《數(shù)字電子技術(shù)》第1章邏輯代數(shù)基礎(chǔ).ppt

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基本知識(shí)點(diǎn)概述數(shù)制與碼制邏輯代數(shù)邏輯函數(shù),返回主目錄,第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ),基本知識(shí)點(diǎn),數(shù)制與碼制基本邏輯關(guān)系與邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)基本定律與基本規(guī)則邏輯函數(shù)及表示方法邏輯函數(shù)的變換與化簡,,1.1概述,分析數(shù)字電路邏輯功能的數(shù)學(xué)方法:一、數(shù)制與碼制;二、邏輯代數(shù)的基本邏輯運(yùn)算關(guān)系、基本公式、常用公式、重要定理、定律和基本規(guī)則;三、邏輯函數(shù)及其表示方法，相互轉(zhuǎn)換方法，代數(shù)化簡和卡諾圖化簡法。,,1.2數(shù)制和碼制,一、二進(jìn)制數(shù)數(shù)碼在不同的位置上，其代表的數(shù)值不同，稱之為“位權(quán)”，或簡稱為“權(quán)”。二進(jìn)制僅使用0和1兩個(gè)數(shù)碼計(jì)數(shù)的基數(shù)是2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)可按“權(quán)”展開例如(1011)2這個(gè)4位二進(jìn)制數(shù)，它可以寫成：(1011)2=123+022+121+120,十六進(jìn)制使用0—9和A、B、C、D、E、F共十六個(gè)數(shù)碼計(jì)數(shù)的基數(shù)是16，進(jìn)位規(guī)則是“逢十六進(jìn)一”任意一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)可按“權(quán)”展開例如(3FA2)16這個(gè)四位十六進(jìn)制數(shù)，它可以寫成：(3FA2)16=3163+15162+10161+2160,二、十六進(jìn)制數(shù),1.二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制將二進(jìn)制數(shù)按“權(quán)”展開相加如：（1011）2=123+121+120=8+2+1=（11）10（1110.011）2=123+122+121+12-2+12-3=(14.375)10,三、不同進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換,2.十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制整數(shù)部分“除二取余法”如：余數(shù)2∣29…1低2∣14…0位2∣7…1↑2∣3…1高2∣1…1位0結(jié)果為：（29）10=（11101）2,2.十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)部分“乘二取整法”如：余數(shù)0.31252=0.625…0高0.6252=1.25…10.252=0.5…00.52=1.0…1低結(jié)果為：（0.3125）10=（0.0101）2,3.二進(jìn)制與十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換以小數(shù)點(diǎn)為界，每4位二進(jìn)制數(shù)為一組（高位不足4位時(shí)，前面補(bǔ)0，低位不足4位時(shí)，后面補(bǔ)0），并代之以等值的十六進(jìn)制數(shù)，即可完成轉(zhuǎn)換將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。如：(100110111.01)2=(137.4)16,四、二進(jìn)制代碼,代碼：在數(shù)字系統(tǒng)中，常常采用一定位數(shù)的二進(jìn)制碼來表示各種圖形、文字、符號(hào)等特定信息，通常稱這種二進(jìn)制碼為代碼。所有的代碼都是用二進(jìn)制數(shù)碼“0”和“1”的不同組合構(gòu)成。在這里的“0”和“1”并不表示數(shù)值的大小，而是僅僅表示某種特定信息。n位二進(jìn)制數(shù)碼有2n種不同的組合，可以代表2n種不同的信息。編碼：建立這種代碼與圖形、文字、符號(hào)或特定對(duì)象之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的過程。,常見的二進(jìn)制碼,1.二－十進(jìn)制碼（BCD碼）BCD碼是用四位二進(jìn)制數(shù)來表示一位十進(jìn)制數(shù)。