（文理通用）江蘇省2020高考數學二輪復習 專題三 解析幾何 第9講 圓錐曲線的基本量計算練習

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1、第9講 圓錐曲線的基本量計算 A級——高考保分練 1．(2019·南京、鹽城一模)若雙曲線－＝1的離心率為2，則實數m的值為________． 解析：由題意，a2＝2，b2＝m，e＝＝2，即c2＝(2a)2＝4a2＝8＝a2＋b2＝2＋m，所以m＝6. 答案：6 2．拋物線y2＝4x的焦點坐標為________． 解析：因為拋物線y2＝4x＝2×2x，所以p＝2，焦點在x軸上，坐標為(1,0)． 答案： (1,0) 3．(2019·蘇錫常鎮(zhèn)調研)若拋物線y2＝2px(p＞0)上一點到焦點和到拋物線對稱軸的距離分別為10和6，則拋物線的標準方程為______________．

2、 解析：因為拋物線y2＝2px(p＞0)上一點到拋物線對稱軸的距離為6，若設該點為P，則P(x0，±6)． 因為P到拋物線焦點F的距離為10， 根據拋物線的定義得x0＋＝10.① 因為P在拋物線上，所以36＝2px0.② 由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1， 所以拋物線的標準方程為y2＝4x或y2＝36x. 答案：y2＝4x或y2＝36x 4．已知雙曲線C的中心在坐標原點，一個焦點(，0)到漸近線的距離等于2，則C的漸近線方程為________． 解析：設雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，則由題意，得c＝.雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，

3、所以＝2，又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，a＝1，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x. 答案：y＝±2x 5．(2019·常州期末)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，直線x＋y＋2＝0經過雙曲線C的焦點，則雙曲線C的漸近線方程為________． 解析：由題意易知雙曲線的焦點在x軸上，因為直線x＋y＋2＝0經過雙曲線C的焦點，所以c＝2，又因為e＝＝2，所以a＝1.由c2＝a2＋b2，得b＝.所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x. 答案：y＝±x 6．(2019·南通、泰州、揚州一調)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線為l，直線l與

4、雙曲線－y2＝1的兩條漸近線分別交于A，B兩點，AB＝，則p的值為________． 解析：拋物線的準線l方程為x＝－，雙曲線的兩條漸近線為y＝±x，令x＝－，則y＝±，所以AB＝＝，所以p＝2. 答案：2 7．(2019·淮陰中學檢測)焦點在x軸上的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，短軸的一個端點和兩個焦點相連構成一個三角形，該三角形內切圓的半徑為，則橢圓的離心率為________． 解析：由短軸的一個端點和兩個焦點相連構成一個三角形，又由三角形面積公式得×2c×b＝(2a＋2c)×，得a＝2c，即e＝＝. 答案： 8．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點

5、，點M在雙曲線E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則雙曲線E的離心率為________． 解析：由題意知F1(－c,0)，因為MF1與x軸垂直，且M在橢圓上，所以MF1＝.在Rt△MF2F1中，sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1＝＝，即＝＝，又b2＝c2－a2，所以c2－a2－2ac＝0，兩邊同時除以a2，得e2－2e－＝0，又e>1，所以e＝. 答案： 9．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于A，B兩點．若△FAB的周長最大時，△FAB的面積為ab，則橢圓的離心率為________． 解析：設直線x＝m與x軸交于點H，橢圓的右焦點為F1

6、，由橢圓的對稱性可知△FAB的周長為2(FA＋AH)＝2(2a－F1A＋AH)，因為F1A≥AH，故當F1A＝AH時，△FAB的周長最大，此時直線AB經過右焦點，從而點A，B坐標分別為，，所以△FAB的面積為·2c·，由條件得·2c·＝ab，即b2＋c2＝2bc，b＝c，從而橢圓的離心率為e＝. 答案： 10.已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B，以線段F1A為直徑的圓交線段F1B的延長線于點P，若F2B∥AP，則該橢圓的離心率是________． 解析：因為點P在以線段F1A為直徑的圓上，所以AP⊥PF1，又因為F2B∥AP，所以F2B⊥

7、BF1.又因為F2B＝BF1，所以△F1F2B是等腰直角三角形，F(xiàn)2B＝BF1＝a，cos 45°＝＝，所以該橢圓的離心率e＝＝. 答案： 11．求分別滿足下列條件的橢圓的標準方程． (1)經過點P(－2，0)，Q(0,2)兩點； (2)與橢圓＋＝1有相同的焦點且經過點(2，－)． 解：(1)由題意，P，Q分別是橢圓長軸和短軸上的端點，且橢圓的焦點在x軸上， 所以a＝2，b＝2，所求橢圓的標準方程為＋＝1. (2)設橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2， 所以F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)， 所以所求橢圓焦點在x軸上， 設方程為＋＝1(a>b>0)． 由題意得 解得

