第十三章電磁場(chǎng)與麥克斯韋方程組習(xí)題解答和分析.doc
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第十三章 習(xí)題和解答 第十三章習(xí)題解答 題圖13-1 題圖13-2 13-1 如題圖13-1所示，兩條平行長(zhǎng)直導(dǎo)線和一個(gè)矩形導(dǎo)線框共面，且導(dǎo)線框的一個(gè)邊與長(zhǎng)直導(dǎo)線平行，到兩長(zhǎng)直導(dǎo)線的距離分別為r1，r2。已知兩導(dǎo)線中電流都為，其中I0和為常數(shù)，t為時(shí)間。導(dǎo)線框長(zhǎng)為a寬為b，求導(dǎo)線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。 分析：當(dāng)導(dǎo)線中電流I隨時(shí)間變化時(shí)，穿過(guò)矩形線圈的磁通量也將隨時(shí)間發(fā)生變化，用法拉第電磁感應(yīng)定律計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，其中磁通量，B為兩導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)的疊加。 解：無(wú)限長(zhǎng)直電流激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為。取坐標(biāo)Ox垂直于直導(dǎo)線，坐標(biāo)原點(diǎn)取在矩形導(dǎo)線框的左邊框上，坐標(biāo)正方向?yàn)樗较蛴?。取回路的繞行正方向?yàn)轫槙r(shí)針。由場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理可得x處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小 通過(guò)微分面積的磁通量為 通過(guò)矩形線圈的磁通量為 感生電動(dòng)勢(shì) 時(shí)，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向?yàn)轫槙r(shí)針；時(shí)，回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向?yàn)槟鏁r(shí)針。 13-2 如題圖13-2所示，有一半徑為r=10cm的多匝圓形線圈，匝數(shù)N=100，置于均勻磁場(chǎng)中（B=0.5T）。圓形線圈可繞通過(guò)圓心的軸O1O2轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速n=600rev/min。求圓線圈自圖示的初始位置轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)， (1) 線圈中的瞬時(shí)電流值（線圈的電阻為R=100，不計(jì)自感）； (2) 感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 分析：應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。應(yīng)用載流圓環(huán)在其圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)公式求出感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。 解：(1) 圓形線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 rad/s 設(shè)t=0時(shí)圓形線圈處在圖示位置，取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈防@行的正方向。則t時(shí)刻通過(guò)該回路的全磁通 電動(dòng)勢(shì) 感應(yīng)電流 將圓線圈自圖示的初始位置轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)， 代入已知數(shù)值 得： (2) 感應(yīng)電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 的方向與均勻外磁場(chǎng)的方向垂直。 題圖13-3 題圖13-4 13-3 均勻磁場(chǎng)被限制在半徑R=10cm的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形空間內(nèi)，方向垂直紙面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向與圓柱空間的軸平行，位置如題圖13-3所示。設(shè)磁場(chǎng)以的勻速率增加，已知，，求等腰梯形回路abcd感生電動(dòng)勢(shì)的大小和方向。 分析：求整個(gè)回路中的電動(dòng)勢(shì)，采用法拉第電磁感應(yīng)定律，本題的關(guān)鍵是確定回路的磁通量。 解：設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榈妊菪位芈防@行的正方向.則t時(shí)刻通過(guò)該回路的磁通量 其中S為等腰梯形abcd中存在磁場(chǎng)部分的面積，其值為 電動(dòng)勢(shì) 代入已知數(shù)值 “–”說(shuō)明，電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向?yàn)槟鏁r(shí)針，即沿adcba繞向。用楞次定律也可直接判斷電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針繞向。 13-4 如題圖13-4所示，有一根長(zhǎng)直導(dǎo)線，載有直流電流I，近旁有一個(gè)兩條對(duì)邊與它平行并與它共面的矩形線圈，以勻速度v沿垂直于導(dǎo)線的方向離開(kāi)導(dǎo)線.