《江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 3個附加題綜合仿真練(六)(理)(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 自主加餐的3大題型 3個附加題綜合仿真練(六)(理)(含解析)(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、3個附加題綜合仿真練(六)(理科)
1.本題包括A、B、C三個小題,請任選二個作答
A.[選修4-2:矩陣與變換]
已知矩陣A=,B=.
(1)求AB;
(2)若曲線C1:+=1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2,求C2的方程.
解:(1)因?yàn)锳=,B=,
所以AB==.
(2)設(shè)Q(x0,y0)為曲線C1上的任意一點(diǎn),
它在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x,y),
則=,即所以
因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0,y0)在曲線C1上,則+=1,
從而+=1,即x2+y2=8.
因此曲線C1在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到曲線C2:x2+y2=8.
B.[選修4-4:坐標(biāo)系與參
2、數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=β,若圓C與直線l相切,求直線l的極坐標(biāo)方程.
解:圓的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=1,
設(shè)直線l對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為y=kx,
因?yàn)閳AC與直線l相切,
所以d==1,得到k=±,
故直線l的極坐標(biāo)方程θ=或θ=.
C.[選修4-5:不等式選講]
已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),且a2+b2=4,c2+d2=16,證明:ac+bd≤8.
證明:由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
因?yàn)閍2+b2=4,c2+d2=1
3、6,
所以(ac+bd)2≤64,
因此ac+bd≤8.
2.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,D為CC1上任意一點(diǎn)(含端點(diǎn)).
(1)若D為CC1的中點(diǎn),求異面直線BA1與AD所成角的余弦值;
(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C1重合時,求二面角A1BDA的正弦值.
解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,易知A(0,0,0),B(0,-2,0),A1(0,0,2),C1(2,0,2),
所以=(0,-2,0),=(0,2,2).
(1)若D為CC1的中點(diǎn),則=(2,0,1),
設(shè)直線BA1與直線AD的夾角為θ,
則cos θ===,
因此異
4、面直線BA1與AD所成角的余弦值為.
(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C1重合時,易知D(2,0,2),則=(2,2,2),
設(shè)平面A1BD的法向量為m=(x,y,z),
則即
取y=1,解得x=0,z=-1,即平面A1BD的一個法向量為m=(0,1,-1),
同理,可得平面ABD的一個法向量為n=(-1,0,1).
設(shè)二面角A1BDA的大小為α,
則|cos α|===,
因?yàn)棣痢蔥0,π],所以sin α==,
因此二面角A1BDA的正弦值為.
3.已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,對任意的n∈N*,都有an+1=an+.
(1)求證:當(dāng)n≥2時,an≥2;
(2)利用“?x
5、>0,ln(1+x)<x”,證明:an<2e (其中e是自然對數(shù)的底數(shù)).
證明:(1)①由題意,a2=×1+=2,故當(dāng)n=2時,a2=2,不等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時不等式成立,即ak≥2,則當(dāng)n=k+1時,ak+1=ak+>2.
所以,當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.
根據(jù)①②可知,對所有n≥2,an≥2成立.
(2)當(dāng)n≥2時,由遞推公式及(1)的結(jié)論有an+1=an+≤an(n≥2).
兩邊取對數(shù),并利用已知不等式ln(1+x)<x,得
ln an+1≤ln+ln an<ln an++,
故ln an+1-ln an<+(n≥2),
求和可得ln an-ln a2<++…++++…+
=++…++·=-+-<.
由(1)知,a2=2,故有l(wèi)n<,
即an<2e (n≥2),
而a1=1<2e,所以對任意正整數(shù)n,有an<2e.
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