高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明過關(guān)檢測 蘇教版選修2-21

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高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明過關(guān)檢測 蘇教版選修2-2 (時(shí)間90分鐘，滿分100分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題4分，滿分56分) 1．如果f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，則＋＋…＋等于__________． 2．若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM、ON上分別有點(diǎn)M1、M2與點(diǎn)N1、N2，則三角形面積之比為：＝.若從點(diǎn)O所作的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點(diǎn)P1、P2與點(diǎn)Q1、Q2和R1、R2，則類似的結(jié)論為：__________. 3．根據(jù)圖中的5個(gè)圖形及相應(yīng)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測第n個(gè)圖中有__________個(gè)點(diǎn)． 4．三段論：“①只有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港；②這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的；③所以這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的．”中的“小前提”是__________． 5．設(shè)S(n)＝＋＋＋＋…＋，則S(n)共有__________項(xiàng)，S(2)＝__________. 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程如下： ①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式成立． 由此可知對任何n∈N*，等式都成立． 上述證明的錯(cuò)誤是__________． 7．F(n)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，若F(k)(k∈N*)真，則F(k＋1)真，現(xiàn)已知F(7)不真，則有①F(8)不真；②F(8)真；③F(6)不真；④F(6)真；⑤F(5)不真；⑥F(5)真．其中真命題是__________． 8．從1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，歸納出一般的式子是__________． 9．已知a＞b＞0，且ab＝1，若0＜c＜1，p＝logc，q＝logc()2，則p、q的大小關(guān)系是__________． 10．在橢圓中，我們有如下結(jié)論：橢圓＋＝1上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線＋＝0上，類比上述結(jié)論，得到正確的結(jié)論為：雙曲線－＝1上斜率為1的弦的中點(diǎn)在直線__________上． 11．在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)ar＝as(r≠s)時(shí)，數(shù)列{an}必定是常數(shù)列．然而在等比數(shù)列{an}中，對某些正整數(shù)r，s(r≠s)，當(dāng)ar＝as時(shí)，非常數(shù)數(shù)列{an}的一個(gè)例子是__________． 12．將正奇數(shù)排列如下表，其中第i行第j個(gè)數(shù)表示aij(i∈N*，j∈N*)，例如a32＝9，aij＝2 009，則i＋j＝__________. 13．在平面上的n個(gè)圓中，每兩個(gè)圓都相交，每三個(gè)圓不交于一點(diǎn)，則它們把平面分成__________部分． 14．{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1＝0，a2＝3，an＋1an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3,4,5，…，則a3＝__________. 二、解答題(本大題共4小題，滿分44分) 15．(10分)如圖，已知平面α∩平面β＝直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a＝A，c∥a.求證：b與c是異面直線． 16.(10分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4； (2)由(1)猜想{an}的通項(xiàng)公式an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想． 17．(12分)下列命題是真命題還是假命題，用分析法證明你的結(jié)論．命題：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，則＜. 18．(12分)已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9，是否存在自然數(shù)m，使對任意n∈N*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大值的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由． 參考答案 1．2 009　解析：令x＝n(n∈N*)，y＝1得f(n＋1)＝f(n)f(1)＝f(n)，所以＝1，所以＋＋…＋＝1＋1＋…＋1＝2 009. 2.＝ 3．n2－n＋1　解析：如設(shè)第n個(gè)圖中的點(diǎn)數(shù)為an，則有a1＝1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝32－2，a4＝13＝42－3，a5＝21＝52－4.故an＝n2－(n－1)＝n2－n＋1. 4．②　解析：①的意思是：如果船不準(zhǔn)時(shí)起航，那么它就不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港，它的逆否命題是：如果船準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港，那么它是準(zhǔn)時(shí)起航．由此可知，①是大前提，②是小前題． 5．n2－n＋1　　解析：從n到n2共有n2－n＋1個(gè)自然數(shù)，即S(n)共有n2－n＋1項(xiàng)．S(2)＝＋＋＝. 6．在證明n＝k＋1時(shí)，沒有用假設(shè)n＝k時(shí)的結(jié)論 7．③⑤　解析：“F(k)真?F(k＋1)真”等價(jià)于“F(k＋1)假?F(k)假”． 8．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n－1(n∈N*)　解析：1－4＝－(1＋2)＝(－1)2－1，1－4＋9＝1＋2＋3＝(－1)3－1，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)＝(－1)4－1，由此可歸納出結(jié)論． 9．p＞q　解析：∵≥ab＝1， ∴p＝logc＜0. 又q＝logc()2＝logc ＞logc＝logc＞0， ∴q＞p. 10.－＝0 11．1，－1,1，－1，…(不唯一) 12．60　解析：2 009是正奇數(shù)1,3,5，…中的第1 005個(gè)，則1 005＝1＋2＋3＋…＋(i－1)＋j＝＋j. 估算：當(dāng)i＝45時(shí)，＝990，j＝15，所以i＋j＝60. 13．n2－n＋2　解析：n＝1時(shí)，a1＝2； n＝2時(shí)，a2＝4＝a1＋2＝a1＋21； n＝3時(shí)，a3＝8＝a2＋4＝a2＋22； n＝4時(shí)，a4＝14＝a3＋6＝a3＋23； … an＋1＝an＋2n. 由 ?an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋21＋2＝n2－n＋2. 14．2　解析：由已知a4a3＝(a2＋2)(a1＋2)＝52＝101， ∴a3可能取值1,2,5,10. 若a3＝1，a4＝10， 從而a5＝＝＝， 顯然a5不是非負(fù)整數(shù)，與題設(shè)矛盾． 若a3＝10，則a4＝1，從而a5＝60. 但再計(jì)算a6＝，也與題設(shè)矛盾． ∴a3＝2，a4＝5(或a3＝5，a4＝2?a5?N*，舍去)． 15．證明：假設(shè)b、c不是異面直線，即b與c共面， 設(shè)b與c確定的平面為γ，則γ∩α＝b，γ∩β＝c， ∵a∥c，∴α∥γ.又a?α，且α∩γ＝b， ∴a∥b，這與a∩b＝A矛盾． 因此b與c不可能共面，故b與c是異面直線． 16．解：(1)由4an＋1－anan＋1＋2an＝9得 an＋1＝＝2－， 求得a2＝，a3＝，a4＝. (2)猜想an＝. 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，猜想成立． ②設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)(k∈N＋)時(shí)，猜想成立，即ak＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有ak＋1＝2－＝2－＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立． ③綜合①②，猜想對任何n∈N＋都成立． 17．解：此命題是真命題． ∵a＋b＋c＝0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0. 要證＜成立，只要證＜a， 即證b2－ac＜3a2，也就是證(a＋c)2－ac＜3a2， 即證(a－c)(2a＋c)＞0， ∵a－c＞0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b＞0， ∴(a－c)(2a＋c)＞0成立． 故原不等式成立． 18．解：由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1 224，猜想f(n)被36整除． 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，猜想顯然成立． ②設(shè)n＝k時(shí)，f(k)能被36整除． 則n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]3k＋1＋9＝3[(2k＋7)3k＋9]＋18(3k－1－1)， 根據(jù)假設(shè)3[2(k＋7)3k＋9]被36整除，而3k－1－1是偶數(shù)， ∴18(3k－1－1)能被36整除，從而f(k＋1)能被36整除． 綜上所述，n∈N*時(shí)，f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故36是整除f(n)的自然數(shù)中的最大數(shù)．