設(shè)t=0時(shí)，線圈位于圖示位置,求： (1) 在任意時(shí)刻t通過(guò)矩形線圈的磁通量； (2) 在圖示位置時(shí)矩形線圈中的電動(dòng)勢(shì)。 分析：線圈運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)線圈的磁通量改變，線圈中有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生，求出t時(shí)刻穿過(guò)線圈的磁通量，再由法拉第電磁感應(yīng)定律求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。 解：(1) 設(shè)線圈回路的繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針。由于載流長(zhǎng)直導(dǎo)線激發(fā)磁場(chǎng)為非均勻分布，。因此，必須由積分求得t時(shí)刻通過(guò)回路的磁通量。 取坐標(biāo)Ox垂直于直導(dǎo)線，坐標(biāo)原點(diǎn)取在直導(dǎo)線的位置，坐標(biāo)正方向?yàn)樗较蛴?，則在任意時(shí)刻t通過(guò)矩形線圈的磁通量為 （2）在圖示位置時(shí)矩形圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 電動(dòng)勢(shì)的方向沿順時(shí)針繞向。 13-5 如題圖13-5所示為水平面內(nèi)的兩條平行長(zhǎng)直裸導(dǎo)線LM與,其間距離為,其左端與電動(dòng)勢(shì)為的電源連接.勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于圖面向里，一段直裸導(dǎo)線ab橫嵌在平行導(dǎo)線間（并可保持在導(dǎo)線上做無(wú)摩擦地滑動(dòng)）,電路接通，由于磁場(chǎng)力的作用，ab從靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)起來(lái)。求: (1) ab達(dá)到的最大速度; (2) ab到最大速度時(shí)通過(guò)電源的電流I。 分析：本題是包含電磁感應(yīng)、磁場(chǎng)對(duì)電流的作用和全電路歐姆定律的綜合性問(wèn)題。當(dāng)接通電源后，ab中產(chǎn)生電流。該通電導(dǎo)線受安培力的作用而向右加速運(yùn)動(dòng)，由于ab向右運(yùn)動(dòng)使穿過(guò)回路的磁通量逐漸增加，在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而使回路中電流減小，當(dāng)回路中電流為零時(shí)，直導(dǎo)線ab不受安培力作用，此時(shí)ab達(dá)到最大速度。 解：（1）電路接通，由于磁場(chǎng)力的作用,ab從靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)起來(lái)。設(shè)ab運(yùn)動(dòng)的速度為v,則此時(shí)直導(dǎo)線ab所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，方向由b指向a.由全電路歐姆定理可得此時(shí)電路中的電流為 ab達(dá)到的最大速度時(shí)，直導(dǎo)線ab不受到磁場(chǎng)力的作用，此時(shí)。所以ab達(dá)到的最大速度為 （2）ab達(dá)到的最大速度時(shí)，直導(dǎo)線ab不受到磁場(chǎng)力的作用，此時(shí)通過(guò)電路的電流i=0。所以通過(guò)電源的電流也等于零。 題圖13-5 題圖13-6 13-6 如題圖13-6所示，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬細(xì)桿ab繞豎直軸O1O2以角速度在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，O1O2在離細(xì)桿a端L/5處。若已知均勻磁場(chǎng)平行于O1O2軸。求ab兩端間的電勢(shì)差Ua-Ub. 分析：由動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)表達(dá)式先求出每段的電動(dòng)勢(shì)，再將ab的電動(dòng)勢(shì)看成是oa和ob二者電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，ab兩端的電勢(shì)差大小即為ab間的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)大小。求每段的電動(dòng)勢(shì)時(shí)，由于各處的運(yùn)動(dòng)速度不同，因此要將各段微分成線元，先由動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式計(jì)算線元的兩端的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，再積分計(jì)算整段的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。 解：設(shè)金屬細(xì)桿ab與豎直軸O1O2交于點(diǎn)O,將ab兩端間的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)看成ao與ob兩段動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的串聯(lián)。取ob方向?yàn)閷?dǎo)線的正方向，在銅棒上取極小的一段線元，方向?yàn)閛b方向。線元運(yùn)動(dòng)的速度大小為。由于互相垂直。所以?xún)啥说膭?dòng)生電動(dòng)勢(shì) ob的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向由b指向O。