《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第7章

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1、§7.6局部緊致空間，仿緊致空間 本節(jié)重點(diǎn)： 掌握局部緊致空間、仿緊致空間的定義.性質(zhì)； 掌握局部緊致空間、仿緊致空間中各分離性公理空間之間的關(guān)系； 掌握局部緊致空間、仿緊致空間與緊致空間之間的關(guān)系. 定義7.6.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)緊致的鄰域，則稱拓?fù)?空間X是一個(gè)局部緊致空間. 由定義立即可見,每一個(gè)緊致空間都是局部緊致空間，因?yàn)榫o致空間本身便是它的每一 個(gè)點(diǎn)的緊致鄰域. n維歐氏空間也是局部緊致空間，因?yàn)槠渲械娜魏我粋€(gè)球形鄰域的閉包都是緊致的. 定理7.6.1每一個(gè)局部緊致的空間都是正則空間. 證明 設(shè)X是一個(gè)局部緊致的Hausdorff空間

2、，設(shè)xEX,U是x的一個(gè)開鄰域.令D是x 的一個(gè)緊致鄰域，作為Hausdorff空間X的緊致子集,D是X中的閉集.由推論7.2.4,D作為 子空間是一個(gè)緊致的Hausdorff空間,所以是一個(gè)正則空間.呼是乂在子空間D P|U 中的一個(gè)開鄰域,其中日 是集合D在拓?fù)淇臻gX中的內(nèi)部.從而x在子空間D中有一個(gè)開 鄰域V使得它在子空間D中的閉包包含于W. 一方面V是子空間D中的一個(gè)開集，并且又包 含于W,因此V是子空間W中的一個(gè)開集，而W是X中的一個(gè)開集，所以V也是X中的開集.另 一方面，由于D是X的閉集，所以V在D中的閉包便是V在X中的閉包『因此點(diǎn)x在X中的 開鄰域V使得礦匚歐匚邛.因此X是一

3、個(gè)正則空間. 定理7.6.2設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正則空間,x《X,則點(diǎn)x的所有緊致鄰域構(gòu)成的 集族是拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基. 證明 設(shè)U是xGX的一個(gè)開鄰域.令D為x的一個(gè)緊致鄰域，則g。'是x的一個(gè)開 鄰域.因?yàn)閄是正則空間，所以存在x的開鄰域V使得「匚"人.閉集泛是x的一個(gè)閉 鄰域，并且作為緊致空間D中的閉子集，它是緊致的.以上證明了在x的任何開鄰域U中包含 著某一個(gè)緊致鄰域］. 從前面兩個(gè)定理立即可以推出: 推論7.6.3設(shè)X是一個(gè)局部緊致的Hausdorff空間,x^X.則點(diǎn)x的所有緊致鄰 域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基. 定理7.6.4每一個(gè)局部緊致的

4、正則空間都是完全正則空間. 證明 設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正則空間.我們驗(yàn)證X是一個(gè)完全正則空間如下： 設(shè)xEX和B是X中的一個(gè)閉集，使得 是x的一個(gè)開鄰域.由定理7.6.2, 存在x的一個(gè)緊致閉鄰域V,使得V2 .作為X的一個(gè)子空間是緊致的正則空間(正則是 可遺傳的)，因此是完全正則的.因而存在連續(xù)映射g：V-[0,1],使得g(x)=0，和對(duì)于任何 p W * 右(、 有 g(y)=1. 定義映射/ 使得說W麟骸)=1.顯然h是一個(gè)連續(xù)映射 定義映射f：X-[0,1],使得對(duì)于任何zGX 首先，映射f的定義是確切的，因?yàn)槿绻甂 c『,則有g(shù)(z)=i=h(z).其次,"

