《廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢九 解析幾何 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 單元質(zhì)檢九 解析幾何 文（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、單元質(zhì)檢九 解析幾何
(時(shí)間:100分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.(2018全國(guó)Ⅰ,文4)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為( )
A.13 B.12 C.22 D.223
答案C
解析因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),所以其焦點(diǎn)在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22.
2.到直線3x-4y+1=0的距離為3,且與此直線平行的直線方程是( )
A.3x-4y+4=0
B.3x-4y+4=0
2、或3x-4y-2=0
C.3x-4y+16=0
D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0
答案D
解析設(shè)所求直線方程為3x-4y+m=0,
由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.
即所求直線方程為3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.
3.與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有( )
A.2條 B.3條 C.4條 D.6條
答案C
解析過(guò)原點(diǎn)與圓x2+(y-2)2=1相切的直線有2條;斜率為-1且與圓x2+(y-2)2=1相切的直線也有2條,且此兩條切線不過(guò)原點(diǎn),由此可得與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的
3、直線共有4條.
4.若雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別為橢圓x22+y2=1的焦點(diǎn)和頂點(diǎn),則該雙曲線的方程為( )
A.x2-y2=1 B.x22-y2=1
C.x2-y22=1 D.x23-y22=1
答案A
解析橢圓x22+y2=1的焦點(diǎn)位于x軸,且a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,據(jù)此可知,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0),x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0),
結(jié)合題意可知,雙曲線的焦點(diǎn)位于x軸,且c=2,a=1,b=1,
則該雙曲線方程為x2-y2=1.
5.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(diǎn)(-c,0)和(
4、c,0),若c是a,m的等比中項(xiàng),n2是2m2與c2的等差中項(xiàng),則橢圓的離心率是( )
A.33 B.22 C.14 D.12
答案D
解析由題意可知2n2=2m2+c2,
又m2+n2=c2,所以m=c2.
因?yàn)閏是a,m的等比中項(xiàng),
所以c2=am,代入m=c2,解得e=ca=12.
6.過(guò)點(diǎn)A(0,3),被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長(zhǎng)為23的直線方程是( )
A.y=-43x+3 B.x=0或y=-43x+3
C.x=0或y=43x+3 D.x=0
答案B
解析當(dāng)弦所在的直線斜率不存在時(shí),即弦所在直線方程為x=0;此時(shí)被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長(zhǎng)為
5、23.
當(dāng)弦所在的直線斜率存在時(shí),設(shè)弦所在直線l的方程為y=kx+3,即kx-y+3=0.
因?yàn)橄议L(zhǎng)為23,圓的半徑為2,
所以弦心距為22-(3)2=1.
由點(diǎn)到直線距離公式得|k+3|k2+(-1)2=1,解得k=-43.
綜上所述,所求直線方程為x=0或y=-43x+3.
7.(2018吉林長(zhǎng)春第二次質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F2且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),則△ABF1內(nèi)切圓的半徑為( )
A.43 B.1 C.45 D.34
答案D
解析由x24+y23=1得a=2,c=1,根據(jù)橢圓的定義可知△ABF1的周長(zhǎng)為4a
6、=8,△ABF1的面積為12|F1F2|×|yA-yB|=12×2×3=3=12×8×r,解得r=34,故選D.
8.(2018山東德州期末)若雙曲線的中心為原點(diǎn),F(0,-2)是雙曲線的焦點(diǎn),過(guò)F的直線l與雙曲線相交于M,N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)為P(3,1),則雙曲線的方程為( )
A.x23-y2=1 B.y2-x23=1
C.y23-x2=1 D.x2-y23=1
答案B
解析由題意設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),
M(x1,y1),N(x2,y2),則y12a2-x12b2=1,且y22a2-x22b2=1,
則(y1+y2)(y1-y2)
7、a2=(x1+x2)(x1-x2)b2,
即2(y1-y2)a2=6(x1-x2)b2,
則y1-y2x1-x2=6a22b2=1-(-2)3-0=1,
即b2=3a2,則c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3,
即該雙曲線的方程為y2-x23=1.故選B.
9.設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條漸近線與直線x=a2c分別交于A,B兩點(diǎn),F為該雙曲線的右焦點(diǎn).若60°<∠AFB<90°,則該雙曲線的離心率的取值范圍是( )
A.(1,2) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,+∞)
答案B
解析雙曲線x2a2-y2b2=1的兩條漸近線方程為y=±bax,
當(dāng)x=a
8、2c時(shí),y=±abc,
所以不妨令A(yù)a2c,abc,Ba2c,-abc.
因?yàn)?0°<∠AFB<90°,所以33
9、軸長(zhǎng)為m,可得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,可得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,
由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,
即有4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2,
由離心率公式可得1e12+3e22=4,e1e2=1,
即有e24-4e22+3=0,解得e2=3.
11.已知拋物線y2=2px(p>0)與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)A,B(A,B異于原點(diǎn)),拋物線的焦點(diǎn)為F.若雙曲線的離心率為2,|AF|=7,則
10、p=( )
A.3 B.6 C.12 D.42
答案B
解析因?yàn)殡p曲線的離心率為2,
所以e2=c2a2=a2+b2a2=4,即b2=3a2,
所以雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線方程為y=±3x,代入y2=2px(p>0),
得x=23p或x=0,故xA=xB=23p.
