《數學必修4》第二章第四節(jié)“平面向量的數量積”

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1、說課內容：普通高中課程標準實驗教科書（人教A版）《數學必修4》第二章第四節(jié)“平面向量的數量積”的第一課時---平面向量數量積的物理背景及其含義。 下面，我從背景分析、教學目標設計、課堂結構設計、教學過程設計、教學媒體設計及教學評價設計六個方面對本節(jié)課的思考進行說明。 一、 背景分析 1、學習任務分析 平面向量的數量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數學的一個重要概念，在數學、物理等學科中應用十分廣泛。本節(jié)內容教材共安排兩課時，其中第一課時主要研究數量積的概念，第二課時主要研究數量積的坐標運算，本節(jié)課是第一課時。 本節(jié)課的主要學習任務是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量

2、數量積的概念，在此基礎上探究數量積的性質與運算律，使學生體會類比的思想方法，進一步培養(yǎng)學生的抽象概括和推理論證的能力。其中數量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質和運算律的基礎。同時也因為在這個概念中，既有長度又有角度，既有形又有數，是代數、幾何與三角的最佳結合點，不僅應用廣泛，而且很好的體現了數形結合的數學思想，使得數量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學的重點。 2、學生情況分析 學生在學習本節(jié)內容之前，已熟知了實數的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概

3、念出發(fā)，在與實數運算類比的基礎上研究性質和運算律。這為學生學習數量積做了很好的鋪墊，使學生倍感親切。但也正是這些干擾了學生對數量積概念的理解，一方面，相對于線性運算而言，數量積的結果發(fā)生了本質的變化，兩個有形有數的向量經過數量積運算后，形卻消失了，學生對這一點是很難接受的；另一方面，由于受實數乘法運算的影響，也會造成學生對數量積理解上的偏差，特別是對性質和運算律的理解。因而本節(jié)課教學的難點數量積的概念。 二、 教學目標設計 《普通高中數學課程標準（實驗）》 對本節(jié)課的要求有以下三條： （1）通過物理中“功”等事例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義。 （2）體會平面向量的數量積與

4、向量投影的關系。 （3）能用運數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。 從以上的背景分析可以看出，數量積的概念既是本節(jié)課的重點，也是難點。為了突破這一難點，首先無論是在概念的引入還是應用過程中，物理中“功”的實例都發(fā)揮了重要作用。其次，作為數量積概念延伸的性質和運算律，不僅能夠使學生更加全面深刻地理解概念，同時也是進行相關計算和判斷的理論依據。最后，無論是數量積的性質還是運算律，都希望學生在類比的基礎上，通過主動探究來發(fā)現，因而對培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的載體。 綜上所述，結合“課標”要求和學生實際，我將本節(jié)課的教學目標定為：

5、1、了解平面向量數量積的物理背景，理解數量積的含義及其物理意義； 2、體會平面向量的數量積與向量投影的關系，掌握數量積的性質和運算律， 并能運用性質和運算律進行相關的運算和判斷； 3、體會類比的數學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力。 三、課堂結構設計 本節(jié)課從總體上講是一節(jié)概念教學，依據數學課程改革應關注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，結合本節(jié)課的知識的邏輯關系，我按照以下順序安排本節(jié)課的教學： 即先從數學和物理兩個角度創(chuàng)設問題情景，通過歸納和抽象得到數量積的概念，在此基礎上研究數量積的性質和運算律，使學生進一步加深對概念的理解，然后通過例題和練習使學生鞏

6、固概念，加深印象，最后通過課堂小結提高學生認識，形成知識體系。 四、???????? 教學媒體設計 和“大綱”教材相比，“課標”教材在本節(jié)課的內容安排上，雖然將向量的夾角在“平面向量基本定理”一節(jié)提前做了介紹，但卻將原來分兩節(jié)課完成的內容合并成一節(jié)，相比較而言本節(jié)課的教學任務加重了許多。為了保證教學任務的完成，順利實現本節(jié)課的教學目標，考慮到本節(jié)課的實際特點，在教學媒體的使用上，我的設想主要有以下兩點： 1、制作高效實用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關內容的呈現方式，以此來節(jié)約課時，增加課堂容量。 2、設計科學合理的板書（見下），一方面使學生加深對主要知識的印象，另一方面使學生

7、清楚本節(jié)內容知識間的邏輯關系，形成知識網絡。 平面向量數量積的物理背景及其含義 一、? 數量積的概念????????????? 二、數量積的性質?????????? 四、應用與提高 1、? 概念：????????????????????????????????????????????? 例1： 2、? 概念強調 （1）記法??? ??????????????????????????????例2： （2）“規(guī)定”?? 三、數量積的運算律????????? 例3： 3、幾何意義： 4、物理意義： 五、???????? 教學過程設計 課標指出：數學教學過程是教師

