期權(quán)及其二叉樹(shù)模型(金融工程-人民大學(xué)林清泉).ppt
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第八章期權(quán)及其二叉樹(shù)模型,金融期權(quán)（financialoption）簡(jiǎn)稱(chēng)為期權(quán)是主要的金融衍生產(chǎn)品，它是金融工程的主要工具,也是構(gòu)成金融工程其它金融衍生產(chǎn)品的基礎(chǔ)。,期權(quán)合約是買(mǎi)賣(mài)雙方簽定的一種協(xié)議，該協(xié)議賦予期權(quán)購(gòu)買(mǎi)者在未來(lái)某一時(shí)刻以事先約定的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)(或出售）某一資產(chǎn)的權(quán)利。但是，那時(shí)他可以行使他的權(quán)利也可以不行使這個(gè)權(quán)利。,如果到了規(guī)定的時(shí)間，而不行使這種權(quán)利，則這種權(quán)利就失效了。,在協(xié)議中約定購(gòu)買(mǎi)（或出售）的資產(chǎn)稱(chēng)為標(biāo)的資產(chǎn)。購(gòu)買(mǎi)時(shí)間稱(chēng)為執(zhí)行時(shí)間，購(gòu)買(mǎi)價(jià)格稱(chēng)為執(zhí)行價(jià)格。具有購(gòu)買(mǎi)權(quán)利的期權(quán)稱(chēng)為看漲期權(quán)，具有出售權(quán)利的期權(quán)稱(chēng)為看跌期權(quán)。,這一章，首先討論歐式期權(quán)及其組合的損益，并以簡(jiǎn)明的圖象表示出來(lái)。,第二，介紹期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)模型。,第三，介紹以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)。,第四，討論n期二叉樹(shù)模型。,最后，討論存在交易費(fèi)用條件下的二叉樹(shù)模型。,第一節(jié)(歐式)期權(quán)及其組合的損益,一、（歐式）期權(quán)交易到期的損益分析,設(shè)執(zhí)行價(jià)為X，在期權(quán)到期時(shí)刻T,股票價(jià)格為ST,（一）看漲期權(quán)到期日的損益分析,2.看漲期權(quán)空頭（賣(mài)），（承擔(dān)義務(wù)）,1.看跌期權(quán)多頭(買(mǎi)),(賦予權(quán)力),2.看跌期權(quán)空頭(賣(mài)),(承擔(dān)義務(wù)),1.看漲期權(quán)多頭（買(mǎi)），（賦予權(quán)力）,（二）看跌期權(quán)到期日損益分析,設(shè)股票初始價(jià)格為S,期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為股票初始價(jià)格，,二、在(?S,?W)平面上歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的損益表示,,,?W為期權(quán)的收益,三、在(?S,?W)平面上,股票和債券的收益:(為了說(shuō)明問(wèn)題方便，這里及下面都考慮無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率因素）,令,(一)在(?S,?W)平面上看漲期權(quán)多頭和看漲期權(quán)空頭的收益,(二)在(?S,?W)平面上看跌期權(quán)多頭和看跌期權(quán)空頭的收益,(二)債券買(mǎi)賣(mài)的收益,1.購(gòu)入一份股票和一份以此股票為標(biāo)的看跌期權(quán)的收益。,2.賣(mài)一份以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)的收益,4.S+P-C損益的數(shù)學(xué)表達(dá)式：,5.直接從證券組合的最終收益也可說(shuō)明該組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合,(三)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合的構(gòu)造:,(一)股票買(mǎi)賣(mài)的收益,購(gòu)入一份股票、一份以此股票為標(biāo)的看跌期權(quán)和賣(mài)一份看漲期權(quán),3.購(gòu)入一份股票的收益,(四)其他期權(quán)組合的收益,1.牛市價(jià)差買(mǎi)賣(mài)(bullishverticalspread)：購(gòu)買(mǎi)一份執(zhí)行價(jià)格為X1的看漲期權(quán)，賣(mài)出一份執(zhí)行價(jià)格是X2的看漲期權(quán)，其中X2>X1,2.熊市價(jià)差買(mǎi)賣(mài)（bearishverticalspread）：賣(mài)出執(zhí)行價(jià)格為X1的看漲期權(quán)，買(mǎi)入一份執(zhí)行價(jià)格是X2的看漲期權(quán)，其中X2>X1。,3.