2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《幾何證明》壓軸題((有答案))

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1、幾何證明壓軸題（中考） 1、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (1) 求證：DC=BC; (2) E是梯形內(nèi)一點，F(xiàn)是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結(jié)論； (3) 在（2）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠BEC=135°時，求sin∠BFE的值. 2、已知：如圖，在□ABCD 中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G． （1）求證：△ADE≌△CBF； （2）若四邊形 BEDF

2、是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論． 3、如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)． （1）如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； 圖13－1 A( G ) B( E ) C O D( F ) 圖13－2 E A B D G F O M

3、 N C （2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13－3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． 圖13－3 A B D G E F O M N C 4、如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD、BD、OC、OD，且OD＝5。 （1）若，求CD的長； （2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留）

4、。 5、如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直線AB于點G. （1）求證：點F是BD中點； （2）求證：CG是⊙O的切線； （3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑． 6、如圖，已知O為原點，點A的坐標(biāo)為（4，3）， ⊙A的半徑為2．過A作直線平行于軸，點P在直線上運動． （１）當(dāng)點P在⊙O上時，請你直接寫出它的坐標(biāo)； （２

5、）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由. 7、如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點，過點B作DE的垂線，垂足為點C. 求證：∠ACB=∠OAC. C A B D O E 8、如圖１，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角α為． ⑴求AO與BO的長； ⑵若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行. ①如圖2，設(shè)A點下滑到C點，B點向右滑行到D點，并且AC:BD=2:3，試計算梯子頂端A沿NO下滑多少

6、米； ②如圖３，當(dāng)A點下滑到A’點，B點向右滑行到B’點時，梯子AB的中點P也隨之運動到P’點．若∠POP’＝ ，試求AA’的長． [解析] ⑴中,∠O=,∠α= ∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米， ∴米. 幾何證明壓軸題（中考）解析 1、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (4) 求證：DC=BC; (5) E是梯形內(nèi)一點，F(xiàn)是梯形外一點，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證明你的結(jié)論； (6) 在（2）的條件下，當(dāng)BE：

7、CE=1：2，∠BEC=135°時，求sin∠BFE的值. [解析] （1）過A作DC的垂線AM交DC于M, 則AM=BC=2. 又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC. (2)等腰三角形. 證明：因為. 所以，△DEC≌△BFC 所以，. 所以， 即△ECF是等腰直角三角形. （3）設(shè),則，所以. 因為，又，所以. 所以 所以. 2、已知：如圖，在□ABCD 中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G． （1）求證：△ADE≌△CBF； （2）若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論

8、． [解析] （1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ． ∵點E 、F分別是AB、CD的中點， ∴AE＝AB ，CF＝CD ． ∴AE＝CF ∴△ADE≌△CBF ． （2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時， 四邊形 AGBD是矩形． ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC ． ∵AG∥BD ， ∴四邊形 AGBD 是平行四邊形． ∵四邊形 BEDF 是菱形， ∴DE＝BE ． ∵AE＝BE ， ∴AE＝BE＝DE ． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°．

9、 ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°． ∴四邊形AGBD是矩形 3、如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)． （1）如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； 圖13－1 A( G ) B( E ) C O D( F ) 圖13－2 E A B D G F O M N C （2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)

10、到如圖13－3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． 圖13－3 A B D G E F O M N C [解析]（1）BM=FN． 證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形， ∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN． （2） BM=FN仍然成立． （3） 證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD

11、是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN． 4、如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD、BD、OC、OD，且OD＝5。 （1）若，求CD的長； （2）若 ∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留）。 [解析] （1）因為AB是⊙O的直徑，OD＝5 所以∠ADB＝90°，AB＝10 在Rt△ABD中， 又，所以，所以 因為∠ADB＝90°，AB⊥CD 所以 所以 所以 所以

12、 （2）因為AB是⊙O的直徑，AB⊥CD 所以 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因為AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO 設(shè)∠ADO＝4x，則∠CDB＝4x 由∠ADO：∠EDO＝4：1，則∠EDO＝x 因為∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以 所以x＝10° 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100° 5、如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交直

13、線AB于點G. （1）求證：點F是BD中點； （2）求證：CG是⊙O的切線； （3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑． [解析] (1)證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF ∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD (2)方法一：連接CB、OC， ∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°∵F是BD中點， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切線---------6′ 方法二：可證明△OCF≌△OBF(參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分) (3)解：由FC=FB=FE得：∠F

14、CE=∠FEC 可證得：FA＝FG，且AB＝BG 由切割線定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2　 由、得：FG2-4FG-12=0 解之得：FG1＝6，F(xiàn)G2＝－2（舍去） ∴AB＝BG＝ ∴⊙O半徑為2 6、如圖，已知O為原點，點A的坐標(biāo)為（4，3）， ⊙A的半徑為2．過A作直線平行于軸，點P在直線上運動． （１）當(dāng)點P在⊙O上時，請你直接寫出它的坐標(biāo)； （２）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由. [解析] 解: ⑴點P的坐標(biāo)是（2,3）或（6,3）

15、 ⑵作AC⊥OP,C為垂足. ∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1 ∴△ACP∽△OBP ∴ 在中,,又AP=12-4=8, ∴ ∴AC=≈1.94 ∵1.94<2 ∴OP與⊙A相交. 7、如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點，過點B作DE的垂線，C A B D O E 垂足為點C. 求證：∠ACB

16、=∠OAC. [解析]證明：連結(jié)OE、AE，并過點A作AF⊥DE于點F， （3分） ∵DE是圓的一條切線，E是切點，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC. ∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.∵OA=OE，∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2. 又∵點A是OB的中點， ∴點F是EC的中點. ∴AE=AC. ∴∠1=∠2. ∴∠4=∠2=∠1. 即∠ACB=∠OAC. 8、如圖１，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角α為． ⑴求AO與BO的長； ⑵若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行. ①如圖2，設(shè)A點下滑到C點，

17、B點向右滑行到D點，并且AC:BD=2:3，試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米； ②如圖３，當(dāng)A點下滑到A’點，B點向右滑行到B’點時，梯子AB的中點P也隨之運動到P’點．若∠POP’＝ ，試求AA’的長． [解析]⑴中,∠O=,∠α= ∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米，∴米. 米. -------------- (3分) ⑵設(shè)在中, 根據(jù)勾股定理: ∴ ------------- (5分) ∴ ∵　　∴ ∴ ------- (7分) AC=2x= 即梯子頂端A沿NO下滑了米. ---- (8分) ⑶∵點P和點分別是的斜邊AB與的斜邊的中點 ∴， ------------- (9分) ∴------- (10分) ∴∴ ∵∴ ---- (11分) ∴----- (12分)∴米.