8、引導學生進行學習活動的過程，是教師和學生間互動的過程，是師生共同發(fā)展的過程。為有序、有效地進行教學，本節(jié)課我主要安排以下六個活動： 活動一：創(chuàng)設問題情景，激發(fā)學習興趣 正如教材主編寄語所言，數學是自然的，而不是強加于人的。平面向量的數量積這一重要概念，和向量的線性運算一樣，也有其數學背景和物理背景，為了體現這一點，我設計以下幾個問題： 問題1：我們已經研究了向量的哪些運算？這些運算的結果是什么？ 問題2：我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？ 期望學生回答：物理模型→概念→性質→運算律→應用 問題3：如圖所示，一物體在力F的作用下產生位移S，

9、 （1）力F所做的功W=???? 。 （2）請同學們分析這個公式的特點： W（功）是? 量， F（力）是?? 量， S（位移）是?? 量， α是???????????? 。 問題1的設計意圖在于使學生了解數量積的數學背景，讓學生明白本節(jié)課所要研究的數量積與向量的加法、減法及數乘一樣，都是向量的運算，但與向量的線性運算相比，數量積運算又有其特殊性，那就是其結果發(fā)生了本質的變化。 問題2的設計意圖在于使學生在與向量加法類比的基礎上明了本節(jié)課的研究方法和順序，為教學活動指明方向。 問題3的設計意圖在于使學生了解數量積的物理背景，讓學生知道，我們研究數量積絕不僅僅是為了數學自身

10、的完善，而是有其客觀背景和現實意義的，從而產生了進一步研究這種新運算的愿望。同時，也為抽象數量積的概念做好鋪墊。 活動二：探究數量積的概念 1、概念的抽象 在分析“功”的計算公式的基礎上提出問題4 問題4：你能用文字語言來表述功的計算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結果又該如何表述？ 學生通過思考不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。這樣，學生事實上已經得到數量積概念的文字表述了，在此基礎上，我進一步明晰數量積的概念。 2、概念的明晰 已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數量 ︱︱·︱︱cos叫做與的數量積（

11、或內積），記作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos 在強調記法和“規(guī)定”后? ，為了讓學生進一步認識這一概念，提出問題5 問題5：向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同？影響數量積大小的因素有哪些？并完成下表： 角的范圍 0°≤<90° =90° 0°<≤180° ·的符號 通過此環(huán)節(jié)不僅使學生認識到數量積的結果與線性運算的結果有著本質的不同，而且認識到向量的夾角是決定數量積結果的重要因素，為下面更好地理解數量積的性質和運算律做好鋪墊。 3、探究數量積的幾何意義 這個問題教材是這樣安排的：在給出向量數量積的概念后，只介紹了向量投影的定義，直到講完例1后，為了

12、證明運算律的第三條才直接以結論的形式呈現給學生，我覺得這樣安排似乎不太自然，還不如在給出向量投影的概念后，直接由學生自己歸納得出，所以做了調整。為此，我首先給出給出向量投影的概念，然后提出問題5。 如圖，我們把││cos（││cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：OB1=││cos 問題6：數量積的幾何意義是什么？ 這樣做不僅讓學生從“形”的角度重新認識數量積的概念，從中體會數量積與向量投影的關系，同時也更符合知識的連貫性，而且也節(jié)約了課時。 4、研究數量積的物理意義 數量積的概念是由物理中功的概念引出的，學習了數量積的概念后，學生就會明白功的數學本質就是力與位移

13、的數量積。為此，我設計以下問題 一方面使學生嘗試計算數量積，另一方面使學生理解數量積的物理意義，同時也為數量積的性質埋下伏筆。 問題7： （1） 請同學們用一句話來概括功的數學本質：功是力與位移的數量積 。 （2）嘗試練習：一物體質量是10千克，分別做以下運動： ①、在水平面上位移為10米； ②、豎直下降10米； ③、豎直向上提升10米； ④、沿傾角為30度的斜面向上運動10米； 分別求重力做的功。 活動三：探究數量積的運算性質 1、性質的發(fā)現 教材中關于數量積的三條性質是以探究的形式出現的，為了很好地完成這一探究活動，在完成上述練習后，我不失時機地提出問題8： （1）

14、將嘗試練習中的① ② ③的結論推廣到一般向量，你能得到哪些結論？ （2）比較︱·︱與︱︱×︱︱的大小，你有什么結論？ 在學生討論交流的基礎上，教師進一步明晰數量積的性質，然后再由學生利用數量積的定義給予證明，完成探究活動。 2、明晰數量積的性質 3、性質的證明 這樣設計體現了教師只是教學活動的引領者，而學生才是學習活動的主體，讓學生成為學習的研究者，不斷地體驗到成功的喜悅，激發(fā)學生參與學習活動的熱情，不僅使學生獲得了知識，更培養(yǎng)了學生由特殊到一般的思維品質。 活動四：探究數量積的運算律 1、運算律的發(fā)現 關于運算律，教材仍然是以探究的形式出現，為此，首先提出問題9 問

