《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》§45 道路連通空間

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1、§4.5道路連通空間 較之于連通空間的概念，道路連通空間這個(gè)概念似覺更符合我們的直覺因而 易于理解些. 我們先定義“道路”. 定義4.5.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.從單位閉區(qū)間[0,1]fX的每一個(gè)連續(xù) 映射f:[0,1]fX叫做X中的一條道路，并且此時(shí)f(0)和f( 1)分別稱為道路f 的起點(diǎn)和終點(diǎn).當(dāng)x=f (0)和y=f (1)時(shí)，稱f是X中從x到y(tǒng)的一條道路.起 點(diǎn)和終點(diǎn)相同的道路稱為閉路，并且這時(shí)，它的起點(diǎn)(也是它的終點(diǎn))稱為閉 路的基點(diǎn). 如果f是X中的一條道路，則道路f的象集f([0, l])稱為X中的一條曲線 或弓瓜，并且這時(shí)道路f的起點(diǎn)和終點(diǎn)也分別稱為曲線f([0,1])

2、的起點(diǎn)和終點(diǎn). 或許應(yīng)當(dāng)提醒讀者，“道路”這個(gè)詞在這里所表達(dá)的意思已經(jīng)與我們對(duì)它原 有的理解頗有不同，希望讀者不要因此而混淆了我們?cè)谶@里嚴(yán)格定義的道路和曲 線這兩個(gè)不同的概念. 定義4.5.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果對(duì)于任何x，y，存在著X中的一 條從x到y(tǒng)的道路(或曲線)，我們則稱X是一個(gè)道路連通空間?X中的一個(gè)子 集Y稱為X中的一個(gè)道路連通子集，如果它作為X的子空間是一個(gè)道路連通空 間.(Y是否道路連通與X是否道路連通沒有關(guān)系) 實(shí)數(shù)空間R是道路連通的.這是因?yàn)槿绻鹸，y￡R，則連續(xù)映射f:[0，1]—R 定義為對(duì)于任何te[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一條以x為

3、起點(diǎn)以y 為終點(diǎn)的道路、也容易驗(yàn)證任何一個(gè)區(qū)間都是道路連通的. 定理4.5.1如果拓?fù)淇臻gX是一個(gè)道路連通空間，則X必然是一個(gè)連通空 間. 證明 對(duì)于任何x,y￡X，由于X道路連通，故存在從x到y(tǒng)的一條道路f:[0, l]fX這時(shí)曲線f([0,1])，作為連通空間[0，1]在連續(xù)映射下的象，是X中的 一個(gè)連通子集，并且我們有x，y￡f([0，1]).因此根據(jù)定理4.1.7可見X是 一個(gè)連通空間. 連通空間可以不是道路連通的.我們已經(jīng)指出例4. 4. 1中的禹是一個(gè)連通 空間.不難證明(留作習(xí)題，見習(xí)題第3題)它不是道路連通的. 道路連通與局部連通之間更沒有必然的蘊(yùn)涵關(guān)系、例如離散空間都

4、是局部連 通的，然而包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間不是連通空間，當(dāng)然也就不是道路連通 空間了. 定理4.5.2設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X是道路連通的，f:XfY是 一個(gè)連續(xù)映射.則f (X)是道路連通的. 證明 設(shè)巧必分⑴沖"荒方了(道)=*六曲)=片.由于x是道路連通 的，故X中有從乩到專的一條道路g： [0，1]fX.易見，映射h： [0，1]ff(X)， 定義為對(duì)于任意tE[0，1]有h (t) =fog (t)，是f (X)中從巧到，，的一條 道路.這證明f (X)是道路連通的. 根據(jù)定理4.5.2可見，空間的道路連通性是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是一個(gè)可 商性質(zhì). 定理4.5.3

