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1、專題能力訓練10 等差數(shù)列與等比數(shù)列
專題能力訓練第26頁 ?
一、能力突破訓練
1.在等差數(shù)列{an}中,a4+a10+a16=30,則a18-2a14的值為( )
A.20 B.-20 C.10 D.-10
答案:D
解析:因為a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,
所以a18-2a14=-a10=-10.故選D.
2.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若log2(a2·a3·a5·a7·a8)=5,則a1·a9=( )
A.4 B.5 C.2 D.25
答案:A
解析:由題意得log2(a2·a3·a5·a7·a8)=log2a55
2、=5log2a5=5,所以a5=2.所以a1·a9=a52=4.故選A.
3.設(shè){an}是等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項和.對任意正整數(shù)n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,則S101的值為( )
A.2 B.200 C.-2 D.0
答案:A
解析:設(shè)公比為q,∵an+2an+1+an+2=0,
∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q2=0,
∴q2+2q+1=0,∴q=-1.
又a1=2,∴S101=a1(1-q101)1-q=2[1-(-1)101]1+1=2.
4.已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項和是Sn,若a3,a4,a8成等比
3、數(shù)列,則( )
A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0
答案:B
解析:設(shè){an}的首項為a1,公差為d,則a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.
∵a3,a4,a8成等比數(shù)列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.
∵d≠0,∴a1d=-53d2<0,且a1=-53d.
∵dS4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+3d)=-23d2<0,故選B.
5.中國古代數(shù)學專著《九章算術(shù)》中有這樣一題:今有男子善走,日增等里,九日走1 260里,第一日、第四日
4、、第七日所走之和為390里,則該男子第三日走的里數(shù)為 .?
答案:120
解析:由男子善走,日增等里,可知每天走的里數(shù)符合等差數(shù)列,設(shè)這個等差數(shù)列為{an},其公差為d,前n項和為Sn.
根據(jù)題意可知,S9=1260,a1+a4+a7=390,
(方法一)S9=9(a1+a9)2=9a5=1260,∴a5=140.
a1+a4+a7=3a4=390,∴a4=130,
∴d=a5-a4=10,∴a3=a4-d=120.
(方法二)S9=1260,a1+a4+a7=390,即9a1+9×82d=1260,a1+a1+3d+a1+6d=390,
解得a1=100,d=10,∴
5、a3=a1+2d=120.
6.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S10=40,則a3·a8的最大值為 .?
答案:16
解析:因為S10=10(a1+a10)2=40?a1+a10=a3+a8=8,a3>0,a8>0,所以a3·a8≤a3+a822=822=16,當且僅當a3=a8=4時取等號.
7.設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為 .?
答案:64
解析:由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,
兩式相除得a1+a3q(a1+a3)=105,解得q=12,a1=8,
所以a1
6、a2…an=8n·121+2+…+(n-1)=2-12n2+7n2,拋物線f(n)=-12n2+72n的對稱軸為直線n=-722×-12=3.5,
又n∈N*,所以當n=3或4時,a1a2…an取最大值為2-12×32+7×32=26=64.
8.設(shè)x,y,z是實數(shù),若9x,12y,15z成等比數(shù)列,且1x,1y,1z成等差數(shù)列,則xz+zx= .?
答案:3415
解析:由題意知(12y)2=9x×15z,2y=1x+1z,
解得xz=1229×15y2=1615y2,x+z=3215y,
從而xz+zx=x2+z2xz=(x+z)2-2xzxz=(x+z)2xz-2=3
7、2152y21615y2-2=3415.
9.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(n∈N*).
(1)求證:{an-2n}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.(1)
證明由an+1=3an-2n可得
an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n).
又a2=3a1-2,則S2=a1+a2=4a1-2,
得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,則a1-21=3≠0.
故{an-2n}為等比數(shù)列.
(2)解由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,
∴an=2n+3n,
∴S
8、n=2(1-2n)1-2+3(1-3n)1-3=2n+1+3n+12-72.
10.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解:(1)設(shè){an}的公差為d,由題意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{an}的通項公式為an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.
所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.
11.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.設(shè)a2=2,a5=16.
(1)若a1+a2+…+a2n=t(a12+a22+…+an2),n
9、∈N*,求實數(shù)t的值;
(2)若在1a1與1a4之間插入k個數(shù)b1,b2,…,bk,使得1a1,b1,b2,…,bk,1a4,1a5成等差數(shù)列,求k的值.
解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.
(1)∵a1+a2+…+a2n=t(a12+a22+…+an2),
∴a1(1-q2n)1-q=t·a12(1-q2n)1-q2,即1-22n1-2=t·1-22n1-4對n∈N*都成立,∴t=3.