同理oa的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向由a指向O。所以ab兩端間的的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向由a指向了b；a端帶負(fù)電，b端帶正電。 ab兩端間的電勢(shì)差 b端電勢(shì)高于a端。 題圖13-7 題圖13-8 13-7 如題圖13-7所示，導(dǎo)線L以角速度ω繞其端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)線L與電流I在共同的平面內(nèi)，O點(diǎn)到長(zhǎng)直電流I的距離為a,且a>L,求導(dǎo)線L在與水平方向成θ角時(shí)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的大小和方向。 分析：載流長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生磁場(chǎng)，導(dǎo)線L繞O旋轉(zhuǎn)切割磁力線。由于切割是不均勻的磁場(chǎng)，而且導(dǎo)體各處的運(yùn)動(dòng)速度不同，所以要微分運(yùn)動(dòng)導(dǎo)線，先由動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式計(jì)算線元的兩端的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，再積分計(jì)算整段的總動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。 解：取OP方向?yàn)閷?dǎo)線的正方向，在導(dǎo)線OP上某處取極小的一段線元,方向?yàn)镺P方向。線元運(yùn)動(dòng)的速度大小為。由于互相垂直。所以?xún)啥说膭?dòng)生電動(dòng)勢(shì) 將載流長(zhǎng)直導(dǎo)線在該處激發(fā)磁場(chǎng)代入，積分得導(dǎo)線L在與水平方向線成θ角時(shí)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為： 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的方向由P指向O。 13-8 如題圖13-8所示半徑為r的長(zhǎng)直密繞空心螺線管，單位長(zhǎng)度的繞線匝數(shù)為n,所加交變電流為I=I0sinωt。今在管的垂直平面上放置一半徑為2r,電阻為R的導(dǎo)線環(huán)，其圓心恰好在螺線管軸線上。 （1）計(jì)算導(dǎo)線環(huán)上渦旋電場(chǎng)E的值且說(shuō)明其方向； (2)計(jì)算導(dǎo)線上的感應(yīng)電流； (3)計(jì)算導(dǎo)線環(huán)與螺線管間的互感系數(shù)M。 分析：電流變化，螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)也變化，由磁場(chǎng)的柱對(duì)稱(chēng)性可知，由變化磁場(chǎng)所激發(fā)的感生電場(chǎng)也具有相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性，感生電場(chǎng)線是一系列的同心圓。根據(jù)感生電場(chǎng)的環(huán)路定理，可求出感生電場(chǎng)強(qiáng)度。由法拉第電磁感應(yīng)定律及歐姆定律求感應(yīng)電流，由互感系數(shù)定義式求互感系數(shù)。 解：（1）以半徑為2r的導(dǎo)線環(huán)為閉合回路L，取回路L的繞行正方向與B呈右旋關(guān)系，自上向下看為逆時(shí)針?lè)较?。由于長(zhǎng)直螺線管只在管內(nèi)產(chǎn)生均勻磁場(chǎng)，導(dǎo)線環(huán)上某點(diǎn)渦旋電場(chǎng)E的方向沿導(dǎo)線環(huán)的切向。 所以由規(guī)律可得 導(dǎo)線環(huán)上渦旋電場(chǎng)E的值為 若cosωt>0,E電場(chǎng)線的實(shí)際走向與回路L的繞行正方向相反，自上向下看為順時(shí)針?lè)较颍蝗鬰osωt<0,E電場(chǎng)線的實(shí)際走向與回路L的繞行正方向相同，自上向下看為逆時(shí)針?lè)较颉? (2) 導(dǎo)線上的感應(yīng)電流 (3)導(dǎo)線環(huán)與螺線管間的互感系數(shù)為 13-9 電子感應(yīng)加速器中的磁場(chǎng)在直徑為0.50m的圓柱形區(qū)域內(nèi)是勻強(qiáng)的，若磁場(chǎng)的變化率為1.010-2T/S。試計(jì)算離開(kāi)中心距離為0.10m、0.50m、1.0m處各點(diǎn)的感生電場(chǎng)。 分析：由磁場(chǎng)的柱對(duì)稱(chēng)性可知，變化磁場(chǎng)所激發(fā)的感生電場(chǎng)分布也具有相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性，即感生電場(chǎng)的電場(chǎng)線是一系列以圓柱體中心為軸的同心圓。根據(jù)可求出感生電場(chǎng)強(qiáng)度。 解：以圓柱形的區(qū)域的中心到各點(diǎn)的距離為半徑，作閉合回路L。取回路L的繞行正方向與B呈右旋關(guān)系，為順時(shí)針?lè)较?。由于回路上各點(diǎn)處的感生電場(chǎng)E沿L的切線方向。所以由規(guī)律 可得 得 式中“-”說(shuō)明：若，E的實(shí)際方向與假定方向相反，否則為一致。 r=0.10m時(shí),r下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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