5、設(shè)芍，站廣芝是nN1個(gè)道路連通空間.則積空間 也是道路連通空間. 證明我們只需要對(duì)n = 2的情形加以證明. 設(shè)工=0"衣”3]*'作趴乂乂”對(duì)于I，2，由于備是道路連通空間， 故在是中有從"到羽的一條道路宓：[0，1]-備.定義映射f： [0，1]-芍， 使得對(duì)于任何te［0, l］有f （t） = （血M（Q）.容易驗(yàn)證（應(yīng)用定理3. 2.7） f是連續(xù)的，并且有f（0）=x,f（1）二y.這也就是說f是中從x到y(tǒng)的一條 道路.這證明是一個(gè)道路連通空間. 作為定理4.5.3的一個(gè)直接的推論立即可見:n維歐氏空間^是一個(gè)道路連 通空間.（這個(gè)結(jié)論也容易直接驗(yàn)證.） 為了今后的需要我們

6、證明以下引理， 定理4.5.4［粘結(jié)引理］設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中的兩個(gè)開集（閉集），并 且有X=AUB.又設(shè)Y是一個(gè)拓?fù)淇臻g，頂i：AfY和力：BfY是兩個(gè)連續(xù)映 射，滿足條件： 成廣Za辰e 定義映射f:X^Y使得對(duì)于任何xEX, 則f是一個(gè)連續(xù)映射? 證明 首先注意，由于X成廣，成七 映射f的定義是確切的.因?yàn)楫?dāng) xeAAB時(shí)，有片3）=，⑴. 其次，我們有：對(duì)于Y的任何一個(gè)子集Z有 這是由于尸（Z）=廣熠）n Q廠（Z）=廣5 日 現(xiàn)在設(shè)U是Y的一個(gè)開集.由于頂1 J都連續(xù)，所以K'ShE 分別是 A和B的開集.然而A和B都是X的開集，所以 柱E 也都是X的開集.因 此

7、，e廣L以)°，以)是x的一個(gè)開集.這便證明了 f是一個(gè)連續(xù)映射. 當(dāng)A和B都是X的閉集時(shí)，證明是完全類似的. 我們現(xiàn)在按建立連通分支概念完全類似的方式建立道路連通分支的概念. 定義4.5.3設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x,y￡X.如果X中有一條從x到y(tǒng)的 道路，我們則稱點(diǎn)x和y是道路連通的.(注意:是“點(diǎn)"道路連通) 根據(jù)定義可見，如果x, y, z都是拓?fù)淇臻gX中的點(diǎn)，則 (1) x和x道路連通；(因?yàn)槿〕Ｖ档挠成鋐: [0，1]—X(它必然是連續(xù) 的)便是一條從x到x的道路.) (2) 如果x和y連通，則y和x也連通；(設(shè)f:[0，1]—X是X中從x到y(tǒng) 的一條道路.定義映射土 [0

8、，l]—X，使得對(duì)于任何te[0, l]有j(t)=f(1 一t) .容易驗(yàn)證j是一條從y到x的道路.) (3) 如果x和y連通，并且y和z連通，則x和z連通.(設(shè)&凡 [0， 1]一X分別是X中從x到y(tǒng)和從y到z的道路.定義映射f:[0，1]—X使得對(duì)于 任何 t e[0，l]， 應(yīng)用粘結(jié)引理立即可見f是連續(xù)的，此外我們有f(0) = X(0)=x和f(1) = ^ (1) =z.因此f是從x到z的一條道路.) 以上結(jié)論歸結(jié)為：拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的道路連通關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系. 定義4.5.4設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.對(duì)于X中的點(diǎn)的道路連通關(guān)系而言的每 一個(gè)等價(jià)類稱為拓?fù)淇臻gX的一個(gè)道路連通分支

9、. 如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集.Y作為X的子空間的每一個(gè)道路連通分支 稱為X的子集Y的一個(gè)道路連通分支. 拓?fù)淇臻g口的每一個(gè)道路連通分支都不是空集；X的不同的道路連通分 支無交；以及X的所有道路連通分支之并便是X本身.此外，x,y￡X屬于X的 同一個(gè)道路連通分支當(dāng)且僅當(dāng)x和y道路連通. 拓?fù)淇臻gX的子集A中的兩個(gè)點(diǎn)x和y屬于A的同一個(gè)道路連通分支的充分 必要條件是A中有一條從x到y(tǒng)的道路. 根據(jù)定義易見，拓?fù)淇臻g中每一個(gè)道路連通分支都是一個(gè)道路連通子集；根 據(jù)定理4.5.1,它也是一個(gè)連通子集；又根據(jù)定理4. 3. 1,它必然包含在某一 個(gè)連通分支之中. 作為定理4.5.1在某種特