8、a2＝4＋2，b2＝3＋2或a2＝4－2，b2＝3－2(舍去)， 所以橢圓的標準方程為＋＝1. 12．(2018·南通、泰州一調)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，兩條準線之間的距離為4. (1)求橢圓的標準方程； (2)已知橢圓的左頂點為A，點M在圓x2＋y2＝上，直線AM與橢圓相交于另一點B，且△AOB的面積是△AOM的面積的2倍，求直線AB的方程． 解：(1)設橢圓的焦距為2c， 由題意得＝，＝4， 解得a＝2，c＝，所以b＝. 所以橢圓的標準方程為＋＝1. (2)法一：(設點法)因為S△AOB＝2S△AOM， 所以AB＝2A

9、M，所以M為AB的中點． 因為橢圓的方程為＋＝1，所以A(－2,0)． 設M(x0，y0)(－2

10、＋8k2x＋8k2－4＝0， 所以(x＋2)[(1＋2k2)x＋4k2－2]＝0， 解得xB＝. 所以xM＝＝， yM＝k(xM＋2)＝， 代入x2＋y2＝，得2＋2＝， 化簡得28k4＋k2－2＝0， 即(7k2＋2)(4k2－1)＝0，解得k＝±， 所以直線AB的方程為y＝±(x＋2)， 即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0. B級——難點突破練 1．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，P是它們的一個交點，且∠F1PF2＝，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則＋＝________. 解析：設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實半軸長為a2，不妨設點P在第一象限

11、，根據橢圓和雙曲線的定義，得PF1＋PF2＝2a1，PF1－PF2＝2a2，所以PF1＝a1＋a2，PF2＝a1－a2.又F1F2＝2c，∠F1PF2＝，所以在△F1PF2中，F(xiàn)1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，化簡得3a＋a＝4c2，兩邊同除以c2，得＋＝4. 答案：4 2．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F，點A，B是C的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，以AB為直徑的圓過F且交C的左支于M，N兩點，若MN＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為________．

12、 解析：設雙曲線的另一個焦點為F′，由雙曲線的對稱性，四邊形AFBF′是矩形，所以S△ABF＝S△AFF′，即bc＝8，由得y＝±，所以MN＝＝2，所以b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝2，故C的漸近線方程為y＝±x. 答案：y＝±x 3．已知A，B分別為曲線C：＋y2＝1(y≥0，a＞0)與x軸的左、右兩個交點，直線l過點B且與x軸垂直，M為l上位于x軸上方的一點，連接AM交曲線C于點T. (1)若曲線C為半圓，點T為的三等分點，試求出點M的坐標； (2)若a＞1，S△MAB＝2，當△TAB的最大面積為時，求橢圓的離心率的取值范圍． 解：(1)當曲線C為半圓時，得a＝1.

13、由點T為的三等分點，得∠BOT＝60°或120°. 當∠BOT＝60°時，∠MAB＝30°，又|AB|＝2， 故△MAB中，有|MB|＝|AB|·tan 30°＝， 所以M. 當∠BOT＝120°時，同理可求得點M坐標為(1,2)． (2)設直線AM的方程為y＝k(x＋a)， 則k＞0，|MB|＝2ka， 所以S△MAB＝·2a·2ka＝2，所以k＝， 代入直線方程得y＝(x＋a)， 聯(lián)立解得yT＝， 所以S△TAB＝·2a·＝≤， 解得1＜a2≤2， 所以橢圓的離心率e＝ ≤ ， 即橢圓的離心率的取值范圍為. 4.已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)過點，離心率為.

14、 (1)求橢圓E的方程； (2)過橢圓E的左、右焦點F1，F(xiàn)2分別作兩條傾斜角互補的直線F1C和F2B交橢圓E于C，B兩點(C，B在x軸的兩側)，且F1C＋F2B等于橢圓E的長半軸長，求直線F1C的方程． 解：(1)由題意得＋＝1，＝且a2－b2＝c2， 解得a2＝4，b2＝1， 所以橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)延長CF1交橢圓于點B′， 根據橢圓對稱性及直線F1C和F2B傾斜角互補， 知F2B＝F1B′. 因為F1C＋F2B等于橢圓E的長半軸長， 所以CB′＝a＝2. 當直線F1C斜率不存在時， 則F1C＋F2B＝1≠2(不合題意)． 故可設直線F1C的方程為y＝k(x＋)， 與＋y2＝1聯(lián)立， 消去y得(1＋4k2)x2＋8k2x＋12k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以CB′＝ ＝ ·＝2， 解得k＝±. 所以直線F1C的方程為y＝±(x＋)． - 8 -