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1、培優(yōu)點(diǎn)十一 數(shù)列求通項(xiàng)公式
一、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
例1：根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（1），，，，；
（2），，，，；
（3），，，；；
（4），，，，．
【答案】（1），；（2），；
（3），；（4）．
【解析】（1）各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式，．
（2）這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，
所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式，．
（3）這個(gè)數(shù)列，去掉負(fù)號(hào)，可發(fā)現(xiàn)是一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為，
所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為，．
（4）將原數(shù)列改寫為，，，易知數(shù)列，，，的通項(xiàng)為，
故
2、數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．
二、由 與 的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式
例2：（1）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則．
（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，得，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）∵，當(dāng)時(shí)，，
∴，即．
當(dāng)時(shí)，，得．
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴．
三、由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式
例3：（1）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（3）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）累加法
3、
由題意得，，，，
以上各式相加，得．
又∵，∴．
∵當(dāng)時(shí)也滿足上式，∴．
（2）累乘法
∵，
∴，，，．
以上個(gè)式子相乘得．
當(dāng)時(shí)，，上式也成立．
∴．
（3）構(gòu)造法
∵，∴，∴，
∴數(shù)列為等比數(shù)列，公比，
又，∴，∴．
對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、選擇題
1．?dāng)?shù)列，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解法一：特例淘汰法．
令，淘汰D選項(xiàng)，令，淘汰A，B選項(xiàng)．
解法二：數(shù)列變形為，，，，分子、分母都是等差數(shù)列，分子，分母．
故選C．
2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
4、
【解析】當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故選C．
3．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，由，得，即．
由，得，則數(shù)列前項(xiàng)和，故選C．
4．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
得到，所以．故選C．
5．已知滿足，且，則的最小值為（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知條件可知，當(dāng)時(shí)，
．
又時(shí)，滿足此式．
所以．
令，則在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
又，，則，
故的最小值為，故選D．
6．已知數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項(xiàng)
5、公式為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得．
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，
所以，即．
7．?dāng)?shù)列滿足，若，則（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
所以，所以，所以．
由此可知，該數(shù)列是一個(gè)周期為的周期數(shù)列，
所以．
8．已知數(shù)列滿足，，且，，則（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，
又∵，∴，
∵，∴，則，
于是得到，
上述所有等式全部相加得，
因此，故選B．
二、填空題
9．設(shè)數(shù)列滿足，，則通項(xiàng)公式．
【答案】
【解析】由，得，
所以，
又適合上
6、式，故．
10．已知函數(shù)，且，則．
【答案】
【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
為定值，所以．
故填．
11．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，該數(shù)列的項(xiàng)排成一個(gè)數(shù)陣（如圖），則該數(shù)陣中的
第行第個(gè)數(shù)為．
【答案】
【解析】由題意可得該數(shù)陣中的第行，
第個(gè)數(shù)為數(shù)列的第項(xiàng)，
而，故該數(shù)陣第行、第個(gè)數(shù)為．
三、解答題
12．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．
（1），，，；
（2），，，，，；
（3），，，，；
（4），，，，，，，，．
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）．
【解析】（1）將各項(xiàng)改寫如下，
，，，，，
易知．
（2）將各項(xiàng)絕對(duì)
7、值改寫如下，
，，，，，．
綜合考查分子、分母，以及各項(xiàng)符號(hào)可知．
（3）或．
（4）觀察數(shù)列可知，奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，
所以．
13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是．
（1）若，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？為何值時(shí)，有最小值？并求出最小值；
（2）對(duì)于，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，時(shí)，有最小值，最小值為；（2）．
【解析】（1）由，解得．
因?yàn)椋?，所以?shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為，．
因?yàn)椋?
由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)或時(shí)，有最小值，其最小值為．
（2）由于對(duì)于，都有知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，
又因?yàn)橥?xiàng)公式，可以看作是關(guān)于的二
8、次函數(shù)，考慮到，
所以，即得．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
14．為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，可知．
可得，
即．
由于，可得．
又，解得（舍去）或．
所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為．
（2）由可知，．
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則
．
15．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且．
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，求的最小值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：由，得，
所以．
由，可得，
又，所以，得．
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，所以．
所以
，
，
所以，
因?yàn)閷?duì)，，所以的最小值為．
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2020屆高考數(shù)學(xué) 專題十一 數(shù)列求通項(xiàng)公式精準(zhǔn)培優(yōu)專練 理