10、定情形下的一個(gè)逆命題，我們有下述定理： 定理4.5.5 n維歐氏空間 舟的任何一個(gè)連通開集都是道路連通的. 證明首先我們注意n維歐氏空間^中的任何一個(gè)球形鄰域都是道路連通 的，這是因?yàn)樗哂趎維歐氏空間^本身. 其次證明n維歐氏空間^的任何一個(gè)開集的任何一個(gè)道路連通分支都是一 個(gè)開集：設(shè)U是^的一個(gè)開集，C是U的一個(gè)道路連通分支.設(shè)xeC.因?yàn)閁 是一個(gè)包含x的開集，所以也包含著以x為中心的某一個(gè)球形鄰域B（x，￡ ）.由 于球形鄰域B（x,￡ ）是道路連通的，并且B（x，￡ ） AC包含著乂，故非空，這導(dǎo) 致B （x，￡ ）匚C.所以C是一個(gè)開集. 最后，設(shè)V是術(shù)的一個(gè)連通開集.如

11、果N=0，則沒有什么要證明的.下設(shè) . V是它的所有道路連通分支的無交并，根據(jù)前一段中的結(jié)論，每一個(gè)道 路連通分支都是開集.因此如果V有多于一個(gè)道路連通分支，易見這時(shí)V可以表 示為兩個(gè)無交的非空開集之并，因此V是不連通的，這與假設(shè)矛盾.因此V只可 能有一個(gè)道路連通分支，也就是說V是道路連通的. 推論4.5.6 n維歐氏空間衣”中任何開集的每一個(gè)道路連通分支同時(shí)也是 它的一個(gè)連通分支. 證明由于n維歐氏空間^是一個(gè)局部連通空間，根據(jù)定理4. 4. 1，它的 任何開集的任何連通分支都是開集.根據(jù)定理4.5.5，汽*的任何開集的任何連通 分支都是道路連通的，因此包含于這個(gè)開集的某一個(gè)道路連通分

12、支之中.另一方 面.任何一個(gè)集合的道路連通分支，由于它是連通的，因此包含于這個(gè)集合的某 一個(gè)連通分支之中，本推論的結(jié)論成立. 通過引進(jìn)局部道路連通的概念，定理4.5.5和推論4.5.6的結(jié)論可以得到推 廣.(參見習(xí)題5.) 作業(yè)： P132 1. 2. 本章總結(jié)： (1) 有關(guān)連通、局部連通、道路連通均為某個(gè)集合的概念，與這個(gè)集合的 母空間是否連通、局部連通、道路連通無關(guān). (2) 掌握連通、局部連通、道路連通這三者之間的關(guān)系. (3) 記住衣”中的哪些子集是連通、局部連通、道路連通的. (4) 連通、局部連通、道路連通分支是一個(gè)分類原則，即每個(gè)集合都是若 干個(gè)某某分支的并，任

13、兩個(gè)不同的分支無交，每個(gè)分支非空.若兩個(gè)分支有交， 則必是同一個(gè)分支. (5) 連通是本章的重點(diǎn). (6) 掌握證明連通、不連通及道路連通的方法.特別注意反證法. (7) 掌握連通性、局部連通性、道路連通是否是連續(xù)映射所保持的、有限 可積的、可遺傳的. 5. I 證明實(shí)數(shù)空間R的子集.4是道路連通的當(dāng)且仗當(dāng).4是連通的. 證:因.4匚R,4是道路連通的，根據(jù)建理4.5. 1知.4是連通的，反之，若.4是連通的，當(dāng).4是單 點(diǎn)集時(shí)，顯然.4是道路連通的，當(dāng).4不是單點(diǎn)集時(shí)，則.4是區(qū)間，從而是道路推通的. 土 2 證明n維單位球舟是道路迷通的.5^1) 證:任意￡ V,則存在￡ ￡