蝶式價(jià)差買(mǎi)賣(mài)(butterflyspread）：它是牛市價(jià)差買(mǎi)賣(mài)與熊市價(jià)差買(mǎi)賣(mài)的組合，即購(gòu)入一份執(zhí)行價(jià)格為X1和一份執(zhí)行價(jià)格為X2的看漲期權(quán)，再賣(mài)出兩份執(zhí)行價(jià)格為X3的看漲期權(quán)。其中，X2>X3>X1，且,,4.底部馬鞍式組合（bottomstraddle或買(mǎi)馬鞍式）：購(gòu)入一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格均為X,5.頂部馬鞍組合（topstraddle或賣(mài)馬鞍式)：賣(mài)出一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格均為X,6.底部梯形組合（Bottomverticalcombination或買(mǎi)入梯形組合)：買(mǎi)入一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán),執(zhí)行價(jià)格分別是X1和X2，其中X2>X1。,7.頂部梯形組合（Topverticalcombination或賣(mài)出梯形組合)：賣(mài)出一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格分別為X1和X2，其中X2>X1。,8.疊做期權(quán)（Straps）：購(gòu)進(jìn)兩個(gè)看漲期權(quán)和一個(gè)看跌期權(quán)，它們的執(zhí)行價(jià)與到期日都相同。,9.逆疊做期權(quán)（Strip）：購(gòu)買(mǎi)兩份看跌期權(quán)和一份看漲期權(quán)，具有相同的執(zhí)行價(jià)和到期日。,10.三明治買(mǎi)賣(mài)（sandwich）期權(quán)：買(mǎi)兩份執(zhí)行價(jià)格為中間的Xm看漲期權(quán),賣(mài)一份執(zhí)行價(jià)為XL的較低價(jià)格的看漲期權(quán),賣(mài)一份執(zhí)行價(jià)高Xu的看漲期權(quán)，即,,11.W型,以例子說(shuō)明該證券組合：,第二節(jié)期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)模型,一、期權(quán)定價(jià)的一期模型,Cox-Ross-Rubinstein二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型：設(shè)資本市場(chǎng)是競(jìng)爭(zhēng)的無(wú)摩檫的（不存在交易費(fèi)用),不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，股票和期權(quán)是無(wú)限可分的。下一期的股票價(jià)格只取兩種可能的值。,先討論一期模型：,注:條件u>1+r>d必須成立,否則可能出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。,（一）股票價(jià)格的一期變化規(guī)律,（二）以股票為標(biāo)的期權(quán)價(jià)格,設(shè)以該股票為標(biāo)的看漲期權(quán)的價(jià)格為C,執(zhí)行價(jià)格為22,則,對(duì)此期權(quán)如何定價(jià)是合理的?為了解決此問(wèn)題,構(gòu)造一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套期保值的證券組合：,購(gòu)買(mǎi)一份股票，賣(mài)掉m份期權(quán)，這個(gè)證券組合的價(jià)值：,,由于所構(gòu)造的證券組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合，故在期末時(shí)它在各狀態(tài)的收益是一樣的。由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的證券組合條件，我們有：,,由于所構(gòu)造的證券組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合，故有：,（1+r)(S-mC）=uS-mCU,,將m的值代入時(shí),有(m稱(chēng)為套期保值率hedgeratio),令,,,,p稱(chēng)為套期保值概率。,事實(shí)上,若投資者是風(fēng)險(xiǎn)中性，則有,,由此得,,p=q,所以通常也稱(chēng)p為風(fēng)險(xiǎn)中性概率,例如:設(shè)S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22，求C。,注1.由此可知套期保值證券組合所需要的投資,在期末所得到的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益為22.,,,,,注2.此套期保值的證券組合為,買(mǎi)一份股票,賣(mài)一份看漲期權(quán).,注3.投資的回報(bào)率22/19.13=1.15=1+r.,注4.