤x－y≤－2＋13，即－1≤x－y≤11. 【答案】　[－1,11] 4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是________．(填序號) ①＜；②ab＞b2； ③＞；④＜1. 【解析】　∵a＜b＜0，∴＞，①不成立；由b＜0，a＜b，∴ab＞b2，②成立；又a＜b＜0，∴0＜＜1，＞1，因此＞不成立；＝＋1＜1不成立，即①，③，④不正確，只有②成立．【答案】?、? 5．已知一次函數(shù)f(x)＝ax＋b，且－1≤f(－1)≤2，－2≤f(2)≤3，求f(3)的取值范圍．【解】　∵ 又∵f(3)＝3a＋b＝－(－a＋b)＋(2a＋b)， ∴－≤f(3)≤. 我還有這些不足： (1)　 (2)　我的課下提升方案： (1)　 (2)　學業(yè)分層測評(一) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．設(shè)a，b，c，d∈R且a＞b，c＞d，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)＋c＞b＋d B．a(chǎn)－c＞b－d C．a(chǎn)c＞bd D．＞【解析】　∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d. 【答案】　A 2．已知a，b 是實數(shù)，則“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解析】　當a＞0且b＞0時，一定有a＋b＞0且ab＞0.反之，當a＋b＞0，ab＞0時，一定有a＞0，b＞0. 【答案】　C 3．設(shè)角α，β滿足－<α<β<，則α－β的范圍是(　　) A．－π<α－β<0 B．－π<α－β<π C．－<α－β<0 D．－<α－β< 【解析】　∵α<β，∴α－β<0.① 又－<α<，－<β<，∴－<－β<， ∴－π<α－β<π，結(jié)合①得－π<α－β<0，故選A. 【答案】　A 4．若x≠2或y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，則M與N的大小關(guān)系是(　　) A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能確定【解析】　M－N＝x2＋y2－4x＋2y－(－5) ＝(x－2)2＋(y＋1)2. ∵x≠2或y≠－1，∴x－2≠0或y＋1≠0， ∴(x－2)2或(y＋1)2均非負且至少一個大于零， ∴M＞N. 【答案】　A 5．設(shè)a，b為非零實數(shù)，若a＜b，則下列不等式成立的是(　　) 【導(dǎo)學號：94910002】 A．a(chǎn)2＜b2 B．a(chǎn)2b＜ab2 C.＜ D．＜【解析】　取a＝－2，b＝1時，有a＜b，顯然A，B，D錯誤．對于C，∵－＝＜0. ∴＜總成立，C正確．【答案】　C 二、填空題 6．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范圍是________．【解析】　∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4， ∴－4＜－|b|≤0. 又1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3. 【答案】　(－3,3) 7．給出四個條件： ①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0. 能得出＜成立的有________．【解析】　＜?－＜0?＜0， ∴①②④可推出＜成立．【答案】　①②④ 8．若a＞1，b＜1，則ab＋1與a＋b大小關(guān)系為ab＋1______a＋b. 【解析】　ab＋1－a－b＝a(b－1)－(b－1) ＝(a－1)(b－1)， ∵a＞1，b＜1，∴(a－1)(b－1)＜0， ∴ab＋1－a－b＜0， ab＋1＜a＋b. 【答案】?。? 三、解答題 9．若a，b，c滿足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，試比較a，b，c的大?。? 【解】　b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0. ∴b≥c. 由題意可得方程組解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1. ∴c－a＝a2＋1－a＝2＋＞0， ∴c＞a，∴b≥c＞a. 10．已知a，b，x，y都是正數(shù)，且＞，x＞y，求證：＞. 【證明】　因為a，b，x，y都是正數(shù)，且＞，x＞y，所以＞，所以＜. 故＋1＜＋1，即0<＜，所以＞. [能力提升] 1．設(shè)a，b為實數(shù)，則“00，b>0時，b<；當a<0，b<0時，b>. ∴“0b>0，則下列各式中恒成立的是(　　) A.> B．> C．a(chǎn)＋>b＋ D．a(chǎn)a>bb 【解析】　選取適當?shù)奶厥庵担鬭＝2，b＝1，可知＝，＝2，由此可知選項A不成立．利用不等式的性質(zhì)可知，當a>b>0時，<，由此可知，選項C不恒成立．取a＝，b＝，則a>b>0，則aa＝bb，故選項D不恒成立．故選B. 【答案】　B 3．設(shè)x，y為實數(shù)，滿足3≤xy2≤8,4≤≤9，則的最大值是________. 【導(dǎo)學號：94910003】【解析】　由4≤≤9，得16≤≤81. 又3≤xy2≤8， ∴≤≤， ∴2≤≤27.又x＝3，y＝1滿足條件，這時＝27. ∴的最大值是27. 【答案】　27 4．已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，試比較f(a)與f(b)的大小．【解】　f(a)－f(b)＝－＝. ∵a＞b＞1， ∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0. 當m＞0時，f(a)－f(b)＜0，f(a)＜f(b)．當m＝0時，f(a)＝f(b)．當m＜0時，f(a)－f(b)＞0，f(a)＞f(b)．

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