14、 V,使％仃￡舟~隊(duì)乂甘~ ￡與只同勝，旦只為道路迷通空間, 所以舟~ ￡為道路連通的.因此為道路宓通的.從而V是道路宓通的. 土 3 證明：例4.4. I中的拓?fù)淇臻g％不是道路迷通空I'成 證:為證明％不是道路連通的，任取點(diǎn)h ￡「我們證明不可能有島中的道路，以h為起點(diǎn)，以 s中的點(diǎn)為終點(diǎn).沒u：/t%是以〃為起點(diǎn)的道路.因t是舄的閉集m 也是J中的閉集,且 u-'(n # 根據(jù)[的控通性，只要證明u-'(T)也是/的開集，就有u〔/) CJ1.現(xiàn)設(shè)1 e m 根 據(jù)u的壕螳性.存在正數(shù)5 .使得瓦n/)匚 WU)*)ns,,其中玖心手 是 E2內(nèi)點(diǎn)H”)的+ -鄰域

15、一令。是^內(nèi)的閉圓盤明⑴尋)，恥ns, = ｛DA J1) U (DCiS) 由｝?軸上一個(gè)區(qū)間EC T與曲線F =血，:上的一些小段八組成，這每一小段L同胚于一個(gè)區(qū)間, ^DCiS,中是既開又閉的連通子集，從而是DHS,的連通分支一于是7= (DHS,) - (UA,.) 也是心ns,的連通分支一因< t -￡1t + ￡ >n;是連通的，旦u〔i)￡ nn r,我們得到“〔< t -引 ! + -? > n /)c n n tc t,即！的鄰域 < ! -￡1t + ￡ > n /c u~(T).由此推出?是 u-'[T)的內(nèi) 是/的開集一也就旺明了土不是道路逐通的一 另證:假設(shè)&是道路

16、連通的，則對(duì)點(diǎn)(0,0｝和點(diǎn)(1,航M)存在道路/<(M ]t %,使棵/3)= (0,0)和/m 二(1,面 1)，我們注意到,17(0:0 <1^1 ■二 |(jTsh—):0 <#壬1,但iiimin — X X 不存在，故/((])不存在，與六助=?!,(])矛盾一 5.4 設(shè)X為拓?fù)淇臻g.IF.."#)的道路連通于集族，滿足條件：對(duì)于任意公#仁廠存在r 中有限個(gè)元素H 二蟲3…、TMn-l "使得 證明 七.?七為道路迷通子集- 證:先田亍,匕道路迷通』n匕尹/則y, J匕為道路連通七任意￡ y. j匕，若盅寸 ■匕，或—?.=匕，3是遺熟洼潮的,若±■- y|iy- f”

17、取衛(wèi)?匕n當(dāng)存在適續(xù)畫忸：［山］: —K，使縛血叫=Ji/i（ I） = - =/（0）.＜（1） = :f僥義X皿匚一七 u F”使 仙=舟叫 y ■/（2； - I） S W V I 財(cái)浙曜『墾洼叛算時(shí)，旦成馬》為理理貝，由黃住無h U為為遺&洼通. 3.3 拓寸性間尤稱部掘道蔬知觀扣朗任一星?/以反星的HJ域皿存割H的 遺惑洼購(gòu)?第岐玲也含于L'茹撲主間］的于％ .1秣為荷躍遺矜洼購(gòu)于擔(dān),苦』車方X的于主間髭 局蹈遇我洼購(gòu)主間.證明： （1） 每一荷踮遇我蓮主間明是荷跛洼通主間. （2） 若X肯肩否癰洼通空間■/浦-F巖攻尸照,山預(yù)持 肯局做路連通空間- （^） 若西，⑶?