15、題9：我們學過了實數乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？ 通過此問題主要是想使學生在類比的基礎上，猜測提出數量積的運算律。 學生可能會提出以下猜測： ①·= ·? ???②（·）= (·)? ③（ + ）· =· + · 猜測①的正確性是顯而易見的。 關于猜測②的正確性，我提示學生思考下面的問題： 猜測②的左右兩邊的結果各是什么？它們一定相等嗎？ 學生通過討論不難發(fā)現，猜測②是不正確的。 這時教師在肯定猜測③的基礎上明晰數量積的運算律： 2、明晰數量積的運算律 3、證明運算律 學生獨立證明運算律（2） 我把運算運算律（2）的證明交給學生完成，在證明時，學生可

16、能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學生完善證明，提出以下問題： 當λ<0時，向量與λ，與λ的方向 的關系如何？此時，向量λ與及與λ的夾角與向量與的夾角相等嗎？ 師生共同證明運算律（3） 運算律（3）的證明對學生來說是比較困難的，為了節(jié)約課時，這個證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。 在這個環(huán)節(jié)中，我仍然是首先為學生創(chuàng)設情景，讓學生在類比的基礎上進行猜想歸納，然后教師明晰結論，最后再完成證明，這樣做不僅培養(yǎng)了學生推理論證的能力，同時也增強了學生類比創(chuàng)新的意識，將知識的獲得和能力的培養(yǎng)有機的結合在一起。 活動五：應用與提高 例1、（師生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 與的夾角為

17、60°，求 （+2 ）·（-3），并思考此運算過程類似于哪種運算？ 例2、（學生獨立完成）對任意向量 ，b是否有以下結論： （1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 2—2 例3、（師生共同完成）已知︱︱=3，︱︱=4, 且 與不共線，k為何值時，向量+k 與-k互相垂直？并思考：通過本題你有什么收獲？ 本節(jié)教材共安排了四道例題，我根據學生實際選擇了其中的三道，并對例1和例3增加了題后反思。例1是數量積的性質和運算律的綜合應用，教學時，我重點從對運算原理的分析和運算過程的規(guī)范書寫兩個方面加強示范。完成計算后，進一步提出問題：此運算過程類似于哪種運算？目的是想讓學生在類

18、比多項式乘法的基礎上自己猜測提出例2給出的兩個公式，再由學生獨立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養(yǎng)了學生通過類比這一思維模式達到創(chuàng)新的目的。例3的主要作用是，在繼續(xù)鞏固性質和運算律的同時，教給學生如何利用數量積來判斷兩個向量的垂直，是平面向量數量積的基本應用之一，教學時重點給學生分析數與形的轉化原理。 為了使學生更好的理解數量積的含義，熟練掌握性質及運算律，并能夠應用數量積解決有關問題，再安排如下練習： 1、? ?下列兩個命題正確嗎？為什么？ ①、若≠0，則對任一非零向量，有·≠0． ②、若≠0，·＝·，則＝． 2、已知△ABC中，=, =，當· <0或·＝0時，試判斷△ABC

19、的形狀。 安排練習1的主要目的是，使學生在與實數乘法比較的基礎上全面認識數量積這一重要運算， 通過練習2使學生學會用數量積表示兩個向量的夾角，進一步感受數量積的應用價值。 活動六：小結提升與作業(yè)布置 1、本節(jié)課我們學習的主要內容是什么？ 2、平面向量數量積的兩個基本應用是什么？ 3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質的探究？在運算律的探究過程中，滲透了哪些數學思想？ 4、類比向量的線性運算，我們還應該怎樣研究數量積？ 通過上述問題，使學生不僅對本節(jié)課的知識、技能及方法有了更加全面深刻的認識，同時也為下 一節(jié)做好鋪墊，繼續(xù)激發(fā)學生的求知欲。 布置作業(yè)： 1、課本P

20、121習題2.4A組1、2、3。 2、拓展與提高： 已知與都是非零向量，且+3 與7 -5垂直，-4與 7-2垂直求與的夾角。 在這個環(huán)節(jié)中，我首先考慮檢測全體學生是否都達到了“課標”的基本要求，因此安排了一組教材中的習題，目的是讓所有的學生繼續(xù)加深對數量積概念的理解和應用，為后續(xù)學習打好基礎。其次，為了能讓不同的學生在數學領域得到不同的發(fā)展，我又安排了一道有一定難度的問題供學有余力的同學選做。 六、教學評價設計 評價方式的轉變是新課程改革的一大亮點，課標指出：相對于結果，過程更能反映每個學生的發(fā)展變化，體現出學生成長的歷程。因此，數學學習的評價既要重視結果，也要重視過程。結合“課標”對數學學習的評價建議，對本節(jié)課的教學我主要通過以下幾種方式進行： 1、 通過與學生的問答交流，發(fā)現其思維過程，在鼓勵的基礎上，糾正偏差，并對其進行定 性的評價。 2、在學生討論、交流、協作時，教師通過觀察，就個別或整體參與活動的態(tài)度和表現做出評價，以此來調動學生參與活動的積極性。 3、 通過練習來檢驗學生學習的效果，并在講評中，肯定優(yōu)點，指出不足。 4、 通過作業(yè)，反饋信息，再次對本節(jié)課做出評價，以便查漏補缺。