由上面推導(dǎo)期權(quán)定價(jià)的過(guò)程可知,期權(quán)的價(jià)值依賴(lài)于存在一個(gè)套期保值的證券組合,以及期權(quán)的定價(jià)是要使此套期保值組合獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率,即債券的回報(bào)率.,如果期權(quán)價(jià)格高了(或者低了),則套期保值證券組合的收益率比無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率高(或低)的回報(bào),無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)就存在.,期權(quán)定價(jià)公式三個(gè)有趣的性質(zhì)：,期權(quán)的價(jià)格不依賴(lài)于股票價(jià)格上升的概率。盡管投資者對(duì)股票上升的概率有不同的判斷,但他仍然只能接受與u，d，X，S，r相關(guān)聯(lián)的期權(quán)價(jià)值，而股票本身是引起投資者對(duì)q的不同判斷的根源。,2.投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度與期權(quán)定價(jià)公式無(wú)關(guān),所得的結(jié)果只假設(shè)人們偏好更多的財(cái)富。,3.股票價(jià)格是期權(quán)價(jià)值唯一依賴(lài)的隨機(jī)變量。,二、期權(quán)定價(jià)的二期模型,為了得到多期期權(quán)價(jià)格公式,首先討論二期模型,設(shè)二期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，每期復(fù)利一次，則一元錢(qián)的投資到二期后有(1+r)2元，設(shè)股票的初始價(jià)格為S，,與一期模型一樣,為了得到期權(quán)的價(jià)格，構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套期保值證券組合,從而得到：,,由一期模型得到的Cu,Cd,代入上式有:,,,,,從另一個(gè)角度看,上式表明:期權(quán)價(jià)值等于在風(fēng)險(xiǎn)中性概率下二期收益的期望值折現(xiàn)。,第三節(jié)以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)模型,1.就債券支付狀態(tài)的變化規(guī)律而言,與股票支付狀態(tài)的變化規(guī)律相反.股票支付狀態(tài)隨著時(shí)間的推移逐漸地分叉，如:圖8-35,3.設(shè)利率也是取二值的過(guò)程：如:圖8-38,,,一、債券價(jià)格的二叉樹(shù)模型,概述,2.債券支付(收益)在到期日收斂于它的面值,此外多數(shù)債券有票息支付,如:圖8-36及圖8-37,4.設(shè)債券面值為D，半年的票息為Ci，i=1,…,2n，若把此債券看成面值與票息分離的債券，則債券的現(xiàn)金流相當(dāng)于2n份面值為Ci和一份面值為D的零息債券。,(一)風(fēng)險(xiǎn)中性方法,債券價(jià)格樹(shù)的構(gòu)造,1.一年期債券的價(jià)格樹(shù)圖8-39,2.一年半期債券的價(jià)格樹(shù)圖3-40,（二）利率期限結(jié)構(gòu)模型方法,在（一）中介紹了給定利率期限結(jié)構(gòu)以及半年期利率變化規(guī)律尋找風(fēng)險(xiǎn)中性概率序列并且應(yīng)用該序列給債券定價(jià)的方法。另一種債券定價(jià)的方法，稱(chēng)為利率期限結(jié)構(gòu)模型方法：先固定半年期利率在下一期以同樣的概率分別取兩個(gè)值，然后利用利率期限結(jié)構(gòu)模型計(jì)算半年期利率值，從而構(gòu)成一個(gè)利率樹(shù)。用所得到的利率樹(shù)對(duì)債券未來(lái)的價(jià)值折現(xiàn)就可得到債券的價(jià)格。如圖8-45,8-46,例[8-8]設(shè)初始利率為r=10%,在第二期以q=0.5的概率上升到12%,以0.5的概率下降到d=8.5%。同時(shí)假設(shè)債券的面值D=100在一年期半內(nèi)每半年支付的紅利10,而每期初債券的價(jià)值是期末支付的期望值的折現(xiàn),求債券的價(jià)格。如圖8-47,t期債券價(jià)格:,二、以債券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià),設(shè)以例[8-8]中的債券為標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行價(jià)X=100的看漲期權(quán),在t時(shí)期市場(chǎng)上價(jià)格為Ct，它的收益如下：圖8-48,,,若是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套期保值，此債券組合在到期時(shí)的支付（收益）是一樣的。設(shè)看漲期權(quán)在t期執(zhí)行，則此債券組合在t+1期時(shí)兩個(gè)狀態(tài)的收益相等。