中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《幾何證明》壓軸題

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1、學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 幾何證明壓軸題（中考） 1、如圖，在梯形?ABCD?中，AB∥CD，∠BCD=90°,且?AB=1，BC=2，tan∠ADC=2. (1)?求證：DC=BC; (2)?E?是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)?是梯形外一點(diǎn)，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷 CF?的形 狀，并證明你的結(jié)論； (3)?在（2）的條件下，當(dāng)?BE：CE=1：2，∠BEC=135°時(shí)，求?sin∠BFE?的值. [解析]  （1）過?A?作?DC?的垂線?AM?交?DC?于?M,  A???????B 則?AM=BC=2. 又?

2、tan∠ADC=2,所以?DM?= 2 2  =?1.即?DC=BC. E (2)等腰三角形. 證明：因?yàn)?DE?=?DF?,?DEDC?=?DFBC?,?DC?=?BC?.  F 所以，△DEC≌△BFC D C 所以，?CE?=?CF?,?DECD?=?DBCF?. 所以，?DECF?=?DBCF?+?DBCE?=?DECD?+?DBCE?=?DBCD?=?90° 即△ECF?是等腰直角三角形. （3）設(shè)?BE?=?k?,則?CE?=?CF?=?2k?，所以?EF?=?2?2k?. 因?yàn)?

3、DBEC?=?135°?，又?DCEF?=?45°?，所以?DBEF?=?90°?. 所以?BF?= k?2?+?(2?2k?)2?=?3k 所以?sin?DBFE?= k??1 =??. 3k??3 2、已知：如圖，在□?ABCD?中，E、F?分別為邊?AB、CD?的中點(diǎn)，BD?是對(duì)角線，AG∥DB 交?CB?的延長(zhǎng)線于?G． （）求證： ADE≌△CBF； （2）若四邊形?BEDF?是菱形，則四邊形?AGBD?是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論． [解析]  （1）∵四邊形?ABCD?是平行四邊形，

4、 ∴AE＝??1 ∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD?． ∵點(diǎn)?E?、F?分別是?AB、CD?的中點(diǎn)， 1 AB?，CF＝ CD?． 2 2 ∴AE＝CF ∴△ADE≌△CBF?． （2）當(dāng)四邊形?BEDF?是菱形時(shí)， 四邊形?AGBD?是矩形． ∵四邊形?ABCD?是平行四邊形， ∴AD∥BC?． 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 ∵AG∥BD?， ∴四邊形?AGBD?是平行四邊形． ∵四邊形?BEDF?是菱形， ∴DE＝BE?． ∵AE＝BE?， ∴AE＝BE＝DE?． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180

5、°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°． ∴四邊形?AGBD?是矩形 3、如圖?13－1，一等腰直角三角尺?GEF?的兩條直角邊與正方形?ABCD?的兩條邊分別重合在 一起．現(xiàn)正方形?ABCD?保持不動(dòng)，將三角尺?GEF?繞斜邊?EF?的中點(diǎn)?O（點(diǎn)?O?也是?BD?中點(diǎn)） 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)． （1）如圖?13－2，當(dāng)?EF?與?AB?相交于點(diǎn)?M，GF?與?BD?相交于點(diǎn)?N?時(shí)，通過觀察或測(cè) 量?BM，F(xiàn)N?的長(zhǎng)度，猜想?BM，F(xiàn)N?滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； （2）若三角尺?GEF?旋轉(zhuǎn)到如圖?13－3?所示的位置

6、時(shí)，線段?FE?的延長(zhǎng)線與?AB?的延長(zhǎng) 線相交于點(diǎn)?M，線段?BD?的延長(zhǎng)線與?GF?的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)?N，此時(shí)，（1）中的 猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由． D(?F?)  C F D????????????C N  D??????????C O  G N  O F  O A(?G?) B(?E?)  A????????M??B??????????A E???????????????????G E B??M 圖?13－1 圖?13－2

