（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)、平面向量與解三角形 第3講 解三角形練習(xí)

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1、第3講 解三角形 A級(jí)——高考保分練 1．(2019·宿遷中學(xué)檢測)在△ABC中，已知AC＝2，BC＝，∠BAC＝60°，則AB＝________. 解析：在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，得AB2－2AB－3＝0，又AB>0，所以AB＝3. 答案：3 2．在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝________. 解析：∵cos＝， ∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32， ∴AB＝4. 答案：4

2、 3．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，則B＝________. 解析：由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝.又因?yàn)閎>a，所以B＝或. 答案：或 4．(2019·南京學(xué)情調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3，且b－c＝2，cos A＝－，則a＝________. 解析：在△ABC中，cos A＝－， 所以sin A＝＝， 由S△ABC＝bcsin A＝bc×＝3得bc＝24， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b－c)2＋2bc－2bccos A＝22＋48＋12＝64，即a

3、＝8. 答案：8 5．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2b＝a＋c，若sin B＝，cos B＝，則b的值為________． 解析：∵sin B＝，cos B＝，sin2B＋cos2B＝1，∴ac＝15，又∵2b＝a＋c，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－18＝(a＋c)2－48＝4b2－48，解得b＝4. 答案：4 6．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝b，A－B＝，則C＝________. 解析：因?yàn)椤鰽BC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，因?yàn)閍＝b，所以由正弦定理得sin A＝s

4、in B，所以cos B＝sin B，所以tan B＝，因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝. 答案： 7．(2019·運(yùn)河中學(xué)期中)在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，則△ABC的面積為________． 解析：因?yàn)閍2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0

5、，B＝30°，△ABC的面積為，則b＝________. 解析：因?yàn)镾△ABC＝acsin B＝ac＝，所以ac＝6.因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以a＋c＝2b，所以a2＋c2＝4b2－2ac＝4b2－12.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝4＋2＝(1＋)2.因?yàn)閎>0，所以b＝1＋. 答案：1＋ 9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為4，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，則其周長為________． 解析：因?yàn)椤鰽BC的面積為4，所以acsin B＝4.因?yàn)?bcos A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋

6、sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2sin Acos B，因?yàn)閟in A≠0，所以cos B＝，因?yàn)?

7、－b.在△ACD和△ABD中，由余弦定理，得即兩式相加，得b2＋c2＝2AD2＋2，則AD2＝－1＝－1＝(b－2)2＋3.因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以即解得

8、∴cos C＝＝＝， ∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝. 12．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝. (1)求AB的長； (2)求cos的值． 解：(1)因?yàn)閏os B＝，0＜B＜π， 所以sin B＝ ＝ ＝. 由正弦定理知＝， 所以AB＝＝＝5. (2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)， 于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos ＝－cos Bcos＋sin Bsin. 又cos B＝，sin B＝， 故cos A＝－×＋×＝－. 因?yàn)?＜A＜π，所以sin A＝＝. 因此cos＝cos Acos＋sin Asin

9、 ＝－×＋×＝. B級(jí)——難點(diǎn)突破練 1.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4 m的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是________ m2. 解析：如圖，由題意可得∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2， 于是矢＝4－2＝2. 由AD＝AO·sin ＝4×＝2， 可得弦長AB＝2AD＝2×2＝4. 所以

10、弧田面積＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)． 答案：9 2．(2019·南師附中檢測)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝，acos B＋bsin A＝c，則△ABC的面積的最大值為________． 解析：由acos B＋bsin A＝c得sin Acos B＋sin Bsin A＝sin C，所以sin Acos B＋sin Bsin A＝sin(A＋B)， 所以sin Bsin A＝cos Asin B， 因?yàn)?

11、ccos A，得2＝b2＋c2－bc， 所以2＋bc＝b2＋c2≥2bc，所以bc≤2＋， 所以S△ABC＝bcsin A≤. 答案： 3．在△ABC中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足＝sin C＋cos C. (1)求角B的大?。? (2)若a，b，a＋c成等比數(shù)列，求的值． 解：(1)因?yàn)椋絪in C＋cos C， 所以sin A＝sin Bsin C＋sin Bcos C，(*) 在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin(B＋C)， 所以(*)式等價(jià)于sin(B＋C)＝sin Bsin C＋sin Bcos C， 所以sin Bcos C＋

12、cos Bsin C＝sin Bsin C＋sin Bcos C， 即cos Bsin C＝sin Bsin C， 因?yàn)閟in C≠0，所以cos B＝sin B， 又因?yàn)閏os B≠0，所以tan B＝， 因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝. (2)由(1)得，B＝， 由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－ac， 又因?yàn)閍，b，a＋c成等比數(shù)列， 所以b2＝a(a＋c)，即b2＝a2＋ac， 所以c2＝2ac，即c＝2a， 由正弦定理得，＝＝. 4.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，已知2sin2 －sin C＝1，a＝，b＝4. (1)求角C

13、的大小和BD的長； (2)設(shè)∠ACB的角平分線交BD于E，求△CED的面積． 解： (1)由題設(shè)得sin C＋1－2sin2 ＝0， 所以sin C＋cos(A＋B)＝0， 又A＋B＝π－C，所以sin C－cos C＝0， 所以tan C＝. 因?yàn)?