(2)∵1a1=1,1a4=18,1a5=116,
且1a1,b1,b2,…,bk,1a4,1a5成等差數(shù)列,
∴公差d=1a5-1a4=-116,且
10、1a4-1a1=(k+1)d,
即18-1=(k+1)×-116,解得k=13.
二、思維提升訓練
12.幾位大學生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( )
A.440 B.330 C.220 D.110
答案:A
解析
11、:設(shè)數(shù)列的首項為第1組,接下來兩項為第2組,再接下來三項為第3組,以此類推,設(shè)第n組的項數(shù)為n,則前n組的項數(shù)和為n(1+n)2.第n組的和為1-2n1-2=2n-1,前n組總共的和為2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.
由題意,N>100,令n(1+n)2>100,得n≥14且n∈N*,即N出現(xiàn)在第13組之后.若要使最小整數(shù)N滿足:N>100且前N項和為2的整數(shù)冪,則SN-Sn(1+n)2應(yīng)與-2-n互為相反數(shù),即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.
所以N=29×(1+29)2+5=440,故選A.
13.設(shè)等比數(shù)列{an
12、}的前n項和為Sn,若8a2+a5=0,則下列式子中數(shù)值不能確定的是( )
A.a5a3 B.S5S3 C.an+1an D.Sn+1Sn
答案:D
解析:等比數(shù)列{an}中,8a2+a5=0,∴a5=-8a2,∴q=-2,
∴a5a3=4,an+1an=q=-2,S5S3=a1[1-(-2)5]1+2a1[1-(-2)3]1+2=113,Sn+1Sn不能確定.
14.若存在等比數(shù)列{an},使得a1(a2+a3)=6a1-9,則公比q的取值范圍為 .?
答案:-1-52,0∪0,-1+52
解析:因為a2+a3=a1(q+q2),所以a12(q+q2)-6a1+9=0.當q+
13、q2=0時,易知q=-1滿足題意,但q≠0;當q+q2≠0時,Δ=36-36(q+q2)≥0,解得-1-52≤q≤-1+52,綜上,q∈-1-52,0∪0,-1+52.
15.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,a2+a3=8,S9=81.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若S3,a14,Sm成等比數(shù)列,求S2m.
解:(1)∵S9=9a5=9(a1+4d)=81,a2+a3=2a1+3d=8,∴a1=1,d=2,
故an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1)知,Sn=n(1+2n-1)2=n2.
∵S3,a14,Sm成等比數(shù)列,∴S3·Sm=a142,
即9m2
14、=272,解得m=9,故S2m=182=324.
16.等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列1bn的前n項和.
解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.
由a32=9a2a6得a32=9a42,所以q2=19.
由條件可知q>0,故q=13.
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=13.
故數(shù)列{an}的通項公式為an=13n.
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an
=-(1+2+…+n)=-n(n+1)
15、2.
故1bn=-2n(n+1)=-21n-1n+1,
1b1+1b2+…+1bn
=-21-12+12-13+…+(1n-1n+1)
=-2nn+1.
所以數(shù)列1bn的前n項和為-2nn+1.
17.若數(shù)列{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,且對任意n∈N*有an·Sn=2n3-n2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式.
(2)是否存在數(shù)列{bn},使得數(shù)列{anbn}的前n項和為An=5+(2n-3)2n-1(n∈N*)?若存在,求出數(shù)列{bn}的通項公式及其前n項和Tn;若不存在,請說明理由.
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則d>0,
an=dn+(a1-d),S
16、n=12dn2+a1-12dn.
對任意n∈N*,恒有
an·Sn=2n3-n2,則[dn+(a1-d)]·12dn2+a1-12dn=2n3-n2,
即[dn+(a1-d)]·12dn+a1-12d=2n2-n.
∴12d2=2,12d(a1-d)+da1-12d=-1,(a1-d)a1-12d=0.
∵d>0,∴a1=1,d=2,
∴an=2n-1.
(2)∵數(shù)列{anbn}的前n項和為An=5+(2n-3)·2n-1(n∈N*),
∴當n=1時,a1b1=A1=4,∴b1=4,
當n≥2時,anbn=An-An-1=5+(2n-3)2n-1-[5+(2n-5)2n-2]=(2n-1)2n-2.
∴bn=2n-2.假設(shè)存在數(shù)列{bn}滿足題設(shè),且數(shù)列{bn}的通項公式bn=4,n=1,2n-2,n≥2,
∴T1=4,當n≥2時,Tn=4+1-2n-11-2=2n-1+3,當n=1時也適合,
∴數(shù)列{bn}的前n項和為Tn=2n-1+3.
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