8421BCD碼是一種有權(quán)碼，其中“8421”是指在這種編碼中，代碼從高位到低位的位權(quán)值分別為8、4、2、1。2421BCD代碼也是一種有權(quán)碼，在一組代碼中，從高位到低位，每位的位權(quán)值分別為2、4、2、1。5421BCD代碼也是一種有權(quán)碼，從高位到低位，每位的位權(quán)值分別為5、4、2、1。每組代碼各位的加權(quán)系數(shù)之和為其代表的十進(jìn)制數(shù)。余三碼是由8421BCD的每組代碼加上0011（加上3）形成的，是一種無權(quán)碼。,2.ASCII碼ASCII碼全名為美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)碼，是一種現(xiàn)代字母數(shù)字編碼。ASCII碼采用七位二進(jìn)制數(shù)碼來對(duì)字母、數(shù)字及標(biāo)點(diǎn)符號(hào)進(jìn)行編碼，用于微型計(jì)算機(jī)之間讀取和輸入信息。,,在邏輯代數(shù)（又稱布爾代數(shù)）中的變量稱為邏輯變量,一、基本邏輯運(yùn)算,（一）基本運(yùn)算的概念,變量的取值只有０和１兩種可能,只有當(dāng)兩個(gè)開關(guān)同時(shí)閉合，指示燈才會(huì)亮,我們約定：把開關(guān)閉合作為條件滿足，把指示燈亮作為結(jié)果發(fā)生,只有條件同時(shí)滿足時(shí)，結(jié)果才發(fā)生,,,,,,,邏輯與（邏輯乘、積）,這種因果關(guān)系叫做邏輯與，或者叫邏輯乘。,,滅,亮,１.３邏輯代數(shù),只要條件之一滿足時(shí)，結(jié)果就發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做邏輯或,開關(guān)閉合時(shí)，指示燈不亮，而開關(guān)斷開時(shí)，指示燈亮邏輯非,只要有任意一個(gè)開關(guān)閉合，指示燈就亮；,只要條件滿足，結(jié)果就不發(fā)生；而條件不滿足，結(jié)果一定發(fā)生。這種因果關(guān)系叫做邏輯非，或者叫邏輯反,邏輯或（邏輯加、和）,,,,,,滅,亮,,,,,邏輯非（邏輯反、反相）,亮,滅,,若條件滿足用1表示，不滿足用0表示；事件發(fā)生用1表示，不發(fā)生用表示0。則可以列出邏輯關(guān)系的圖表——邏輯真值表,與,或,非,000,010,100,111,000,011,101,111,01,10,1.邏輯真值表,（二）邏輯運(yùn)算的描述,2.邏輯表達(dá)式,3.邏輯符號(hào),Y=AB或?qū)懗桑篩=AB,與：,或：,非:,Y=A+B,,實(shí)現(xiàn)與、或、非邏輯運(yùn)算的單元電路分別叫做與門、或門、非門,與門,或門,非門,,AB,二、復(fù)合邏輯運(yùn)算,實(shí)際的邏輯問題往往比與、或、非復(fù)雜的多，不過它們都可以用與、或、非的組合來實(shí)現(xiàn)。最常見的復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或、同或等。,001,與非,或非,異或,同或,011,101,110,001,010,100,110,000,011,101,110,001,010,100,111,,,,,與或非,與或非真值表：,與或非表達(dá)式：,與或非門,邏輯符號(hào),與非門,或非門,異或門,同或門,三、邏輯代數(shù)的基本定律,這些基本公式都可以用真值表來證明,1.邏輯代數(shù)的基本定理有：（1）交換律：AB=BA；A+B=B+A（2）結(jié)合律：A(BC)=(AB)C；A+(B+C)=(A+B)+C（3）分配律：A(B+C)=AB+AC；A+BC=(A+B)(A+C)（4）01律：1A=A；0+A=A0A=0；1+A=1（5）互補(bǔ)律：A=0；A+=1（6）重疊律：AA=A；A+A=A（7）反演律——德摩根定律：；（8）還原律：,2.邏輯代數(shù)基本規(guī)則,1）代入規(guī)則在任何邏輯等式中，如果將等式兩邊的某一變量用同一個(gè)邏輯函數(shù)替代，則等式仍然成立，這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。如：已知，試證明用BC替代B后，等式仍然成立。證明：左邊右邊因?yàn)樽筮?右邊，所以等式成立。,２）反演規(guī)則將函數(shù)中所有的“”換成“+”，“+”換成“”，1換成0，0換成1，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原來邏輯函數(shù)Y的反函數(shù)，這一規(guī)則稱為反演規(guī)則。應(yīng)用反演規(guī)則時(shí)應(yīng)注意：變換前后的運(yùn)算順序不能變，必要時(shí)可以加括號(hào)來保證原來的運(yùn)算順序；反演規(guī)則中的反變量和原變量的互換只對(duì)單個(gè)變量有效。