高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1_3_2 極大值與極小值自我小測(cè) 蘇教版選修2-21

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高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.2 極大值與極小值自我小測(cè) 蘇教版選修2-2 1．(2012重慶高考改編)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是__________．(填序號(hào)) ①函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) ②函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1) ③函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2) ④函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2) 2．(2011廣東高考)函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值． 3．若函數(shù)f(x)＝ax－ln x在處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為__________． 4．函數(shù)f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1處有極值10，則a，b的值分別為______． 5．若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值，則a＝__________. 6．如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝______；函數(shù)f(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝______，函數(shù)的極值點(diǎn)為______． 7．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1時(shí)有極值0，則m＝__________，n＝__________. 8．函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________． 9．(2012重慶高考)設(shè)f(x)＝aln x＋＋＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 10．設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝aln x＋bx2＋x的兩個(gè)極值點(diǎn)． (1)試確定常數(shù)a和b的值； (2)試判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說明理由．  參考答案 1答案：④　解析：由圖可得函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的零點(diǎn)為－2,1,2，則當(dāng)x＜1時(shí)，1－x＞0，此時(shí)在(－∞，－2)上f(x)＞0，f′(x)＞0，在(－2,1)上f(x)＜0，f′(x)＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，1－x＜0，此時(shí)在(1,2)上f(x)＞0，f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f(x)＜0，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－2)為增函數(shù)，在(－2,2)為減函數(shù)，在(2，＋∞)為增函數(shù)，因此f(x)有極大值f(－2)，極小值f(2)，故填④. 2答案：2　解析：f(x)＝x3－3x2＋1，f′(x)＝3x2－6x. 令f′(x)＞0，解得x＜0或x＞2. 令f′(x)＜0，解得0＜x＜2. 所以函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝2處取得極小值. 3答案：　解析：，令，即，解得. 4答案：－4,11　解析：∵f′(x)＝3x2－2ax－b，f′(1)＝3－2a－b＝0，f(1)＝1－a－b＋a2＝10，解得a＝3或－4，當(dāng)a＝3時(shí)，b＝－3，當(dāng)a＝－4時(shí)，b＝11.a＝3，b＝－3時(shí)，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，此時(shí)x＝－1不是f(x)的極值點(diǎn)，應(yīng)舍去. 5答案：3　解析：.∵f(x)在x＝1處取得極值，∴f′(1)＝＝0.∴a＝3. 6答案：2?。?　x＝2 7答案：2　9　解析：f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由題意，f′(－1)＝3－6m＋n＝0，f(－1)＝－1＋3m－n＋m2＝0，解得或 但m＝1，n＝3時(shí)，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，此時(shí)x＝－1不是f(x)的極值點(diǎn)，應(yīng)舍去. 經(jīng)檢驗(yàn)m＝2，n＝9符合題意. 8答案：a＞2或a＜－1　解析：∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)， 令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0. ∵函數(shù)f(x)有極大值和極小值， ∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1. 9答案：解：(1)因f(x)＝aln x＋＋＋1，故.由于曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0，即f′(1)＝0，從而，解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋＋1(x＞0)， . 令f′(x)＝0，解得x1＝1， (因不在定義域內(nèi)，舍去). 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù).故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3. 10答案：解：(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x， ∴f′(x)＝＋2bx＋1. 由題意可知，f′(1)＝f′(2)＝0，即 解方程組得 ∴f(x)＝ln x－x2＋x. (2)f′(x)＝x－1－x＋1. 原函數(shù)定義域?yàn)?0，＋∞)， 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0.故在x＝1處函數(shù)f(x)取得極小值，在x＝2處函數(shù)取得極大值.