5、點(diǎn)” 都是X中的閉集,從而根據(jù)黏結(jié)引理,f是連續(xù)的.最后，顯然有f(x)=0及對(duì)于 成*或昌ng =] 根據(jù)定理7.6.1,定理7.6.4及圖表6.1,立即可得圖表7.4 定義7.6.2設(shè)集族A和B都是集合X的覆蓋，如果A中的每一個(gè)元素包含于B中的某 一個(gè)元素之中，則稱A是B的一個(gè)加細(xì). 顯然，如果A是B的一個(gè)子覆蓋，則A是B的一個(gè)加細(xì) 定義7.6.3設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,A是X的子集A的一個(gè)覆蓋.如果對(duì)于每一個(gè)xEA, 點(diǎn)x有一個(gè)鄰域U僅與A中有限個(gè)元素有非空的交，即： ｛AEA|ACUN °｝是一個(gè)有限集，則稱A是集合A的一個(gè)局部有限覆蓋. 有限覆蓋當(dāng)然是局部有限覆蓋.

6、 定義7.6.4設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)局部有限的開覆蓋 是它的加細(xì)，則稱X是一個(gè)仿緊致空間. 緊致空間自然是仿緊致的.離散空間也是仿緊致的,因?yàn)樗袉吸c(diǎn)集構(gòu)成的集族是離散 空間的一個(gè)開覆蓋并且是它的任何一個(gè)開覆蓋的局部有限的加細(xì). 定理7.6.5每一個(gè)仿緊致的正則空間都是正規(guī)空間. 證明:設(shè)X是一個(gè)仿緊致的正則空間,A是X中的一個(gè)閉集,U是A的一個(gè)開鄰域.對(duì)于每 一個(gè)a￡A，點(diǎn)a有一個(gè)開鄰域 知,使得叫仁".從而集族 尊）"是x 的一個(gè)開覆蓋，它有一個(gè)局部有限的加細(xì)，設(shè)為歹，令^ = ｛興引￡服'物.則'是a 的一個(gè)局部有限的開覆蓋.于是是A的一個(gè)開鄰域.以下

7、證明歹匚". VCe CrBUa 3C ^Ua=>C LT LT 如果工氏V ,由于C是局部有限的，所以X有一個(gè)鄰域W只與C中有限個(gè)元素 以 u 有非空的交，于是 工金（C\ uQ U'" u =Cf uC； U-'UC；匚口 這證明了片匚“ 定理7.6.6每一個(gè)仿緊致的Hausdorff空間都是正則空間,因而也是正規(guī)空間. 證明：設(shè)X是一個(gè)仿緊致的Hausdorff空間，茲驗(yàn)證X是一個(gè)正則空間如下： 設(shè)xEX,B是X中的一個(gè)不包含點(diǎn)x的閉集，對(duì)于每一個(gè)b￡B，存在x的一個(gè)開鄰域鼻和 b的一個(gè)開鄰域咋，使得SW=°.特別，理版.集族A = 是X 的 一個(gè)開覆蓋，它有一

8、個(gè)局部有限的加細(xì)，設(shè)為互.令C = S~^ .集族。是B的一個(gè)局部 有限的開覆蓋.令 『7/. V是閉集B的一個(gè)開鄰域.我們有居『.（x有一個(gè)鄰域W只與奩中有 限個(gè)元素有非空的交，因此W也只與產(chǎn)中有限個(gè)元素，設(shè)為有非空的交.如果 X奇則 N G 2g U " U =Cf UJC； IJ- UC；匚口 因此存在某一個(gè)洪弭 .然而易見m『藥烏匚* n 作*于是得到矛盾）.因 此u*是x的一個(gè)開鄰域.此外顯然UW2 根據(jù)定理7.6.5,定理7.6.6及圖表6.1我們有圖表7.5: 引理7.6.7設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的局部緊致的Hausdorff空間.則X 有一個(gè)開覆蓋滿足條件:對(duì)于每一個(gè)IEZ-,閉包是一個(gè)包含于的緊 致子集. 證明（略） 定理7.6.8每一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的局部緊致的Hausdorff空間都是仿緊致 空間. 證明（略） 推論:丑*是一個(gè)仿緊致空間. 根據(jù)定理7.6.8,可得圖表7.6 仿緊致空間| = |緊致空間n |局部緊致空間 作業(yè)： P212 1. 2.