7、 圖?13－3 [解析]（1）BM=FN． 證明：∵△GEF?是等腰直角三角形，四邊形?ABCD?是正方形， ∴?∠ABD?=∠F?=45°，OB?=?OF． 又∵∠BOM=∠FON， ∴?△OBM≌△OFN?． ∴?BM=FN． （2）?BM=FN?仍然成立． （3）?證明：∵△GEF?是等腰直角三角形，四邊形?ABCD?是正方形， ∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°． 又∵∠MOB=∠NOF， ∴?△OBM≌△OFN?． ∴?BM=FN． 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 4、如圖，已知⊙O?的直徑?A

8、B?垂直于弦?CD?于?E，連結(jié)?AD、BD、OC、OD，且?OD＝5。 （1）若?sin?∠BAD?=?3 5  ，求?CD?的長(zhǎng)； （2）若?∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形?OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保留p?）。 [解析]  （1）因?yàn)?AB?是⊙O?的直徑，OD＝5 5??，所以??BD??=??3 5??，所以?BD?=?6 所以?CB?=?BD?，?AC?=?AD⌒ 所以∠ADB＝90°，AB＝10 在? ABD?中，?sin?∠BAD?=?BD AB 又?sin?∠BAD?

9、=?3 AD?= AB?2?-?BD?2?=?102?-?62?=?8 因?yàn)椤螦DB＝90°，AB⊥CD 所以?DE·AB?=?AD·BD，CE?=?DE 所以?DE?′?10?=?8?′?6 所以?DE?=?24 5 所以?CD?=?2?DE?=?48 5 （2）因?yàn)?AB?是⊙O?的直徑，AB⊥CD ⌒ ⌒ ⌒ 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因?yàn)?AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO 設(shè)∠ADO＝4x，則∠CDB＝4x 由∠ADO：∠EDO＝4：1，則∠EDO＝x 因?yàn)椤螦DO＋∠EDO＋∠ED

10、B＝90° 所以?4?x?+?4?x?+?x?=?90° 所以?x＝10° 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100° S 360 扇形OAC?=?100?′?p?′?52?= 125 18?p ∴??EH =???? =???? ，∵HE＝EC，∴BF＝FD 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 5、如圖，已知：C?是以?AB?為直徑的半圓?O?上一點(diǎn)，CH⊥AB?于點(diǎn)?H，直線?AC?與過 B?點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)?D，E?為?CH?中點(diǎn)，連接?AE?并延長(zhǎng)交?BD?于點(diǎn)?F，直線?CF?交直線?

11、AB 于點(diǎn)?G. （1）求證：點(diǎn)?F?是?BD?中點(diǎn)； （2）求證：CG?是⊙O?的切線； （3）若?FB=FE=2，求⊙O?的半徑． [解析]?(1)證明：∵CH⊥AB，DB⊥，∴ AEH∽AFB，△ACE∽△ADF AE CE BF AF FD (2)方法一：連接?CB、OC， ∵AB?是直徑，∴∠ACB＝90°∵F?是?BD?中點(diǎn)， ∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°,∴CG?是⊙O?的切線---------6′ 方法二：可證明△OCF≌△OBF(參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分) (3)解：由?FC=FB=FE?得：∠

12、FCE=∠FEC 可證得：FA＝FG，且?AB＝BG 由切割線定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2 ? 在? BGF?中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ? 由??、??得：FG2-4FG-12=0 解之得：FG1＝6，F(xiàn)G2＝－2（舍去） ∴AB＝BG＝?4?2 ∴⊙O?半徑為?2?2 6、如圖，已知?O?為原點(diǎn)，點(diǎn)?A?的坐標(biāo)為（4，3）， ⊙A?的半徑為?2．過?A?作直線?l?平行于?x?軸，點(diǎn)?P?在直線?l?上運(yùn)動(dòng)． （１）當(dāng)點(diǎn)?P?在⊙O?上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出它的坐標(biāo)； （２）設(shè)點(diǎn)?P?的橫坐標(biāo)為?12，試判斷直線?OP?與⊙A?的位置關(guān)

13、系，并說明理由. [解析] 解:?⑴點(diǎn)?P?的坐標(biāo)是（2,3）或（6,3） ⑵作?AC⊥OP,C?為垂足. ∵∠ACP=∠OBP=?90?,∠1=∠1 ∴ ∽ OBP ∴ AC??AP = OB??OP 在?RtDOBP?中,?OP?=?OB2?+?BP2?=?153?,又?AP=12-4=8, ∴ ∴AC=?24???153?≈1.94 ∵1.94<2 ∴OP?與⊙A?相交. AC????8 = 3????153 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 7、如圖，延長(zhǎng)⊙O?的半徑?OA?到?B，使?OA=AB， D