若在“非”號(hào)的下面有多個(gè)變量，則在變換時(shí)，此“非”號(hào)要保持不變，而對(duì)“非”號(hào)下面的邏輯表達(dá)式使用反演規(guī)則。,例1：求的反函數(shù)。解：例2：求的反函數(shù)。解：例3：求的反函數(shù)。解：例4：求的反函數(shù)。解：,３）對(duì)偶規(guī)則將函數(shù)中所有的“”換成“+”，“+”換成“”，1換成0，0換成1，而變量保持不變，就得到一個(gè)新函數(shù)Y`，則Y和Y`互為對(duì)偶式，這就是對(duì)偶規(guī)則。使用對(duì)偶規(guī)則時(shí)要注意，變換前后的運(yùn)算順序不能改變。如：求Y1=A（B+C）和Y2=A+BC的對(duì)偶式。解：Y1‘=A+BCY2‘=A(B+C)對(duì)偶規(guī)則的意義在于：若兩個(gè)邏輯函數(shù)相等，則其對(duì)偶式也必然相等。,,１.４邏輯函數(shù),一、邏輯函數(shù)及其表示方法1．真值表法真值表以表格的形式來描述輸入邏輯變量和邏輯函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其特點(diǎn)是直觀明了，特別是在把一個(gè)實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題時(shí)，使用真值表最為方便。列真值表時(shí)，一定要注意把輸入邏輯變量的取值組合列全，n個(gè)輸入變量共有2n個(gè)取值組合。當(dāng)輸出變量不止一個(gè)時(shí)，它們與輸入變量之間的邏輯關(guān)系，也應(yīng)在真值表中一一列出。,2.邏輯函數(shù)表達(dá)式法,用與、或、非等邏輯運(yùn)算符號(hào)來表示邏輯函數(shù)中各個(gè)變量之間邏輯關(guān)系的代數(shù)式，就叫做邏輯函數(shù)表達(dá)式。(1)邏輯表達(dá)式的幾種常見形式對(duì)于給定的邏輯函數(shù)，其真值表是唯一的，但描述同一個(gè)邏輯函數(shù)的邏輯表達(dá)式卻有多種形式，并且可以互相轉(zhuǎn)換。這種變換在邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)中要經(jīng)常用到。常見的邏輯表達(dá)式主要有五種形式。如函數(shù)：可以表示如下：利用邏輯代數(shù)的基本定律，可以實(shí)現(xiàn)上述五種表達(dá)式之間的相互轉(zhuǎn)換。,,,,,二、邏輯函數(shù)的代數(shù)變換與化簡,運(yùn)用邏輯代數(shù)中的基本定理和法則，對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變換，消去多余項(xiàng)和多余變量，以獲得最簡函數(shù)表達(dá)式的方法，就稱為公式法化簡，也稱為代數(shù)法化簡。判斷與或表達(dá)式是否最簡的條件是：（1）邏輯乘積項(xiàng)最少；（2）每個(gè)乘積項(xiàng)中變量最少,常見的公式化簡方法,1．并項(xiàng)法（運(yùn)用公式）如2.吸收法（運(yùn)用公式A+AB=A和）如Y=AB+AB（C+D）=AB（1+C+D）=AB又如,3.消去法（運(yùn)用公式：）如4.配項(xiàng)法（運(yùn)用公式：、、）如,１.邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式1）最小項(xiàng)的定義：在n變量的邏輯函數(shù)中，如果一個(gè)乘積項(xiàng)包含了所有的變量，并且每個(gè)變量在該乘積項(xiàng)中以原變量或反變量的形式作為一個(gè)因子出現(xiàn)一次，則該乘積項(xiàng)就稱為邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。n變量的最小項(xiàng)共有2n個(gè)。通常用m來表示最小項(xiàng)，其下標(biāo)為最小項(xiàng)的編號(hào)。編號(hào)的方法如下：在每一個(gè)最小項(xiàng)中，原變量取值為1，反變量取值為0，則每一個(gè)最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)一組二進(jìn)制數(shù)，該二進(jìn)制數(shù)所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是這個(gè)最小項(xiàng)的編號(hào)。