高中數(shù)學 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1_4 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用自我小測 蘇教版選修2-21

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高中數(shù)學 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4 導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用自我小測 蘇教版選修2-2 1．做一個容積為256 cm3的方底無蓋水箱，要使用料最省，水箱的底面邊長為__________． 2．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益R與年產(chǎn)量x個單位產(chǎn)品的關(guān)系是則總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是__________單位． 3．內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最長的矩形的邊長為__________． 4．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積為最大，則高為__________． 5．某銀行準備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款量與存款利率成正比，比例系數(shù)為k(k＞0)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x〔x∈(0，0.048)〕，則存款利率為________時，銀行可獲得最大收益． 6．設(shè)底面為正三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為__________． 7．已知某工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為C＝25 000＋200x＋x2(元)，則當平均成本最低時，x＝________件． 8．將一段長為100 cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，當正方形與圓的面積之和最小時，圓的周長為__________cm. 9．某生產(chǎn)飲品的企業(yè)擬投入適當?shù)膹V告費對產(chǎn)品進行促銷，在一年內(nèi)，預(yù)計年銷量Q(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為(x≥0)，已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品需再投入32萬元，若每件售價為年平均每件成本的150%與平均每件所占廣告費的50%之和． (1)試將利潤y(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數(shù)，如果年廣告費投入100萬元，企業(yè)是虧損還是盈利？ (2)當年廣告費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？  參考答案 1答案：8　解析：設(shè)水箱的底面邊長為x cm，容積為256 cm3，所以水箱的高為， 于是水箱表面積f(x)＝x2＋4x， 即f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－， 令f′(x)＝0得x＝8，所以當?shù)酌孢呴L為8 cm時用料最省. 2答案：300　解析：依題意可得： 總利潤為 令P′＝0，當0≤x≤400時，得x＝300時總利潤最大為25 000元；當x＞400時，P′＜0恒成立，易知當x＝300時，總利潤最大. 3答案：，　解析：設(shè)矩形垂直于直徑的一邊長為x，則另一邊長為，則l＝2x＋(0＜x＜R)，l′＝2－， 令l′＝0，解得，(舍去). 當0＜x＜時，l′＞0；當＜x＜R時，l′＜0. 所以當R時，l取最大值，即周長最大的矩形的邊長為，. 4答案：cm　解析：設(shè)圓錐的高為x cm，則底面半徑為cm， 其體積V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)(cm3)， V′＝π(400－3x2)， 令V′＝0，解得，(舍去). 當0＜x＜時，V′＞0； 當＜x＜20時，V′＜0， 所以當時，V取最大值. 5答案：0.024　解析：由題意，存款量g(x)＝kx(k＞0)，銀行應(yīng)支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048).設(shè)銀行可獲得的收益為y，則y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx，令y′＝0，解得x＝0.024，依題意知y在x＝0.024處取得最大值.故當存款利率為0.024時，銀行可獲得最大收益. 6答案：　解析：設(shè)底面邊長為x，則底面面積為，設(shè)高為h，則x2h＝V，于是，這時直棱柱的表面積S(x)＝x22＋3xh＝. ，令S′(x)＝0得，故當時表面積最小. 7答案：1 000　解析：設(shè)平均成本為y元， 則 ＝(x≥0)， ， 令y′＝0，得x＝1 000或x＝－1 000(舍去). 當0≤x＜1 000時，y′＜0， 當x＞1 000時，y′＞0， 故當x＝1 000時，y取最小值. 8答案：　解析：設(shè)圓的周長為x cm， 則正方形的周長為(100－x) cm，且0＜x＜100， ∴圓的半徑為(cm)，正方形的邊長為(cm)， ∴圓與正方形的面積之和為 (0＜x＜100)， ∴. 由S′(x)＝0，得，此時S(x)取得最小值. 9答案：解：(1)由題意，每年產(chǎn)銷Q萬件，共計成本為(32Q＋3)萬元，銷售收入是(32Q＋3)150%＋x50%. ∴年利潤y＝(32Q＋3－x) ＝ ＝(x≥0). ∴所求函數(shù)關(guān)系式為(x≥0). 當x＝100時，y＜0，即當年廣告費投入100萬元時，企業(yè)虧損. (2)由(x≥0)，可得 ＝. 令y′＝0，則x2＋2x－63＝0. ∴x＝－9(舍)或x＝7. 又x∈(0,7)時，y′＞0；x∈(7，＋∞)時，y′＜0， ∴x＝7時，y取得極大值，且y極大值＝42(萬元). 又∵在(0，＋∞)上只有一個極值點， ∴ymax＝y(tǒng)極大值＝42(萬元). ∴當年廣告費投入7萬元時，企業(yè)年利潤最大，最大年利潤為42萬元.