又因?yàn)閨AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以p=6.
12.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線l的距離不小于45,則橢圓E的離心率的取值范圍是(
11、)
A.0,32 B.0,34 C.32,1 D.34,1
答案A
解析如圖,取橢圓的左焦點(diǎn)F1,連接AF1,BF1.
由橢圓的對(duì)稱性知四邊形AF1BF是平行四邊形,
則|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.
不妨設(shè)M(0,b),則|3×0-4b|32+(-4)2≥45,即b≥1.
所以e=ca=1-ba2≤1-122=32.
因?yàn)?
12、標(biāo)為 .?
答案(1,0)
解析由題知直線l的方程為x=1,則直線與拋物線的交點(diǎn)為(1,±2a)(a>0).
又直線被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4,所以4a=4,即a=1.
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).
14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為 .?
答案y=±22x
解析拋物線x2=2py的焦點(diǎn)F0,p2,準(zhǔn)線方程為y=-p2.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則|AF|+|BF|=y1+p2+
13、y2+p2
=y1+y2+p=4|OF|=4·p2=2p.
所以y1+y2=p.
聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,
消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.
所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.
所以該雙曲線的漸近線方程為y=±22x.
15.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,已知點(diǎn)C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A,若∠FAC=120°,則圓的方程為 .?
答案(x+1)2+(y-3)2=1
解析∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,
由題意可設(shè)圓C的方程
14、為(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),則C(-1,b),A(0,b).
∵∠FAC=120°,∴kAF=tan120°=-3,直線AF的方程為y=-3x+3.
∵點(diǎn)A在直線AF上,∴b=3.
則圓的方程為(x+1)2+(y-3)2=1.
16.若關(guān)于x,y的方程x24-t+y2t-1=1所表示的曲線C,給出下列四個(gè)命題:
①若C為橢圓,則14或t<1;
③曲線C不可能是圓;
④若C表示橢圓,且長(zhǎng)軸在x軸上,則10,t
15、-1>0,且4-t≠t-1,
解得14或t<1,所以②正確;
若t=52時(shí),該曲線表示圓,所以③不正確;
若C表示橢圓,且長(zhǎng)軸在x軸上,則4-t>t-1>0,
解得1
16、標(biāo)a的取值范圍.
解(1)由y=2x-4,y=x-1,得圓心C(3,2).
又因?yàn)閳AC的半徑為1,
所以圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=1.
顯然切線的斜率一定存在,
設(shè)所求圓C的切線方程為y=kx+3,
即kx-y+3=0,則|3k-2+3|k2+1=1,
所以|3k+1|=k2+1,即2k(4k+3)=0.
所以k=0或k=-34.
所以所求圓C的切線方程為y=3或y=-34x+3,
即y=3或3x+4y-12=0.
(2)由圓C的圓心在直線l:y=2x-4上,
可設(shè)圓心C為(a,2a-4),
則圓C的方程為(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.
又
17、因?yàn)閨MA|=2|MO|,所以設(shè)M(x,y),
則x2+(y-3)2=2x2+y2,整理得x2+(y+1)2=4.
設(shè)方程x2+(y+1)2=4表示的是圓D,
所以點(diǎn)M既在圓C上又在圓D上,即圓C和圓D有交點(diǎn),
所以2-1≤a2+[(2a-4)-(-1)]2≤2+1,
解得a的取值范圍為0,125.
18.(12分)已知圓心在x軸上的圓C過(guò)點(diǎn)(0,0)和(-1,1),圓D的方程為(x-4)2+y2=4.
(1)求圓C的方程;
(2)由圓D上的動(dòng)點(diǎn)P向圓C作兩條切線分別交y軸于A,B兩點(diǎn),求|AB|的取值范圍.
解(1)過(guò)兩點(diǎn)(0,0)和(-1,1)的直線的斜率為-1,
則線
18、段AB的垂直平分線方程為y-12=1×x+12,整理得y=x+1.取y=0,得x=-1.
所以圓C的圓心坐標(biāo)為(-1,0),半徑為1,
所以圓C的方程為(x+1)2+y2=1.
(2)設(shè)P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),
則直線PA方程為y-ay0-a=xx0,
整理得(y0-a)x-x0y+ax0=0.
因?yàn)橹本€PA與圓C相切,可得|a-y0+ax0|(y0-a)2+x02=1,
化簡(jiǎn)得(x0+2)a2-2y0a-x0=0.
同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,
所以a,b為方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的兩根,
所以|AB|=|a
19、-b|=(a+b)2-4ab
=2y0x0+22+4x0x0+2=22·5x0-6(x0+2)2,
令t=x0+2∈[4,8],則|AB|=22·-16t2+5t,
求得|AB|min=2,|AB|max=524.
|AB|的取值范圍是2,524.