,三、卡諾圖化簡法,2）最小項(xiàng)的性質(zhì),對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為1，而其他各種變量取值均使它的值為0;對(duì)于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0;對(duì)于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)的和為1。,２.卡諾圖,1）最小項(xiàng)的相鄰性,兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量取值不同，我們就說這兩個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上相鄰。,例如：,、ABC就是兩個(gè)邏輯相鄰的最小項(xiàng)。,中，,用公式可以化簡上式：,這兩個(gè)最小項(xiàng)合并成了一項(xiàng)，消去了那個(gè)變量取值不同的變量（因子），剩下“公共”變量（因子）。,這是一個(gè)規(guī)律,但直接從表達(dá)式中觀察相鄰的最小項(xiàng)有一定的難度。,,,,2）卡諾圖,三變量的卡諾圖,四變量的卡諾圖,除了幾何位置（上下左右）相鄰的最小項(xiàng)邏輯相鄰以外，一行或一列的兩端也有相鄰性。,圖形左側(cè)和上側(cè)的數(shù)字，表示對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)變量的取值,,要熟記這些數(shù)字和最小項(xiàng)的排列次序,3）用卡諾圖表示邏輯函數(shù),例1：填寫三變量邏輯函數(shù)Y（A、B、C、D）=∑m(0，1，4，8，10，11)的卡諾圖,解：Y有5個(gè)最小項(xiàng)m0、m1、m4、m8、m10、m11，就在四變量卡諾圖的相應(yīng)位置填1，其它位置填0（也可以不填）。,例2：填寫三變量邏輯函數(shù)的卡諾圖,解：先對(duì)函數(shù)進(jìn)行變換：,就在三變量卡諾圖的相應(yīng)位置填1。,4）用卡諾圖化簡邏輯函數(shù),,,,,,,,AC,AB,A,A,D,最小項(xiàng)的合并規(guī)律是：兩個(gè)相鄰，并消去一個(gè)變量四個(gè)相鄰，并消去兩個(gè)變量八個(gè)相鄰，并消去三個(gè)變量,,,,,,用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟,畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；,將各個(gè)包圍圈所得到的乘積項(xiàng)相加，即可得到最簡的與或表達(dá)式。,合并卡諾圖中的相鄰最小項(xiàng)；要合并最小項(xiàng)，首先要將相鄰的最小項(xiàng)用包圍圈圈起來。,畫包圍圈的規(guī)則：,在同一個(gè)包圍圈里只能包含2n個(gè)相鄰的最小項(xiàng)；包圍圈的個(gè)數(shù)要盡量少，以保證化簡后得到的項(xiàng)數(shù)最少。但所有的最小項(xiàng)（即填1的小方格）均應(yīng)圈過，不能遺漏；每個(gè)包圍圈要盡量大，以使得每個(gè)乘積項(xiàng)中包含的變量個(gè)數(shù)最少；最小項(xiàng)可以重復(fù)使用，但每個(gè)包圍圈中至少要有一個(gè)最小項(xiàng)未被其它包圍圈圈過。,例：化簡Y（A，B，C，D）=∑m(1,2,3,4,5,6),解：Y直接給的是最小項(xiàng)之和的形式，可以直接填寫卡諾圖。,Y原來是6個(gè)最小項(xiàng)之和，現(xiàn)在合并成了3項(xiàng)，Y就應(yīng)當(dāng)是這4項(xiàng)的和，即：,注意不能漏掉任何一個(gè)“1”,將相鄰的“1”（最小項(xiàng)）圈起來，表示將它們合并成一項(xiàng)，,,,,四、具有約束的邏輯函數(shù)的化簡,1.邏輯函數(shù)中的約束項(xiàng)約束項(xiàng)是指那些與所討論的邏輯問題沒有關(guān)系的變量取值組合所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)。在卡諾圖中，約束項(xiàng)用“”表示。在邏輯函數(shù)表達(dá)式中，用字母d和相應(yīng)的編號(hào)來表示無關(guān)項(xiàng)。,2.具有約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡在卡諾圖中，約束項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的小方格可以視為1，也可以視為0。,例用卡諾圖化簡具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)：Y=∑m(0,1,4,6,9,13)+∑d(2,3,5,7,10,11)。,寫出最簡的與或表達(dá)式,解:(1)畫出四變量的卡諾圖,(2)合并最小項(xiàng),1,,,,,,,,,