,為了達(dá)到期權(quán)定價(jià)的目的。與以股票為標(biāo)的看漲期權(quán)定價(jià)理論一樣,構(gòu)造一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套期保值債券組合；購(gòu)買(mǎi)一份債券，出售m份看漲期權(quán)（以該債券為標(biāo)的的看漲期權(quán)）。,Bd,t+1+票息-mCd,t+1=Bu,t+1+票息-mCu,t+1,,由于是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券組合，故有,（Bt-mCt）（1+rt/2）=Bdt+1+票息-mCdt+1,其中rt為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，將m的值代入上式，我們有：,,,一、二項(xiàng)式及二項(xiàng)分布,二項(xiàng)式試驗(yàn)(Binomialtrials)：稱(chēng)試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)的試驗(yàn)為二項(xiàng)式試驗(yàn)。如在拋硬幣試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個(gè)：正面和反面。硬幣可以是均勻的，也可以不是均勻的。設(shè)拋硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的概率為p，出現(xiàn)反面的概率為1-p.二項(xiàng)分布告訴我們?cè)趎次試驗(yàn)中,出現(xiàn)k次正面的概率為,,,第四節(jié)n期歐式期權(quán)的定價(jià)模型,記為Pr(k|n)。例如，試驗(yàn)次數(shù)為3，則出現(xiàn)兩次正面的概率為Pr（2|3）。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)不多時(shí)，Pr(k|n）的系數(shù)可以借助帕斯卡三角形（Pascal’striangle）。每一行的數(shù)據(jù)都是由前行相鄰的兩數(shù)之和。,二、n期歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式,試驗(yàn)次數(shù)帕斯卡三角形01111212131331414641,,出現(xiàn)正面次數(shù)n，n-1，…….n-n,n期歐式看漲期權(quán)取值的結(jié)果:,,,,,對(duì)應(yīng)概率,CnnpnCnn-1pn-1(1-p),……,Cnn-Kpn-K（1-p）K….Cn0p0(1-p）n,故,,分析結(jié)果.,知看漲期權(quán)的價(jià)值隨著股票的價(jià)格上漲，而當(dāng)執(zhí)行價(jià)格升高時(shí),它的價(jià)值隨之降低。而且，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、期權(quán)到期期限n、二項(xiàng)分布的方差б2=np(1-p)都影響期權(quán)的價(jià)值.,,,1.由,3.增加到期期限同樣提高了看漲期權(quán)的價(jià)格。我們知道看漲期權(quán)的價(jià)值等于最終收益的折現(xiàn)乘上套期保值的概率。而時(shí)間期限的數(shù)值不改變套期保值的概率但他增加的正收益的項(xiàng)數(shù),且二項(xiàng)分布收益的期望值也隨著np的增加而增加。,4.看漲期權(quán)價(jià)值隨著二項(xiàng)分布方差np(1-p)增加而增加.,第五節(jié)存在交易費(fèi)用條件下期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)模型,期權(quán)定價(jià)的基本思想是構(gòu)造一個(gè)證券組合，使得他在期權(quán)執(zhí)行時(shí)刻的收益與期權(quán)的收益相同，而這個(gè)證券組合的初始值就是該期權(quán)的合理價(jià)格。更加嚴(yán)格地說(shuō)，使得在執(zhí)行時(shí)，證券組合價(jià)值等于期權(quán)價(jià)值的所有證券組合中，初始價(jià)值最小的那個(gè)證券組合，就是套期保值證券組合，其價(jià)值就是期權(quán)的價(jià)格。下面討論另一類(lèi)二叉樹(shù)模型——不可重合的二叉樹(shù)模型以及存在交易費(fèi)用條件下,這一類(lèi)模型定價(jià)問(wèn)題。,一、不存在交易費(fèi)用的期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)問(wèn)題,設(shè)股票在0時(shí)刻的價(jià)格為S(0)=S0，在t=1時(shí)刻價(jià)格為S(1)是隨機(jī)變量，它可能的取值為S11或S12(S12>S11)，在t=2時(shí)刻價(jià)格為S(2)，它可能取值為S21下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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