2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 3.1 數(shù)學(xué)歸納法課件 北師大版選修4-5.ppt

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第二章3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式,3.1數(shù)學(xué)歸納法,,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理.2.了解數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍.3.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.,,,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測(cè),,題型探究,內(nèi)容索引,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),知識(shí)點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法,在學(xué)校，我們經(jīng)常會(huì)看到這樣的一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一個(gè)同學(xué)將第一輛自行車不小心弄倒了，那么整排自行車就會(huì)倒下.,思考1試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個(gè)條件？,答案①第一輛自行車倒下；②任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下.,思考2由這種思想方法所得的數(shù)學(xué)方法叫數(shù)學(xué)歸納法，那么，數(shù)學(xué)歸納法適用于解決哪類問(wèn)題？,答案適合解決一些與正整數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題.,梳理數(shù)學(xué)歸納法的概念及步驟(1)數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：①證明當(dāng)時(shí)命題成立；②假設(shè)當(dāng)____________________時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.,n＝n0,n＝k＋1,n＝k(k∈N＋，且k≥n0),(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明.(3)數(shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程,正整數(shù),題型探究,類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，等式成立，,證明,即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.由(1)(2)可知，原等式對(duì)n∈N＋均成立.,反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是要準(zhǔn)確表述n＝n0時(shí)命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由n＝k到n＝k＋1時(shí)，命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn).并且一定要記?。涸谧C明n＝k＋1成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè).,證明,(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，等式成立，,當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2,所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立.由(1)(2)可知，等式對(duì)任何n∈N＋都成立.,類型二證明與整除有關(guān)的問(wèn)題,例2求證：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除.,證明,證明(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除.(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，x2k－y2k能被x＋y整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，x2k＋2－y2k＋2＝x2x2k－y2y2k－x2y2k＋x2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2).∵x2k－y2k與x2－y2都能被x＋y整除，∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除.即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除.由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n，命題均成立.,反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式.這往往要利用“添項(xiàng)”與“減項(xiàng)”“因式分解”等變形技巧來(lái)湊出n＝k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題得證.,跟蹤訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋).,證明,證明(1)當(dāng)n＝1時(shí)，13＋23＋33＝36能被9整除，所以結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3).因?yàn)閗3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立.由(1)(2)知，命題對(duì)一切n∈N＋成立.,達(dá)標(biāo)檢測(cè),1,2,4,3,解析邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n0＝3.,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)π”時(shí)，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為A.1B.2C.3D.4,答案,解析,√,1,2,4,3,解析當(dāng)n＝1時(shí)，n＋1＝2，故左邊所得的項(xiàng)為1＋a＋a2.,A.1B.1＋a＋a2C.1＋aD.1＋a＋a2＋a3,答案,解析,√,1,2,4,3,解析34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝8134k＋1＋2552k＋1＝8134k＋1＋8152k＋1－5652k＋1＝81(34k＋1＋52k＋1)－5652k＋1.,3.用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為_(kāi)__________________________________________________________.,答案,解析,81(34k＋1＋52k＋1)－5652k＋1(或25(34k＋1＋52k＋1)＋,5634k＋1),1,2,4,3,證明(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式成立.由(1)(2)可知，等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).,證明,規(guī)律與方法,1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)第一步中的驗(yàn)證，對(duì)于有些問(wèn)題驗(yàn)證的并不是n＝1，有時(shí)需驗(yàn)證n＝2，n＝3.(2)對(duì)n＝k＋1時(shí)式子的項(xiàng)數(shù)以及n＝k與n＝k＋1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問(wèn)題的保障.(3)“假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，利用這一假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的核心環(huán)節(jié)，對(duì)待這一推導(dǎo)過(guò)程決不可含糊不清，推導(dǎo)的步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范.,2.判斷利用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題是否正確(1)要看有無(wú)歸納奠基.(2)證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)是否應(yīng)用了歸納假設(shè).3.與n有關(guān)的整除問(wèn)題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明.其中關(guān)鍵問(wèn)題是從當(dāng)n＝k＋1時(shí)的表達(dá)式中分解出n＝k時(shí)的表達(dá)式與一個(gè)含除式的因式或幾個(gè)含除式的因式，這樣才能得出結(jié)論成立.,本課結(jié)束,,