18、?也肯局陵蛆連通空間，n俶空間尻x芯為府褲溉磕通空虬 做） 荷西遺&洼購(gòu)主間X中為道籽洼購(gòu)于地,當(dāng)?shù)┣?dāng)』為連購(gòu)于旭 ■■■!： I -倒然連通千貝二遷2通千況，E.每 f ＜￡尹2通些’?，?. '，，.：槌通艾匚 R）設(shè)咻在星使/［蛤=為砸童的匕'?械 項(xiàng)心，團(tuán)為f：*TF肯掘整 射腐成廣〔聽 肯*郵耶域』*肯局敬［然洼宜空間，存在星的趾謎通輻健FU/Mt：'而了為 洼鴦尸褻尉腐以式叮C/C/'fL1））=隊(duì)為F在/（魁中的適陶瘋做，即＞U）為局祕(mì)道路洼 通主間- 技）先配明如下陸職:拓寸笛間尤肯局部道然洼通空間當(dāng)且E當(dāng)X有基,其每一成員應(yīng)期連 購(gòu)的. 喜翡上，設(shè)X為扃躍四我洼購(gòu)主

19、間，「為犬中，下音好狼，匚為「中的連通分支. 就任荏的星? G存在*蠣蛔洼通鄒域t-c L-,ni F二『即心為C中的開集，也巖尤的以, ?驢成/的廣―HimkTi籽洼通分玄亦為開技 因?yàn)榭诜蕉扔羞z瑕洼酒分支電并，而遺磐洼通分支收瑕洼通的，姑成A中姑有斤*的吁有 遺惑洼分蜘代的里虹入的一個(gè)基.旦耳每一況更髭遺瑁洼S的. 彩故活為］的基，耳每一代貝國(guó)井洼購(gòu)的M ?或=■/］ ￡ .奸！ J￡ ￡ a - E 的犬褪基,=!（每一況只是造然洼購(gòu)的，吁戚1染荷施怛然洼眉主間. Pfff（J）,由R）包局g租性為拓?fù)洳痪滦?，仗需氐明若xltx2為柿淺蘭灑史間，P! X. 5 為局躍遇感洼

20、通主間. 設(shè)也應(yīng)為局割清跆洼酒空間，由上就命電,用存在期，黑，分用.為也,擔(dān)的基黑街一成臭是 遺拜洼購(gòu)的d己 ?奸=為X電！ Hj ￡而,電匚?送■ 由定理m.a.』X膺肯尤席關(guān) 心且由本曖理』. 5.，切膺瞄一成品均*弁洼通的.再由上 柿鼠擔(dān)X擔(dān)是荷躍遇感洼購(gòu)般 〔、財(cái) 為居踮迪再蓮酒主間/中的開生，苦』連酒于垢由m響眶詁』的擋我洼購(gòu)分支 均寶 f，餌為』為其商有獨(dú)港a分 拉井，若.1的豈［蔬洼通分支寥于一個(gè).耳于.1肯洼通于地盧 府.職舊』氏奇一個(gè)地路洼購(gòu)分支，從而』國(guó)務(wù)洼購(gòu)于治 瓦之，苦』肯遇籽洼通于地劇』方洼通于技 5. 6 設(shè)工F肯拓?fù)淇臻g,X的形虞腳且U* .= = X遷明：莪皇M* - ＞為連續(xù)褻尉 當(dāng)?shù)┙o當(dāng)村于任點(diǎn)』?.廢_/ .牝』tF為洼輯掘尉. 注:設(shè)/薄T 1方洼疑頗,刖由第3章習(xí)理］. ■?站世,冷任音.4 ＜ .善J .h.4 T『為注攜頗. 圣君設(shè)對(duì)任童』M .蔑■/ "1-『為違續(xù)決射，F(xiàn)中任一開*f.'. （/』「MC）為A中開集,k 而掘X巾開％ 因肯5 4}"幻=r'tV）-』，葉匕一，％力=■-,（f）- x = r'm - 3. 4 -Uji.^tf'（^） n a） -u.-jtyi ?i）_,（ L-）為x 中松，故『京t ＞肯我犢射.