19.(12分)已知A,B是拋物線W:y=x2上的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),直線AB的斜率為k(k>0).設(shè)拋物線W的焦點(diǎn)在直線AB的下方.
(1)求k的取值范圍;
(2)設(shè)C為W上一點(diǎn),且AB⊥AC,過(guò)B,C兩點(diǎn)分別作W的切線,記兩切線的交點(diǎn)為D,判斷四邊形ABDC是否為梯形,并說(shuō)明理由.
解(1)拋物線y=x2的焦點(diǎn)為0,
20、14.
由題意,得直線AB的方程為y-1=k(x-1),
令x=0,得y=1-k,即直線AB與y軸相交于點(diǎn)(0,1-k).
因?yàn)閽佄锞€W的焦點(diǎn)在直線AB的下方,
所以1-k>14,解得k<34.
因?yàn)閗>0,所以0
21、x2求導(dǎo),得y'=2x,
所以拋物線y=x2在點(diǎn)B處的切線BD的斜率為2x1=2k-2,
拋物線y=x2在點(diǎn)C處的切線CD的斜率為2x2=-2k-2.
由四邊形ABDC為梯形,得AB∥CD或AC∥BD.
若AB∥CD,則k=-2k-2,即k2+2k+2=0,
因?yàn)榉匠蘫2+2k+2=0無(wú)解,所以AB與CD不平行.
若AC∥BD,則-1k=2k-2,即2k2-2k+1=0,
因?yàn)榉匠?k2-2k+1=0無(wú)解,所以AC與BD不平行.
所以四邊形ABDC不是梯形,與假設(shè)矛盾.
因此四邊形ABDC不可能為梯形.
20.
(12分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的
22、右焦點(diǎn)為F(2,0),以原點(diǎn)O為圓心,OF為半徑的圓與橢圓在y軸右側(cè)交于A,B兩點(diǎn),且△AOB為正三角形.
(1)求橢圓方程;
(2)過(guò)圓外一點(diǎn)M(m,0)(m>a),作傾斜角為5π6的直線l交橢圓于C,D兩點(diǎn),若點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部,求m的取值范圍.
解(1)∵△AOB為正三角形,且A,B關(guān)于x軸對(duì)稱,OF=2,
∴OA=OF=2.∴yA=1,xA=3,即點(diǎn)A(3,1),
∴3a2+1b2=1,又∵c=2,解得a2=6,b2=2,
故橢圓方程為x26+y22=1.
(2)易知直線l:y=-33(x-m)(m>6),
聯(lián)立x26+y22=1,y=-33(x-m)消
23、去y得2x2-2mx+m2-6=0,
由Δ>0,得4m2-8(m2-6)>0,即-23
24、又∵60),
25、
∴p2=2,解得p=4.
∴拋物線E的方程為y2=8x.
(2)∵2|BC|是|AB|與|CD|的等差中項(xiàng),|BC|=2r,
∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.
∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.
討論:
若l垂直于x軸,則l的方程為x=2,代入y2=8x,
解得y=±4.
此時(shí)|AD|=8,不滿足題意;
若l不垂直于x軸,則設(shè)l的斜率為k(k≠0),此時(shí)l的方程為y=k(x-2),
由y=k(x-2),y2=8x,
得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.
設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=4k2+8k2.
∵拋物線
26、E的準(zhǔn)線方程為x=-2,
∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4,
∴4k2+8k2+4=10,解得k=±2.
當(dāng)k=±2時(shí),k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化為x2-6x+4=0.
∵(-6)2-4×1×4>0,
∴x2-6x+4=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.
∴k=±2滿足題意.
∴存在滿足要求的直線l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.
22.(12分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(-c,0),右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c),△EFA的面積為b22.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)點(diǎn)Q在線段AE上
27、,|FQ|=32c,延長(zhǎng)線段FQ與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)M,N在x軸上,PM∥QN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.
①求直線FP的斜率;
②求橢圓的方程.
解(1)設(shè)橢圓的離心率為e.
由已知,可得12(c+a)c=b22.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.
又因?yàn)?0),
則直線FP的斜率為1m.
由(1)知a=2c,可得直線AE的方程為x2c+yc=1,
即x+2y-2c=0,
與直線FP的方程聯(lián)立,
28、可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2m-2)cm+2,3cm+2.
由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,
整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直線FP的斜率為34.
②由a=2c,可得b=3c,
故橢圓方程可以表示為x24c2+y23c2=1.
由①得直線FP的方程為3x-4y+3c=0,
與橢圓方程聯(lián)立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,
整理得7x2+6cx-13c2=0,
解得x=-13c7(舍去)或x=c.
因此可得點(diǎn)Pc,3c2,
進(jìn)而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,
所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.
由已知,線段PQ的長(zhǎng)即為PM與QN這兩條平行直線間的距離,故直線PM和QN都垂直于直線FP.
因?yàn)镼N⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=3c2×34=9c8,所以△FQN的面積為12|FQ||QN|=27c232,
同理△FPM的面積等于75c232,
由四邊形PQNM的面積為3c,得75c232-27c232=3c,
整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.
所以,橢圓的方程為x216+y212=1.
15
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