14、E?是圓的一條切線，E?是切點(diǎn)，過點(diǎn)?B?作?DE?的垂線， 垂足為點(diǎn)?C. 求證：∠ACB= ∠OAC. [解析] 1 3  D  E C 證明：連結(jié)?OE、AE，并過點(diǎn)?A?作?AF⊥DE?于點(diǎn)?F， （3 O A 分） B ∵DE?是圓的一條切線，E?是切點(diǎn)， ∴OE⊥DC， 又∵BC⊥DE, ∴OE∥AF∥BC. ∴∠1=∠ACB，∠2=∠3. ∵OA=OE， ∴∠4=∠3. ∴∠4=∠2. 又∵點(diǎn)?A?是?OB?的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)?F?是?EC?的中點(diǎn). ∴AE=

15、AC. ∴∠1=∠2. ∴∠4=∠2=∠1. 即∠ACB=?1 3  ∠OAC. 8、如圖１，一架長(zhǎng)?4?米的梯子?AB?斜靠在與地面?OM?垂直的墻壁?ON?上，梯子與地面的傾 斜角α為?60?o?． ⑴求?AO?與?BO?的長(zhǎng)； ⑵若梯子頂端?A?沿?NO?下滑，同時(shí)底端?B?沿?OM?向右滑行. ①如圖?2，設(shè)?A?點(diǎn)下滑到?C?點(diǎn)，B?點(diǎn)向右滑行到?D?點(diǎn)，并且?AC:BD=2:3，試計(jì)算梯子 頂端?A?沿?NO?下滑多少米； ②如圖３，當(dāng)?A?點(diǎn)下滑到?A’點(diǎn)，B?點(diǎn)向右滑行到?B’點(diǎn)時(shí)，梯子?AB?的中點(diǎn)?

16、P?也隨之運(yùn) 動(dòng)到?P’點(diǎn)．若∠POP’＝?15o?，試求?AA’的長(zhǎng)． 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載 [解析] ⑴?RtDAOB?中,∠O=?90?,∠α=?60?o ∴,∠OAB=?30?o?，又ＡＢ＝4?米， ∴?OB?= 1 2  AB?=?2?米. (???? )?+?(2?+?3x?) ∴??2??3?-?2?x =?42???-------------?(5?分) 2 (???? ) 3 OA?=?AB?×?sin?60?=?4?′ =?2?3?米.?-------------

17、-?(3?分) 2 ⑵設(shè)?AC?=?2?x,?BD?=?3x,?在?RtDCOD?中, OC?=?2?3?-?2?x,?OD?=?2?+?3x,?CD?=?4 根據(jù)勾股定理:?OC?2?+?OD2?=?CD?2 2 ∴13x2?+?12?-?8?3?x?=?0 ∵?x?1?0 ∴13x?+?12?-?8?3?=?0 ∴?x?= 8?3?-?12 13  -------------?(7?分) AC=2x= 16?3?-?24 13 16?3?-?24 即梯子頂端?A?沿?NO?下滑了 米

18、. 13 ----?(8?分) ⑶∵點(diǎn)?P?和點(diǎn)?P￠?分別是?RtDAOB?的斜邊 AB?與?RtDA'OB?'?的斜邊?A'?B?'?的中點(diǎn) ∴?PA?=?PO?，?P?'?A'?=?P'?O -------------?(9?分) ∴?DPAO?=?DAOP,?DP￠A￠O?=?DA￠OP￠?-------?(10?分) ∴?DP￠A￠O?-D?PAO?=?DA￠OP￠?-D?AOP ∴?DP￠A￠O?-?DPAO?=?DPOP￠?=?15 ∵?DPAO?=?30 ∴?DP￠A￠O?=?45 -----------------------?(11?分) ∴?A￠O?=?A￠B￠?′?cos?45?=?4?′ 2 2  =?2?2?-----?(12?分) ∴?AA￠?=?OA?-?A￠O?=?(2?3?-?2?2)?米.?--------?(13?分)